Stefan Banach nacque il 30 marzo 1892 a Cracovia, che allora faceva parte dell'impero Austro-Ungarico. Era figlio illegittimo di un ispettore fiscale. Banach seguì le scuole elementari e il ginnasio a Cracovia, mostrando grandi abilità matematiche. Frequentò poi l'università di Leopoli, dove si laureò in ingegneria nel 1914.
I suoi lavori più importanti in matematica cominciarono ad apparire nel 1916, quando conobbe e iniziò a collaborare con Hugo Steinhaus. Banach produsse rapidamente una serie di articoli molto importanti e ricevette un posto da assistente all'università di Leopoli. Nonostante non fosse laureato in matematica, ricevette un dottorato nel 1920. Nel 1924 fu nominato titolare di cattedra.
La tesi di dottorato di Banach è considerata il principio dell'analisi funzionale. In essa, egli definì degli spazi astratti (spazi vettoriali completi e normati), detti in suo onore spazi di Banach. Molti altri risultati fondamentali dell'analisi funzionale portano il suo nome: il teorema di Hahn-Banach, il teorema di Banach-Steinhaus, il teorema del punto fisso di Banach, la scomposizione di Banach-Tarski. Banch e Steinhaus furono cofondatori della rivista Studia Mathematica, che si occupa di analisi funzionale.
Banach era noto per il suo carattere allegro e socievole e per il suo amore dei caffé, dove di fatto svolse buona parte dei suoi lavori matematici. Durante la seconda guerra mondiale, Leopoli fu occupata prima dai russi, poi dai tedeschi e poi di nuovo dai russi. Banach soffrì molto durante l'occupazione tedesca, e morì di cancro al polmone il 31 agosto 1945, a Leopoli.