Il processo degli elettori

2. Il processo degli elettori

Modellazione

Introduciamo un insieme di posizioni, dette elettori, messe in una matrice rettangolare m per n:

V = {0, 1, ..., m - 1} × {0, 1, ..., n - 1}.

Ciascun elemento di V ha quattro vicini; i vicini di (i, j) sono

(i + 1, j), (i - 1, j), (i, j + 1), (i, j - 1)

dove le operazioni aritmetiche nella prima coordinata sono interpretate modulo m: (m - 1) + 1 = 0, 0 - 1 = m - 1 e quelle della seconda modulo n: (n - 1) + 1 = 0, 0 - 1 = n - 1. Con questa struttura, il nostro insieme di posizioni è, dal punto di vista topologico, un toro, ovvero una superficie a forma di ciambella. Puoi immaginare di costruire un toro partendo da un rettangolo, collegando due lati opposti a formare un cilindro e poi attaccando tra loro le basi del cilindro.

Ciascuna posizione, in ciascun istante di tempo, dev'essere in uno stato appartenente a un insieme finito S. Gli elementi dello spazio degli stati S possono essere interpretati come opinioni possibili di un gruppo di elettori, ma anche come colori.

Il tempo è discreto, e la dinamica del processo è la seguente: per ciascuna unità di tempo,

Si seleziona a caso una posizione (ciascuna ha uguale probabilità di essere selezionata).
Si seleziona a caso una posizione vicina alla precedente (ciascuna delle 4 ha uguale probabilità di essere selezionata).
Lo stato (colore) della posizione selezionata viene posto uguale a quello del vicino selezionato.

Inizialmente a ciascuna posizione, indipendentemente dalle altre, viene assegnato uno stato selezionato casualmente; si ha quindi una configurazione iniziale casuale uniforme.

1. Esegui il processo degli elettori 5 per 10 per 100 unità di tempo, aggiornando ogni volta. Assicurati di aver capito il funzionamento del processo.

Siamo interessati principalmente al comportamento asintotico del processo. In particolare, si raggiungerà prima o poi la concordanza (tutte le posizioni dello stesso colore) o il processo continuerà all'infinito con più di due colori?

2. Esegui il processo degli elettori 10000 volte, aggiornando ogni 100. Osserva il comportamento asintotico.

Il risultato teorico più rilevante è che il processo è destinato a raggiungere, prima o poi, la concordanza, cioè tutte le posizioni diventeranno dello stesso colore.

3. Nel processo degli elettori, seleziona la matrice 10 per 5 e fai fermare il processo quando uno dei colori scompare. Continua finché tutte le posizioni sono dello stesso colore. Registra ogni volta che un colore scompare.

4. Nel processo degli elettori, seleziona la matrice 20 per 10 e fai fermare il processo quando uno dei colori scompare. Continua finché tutte le posizioni sono dello stesso colore. Registra ogni volta che un colore scompare.

4. Nel processo degli elettori, seleziona la matrice 50 per 25 e fai fermare il processo quando uno dei colori scompare. Continua finché tutte le posizioni sono dello stesso colore. Registra ogni volta che un colore scompare (ti ci vorrà un bel po' di tempo!).