Il processo dell'incendio

1. Il processo dell'incendio

Modellazione

In questo paragrafo analizzeremo la diffusione di un incendio all'interno di una foresta. Come vedrai, faremo molte assunzioni semplificatrici ma anche così il processo risultante, detto processo dell'incendio, è estremamente complicato. Questo è un esempio di sistema di particelle interagenti (a volte detto anche automa cellulare probabilistico). In generale i sistemi di particelle interagenti sono configurazioni spaziali di particelle (alberi, in questo caso), i cui stati cambiano in modo probabilistico, in modo che lo stato di una particella influenzi lo stato di quelle ad essa prossime. In generale si ipotizzano semplici interazioni locali, e tuttavia il comportamento globale del sistema è molto complesso. A causa di questa complessità, si è in genere interessati al comportamento asintotico (cioè di lungo termine) del processo.

Consideriamo una foresta idealizzata formata da una matrice rettangolare di alberi. Ciò significa che ogni punto (i,j) della matrice corrisponde a un albero. Ciascun albero (a parte quelli sui bordi della matrice) ha quattro vicini. I vicini di (i,j) sono

(i + 1, j), (i - 1, j), (i, j + 1) e (i, j - 1).

In ogni istante di tempo, ciascun albero può trovarsi in tre stati diversi: sano, in fiamme o bruciato. Il tempo è considerato discreto è l'andamento del processo è regolato dalle seguenti leggi:

Una volta bruciato un albero resta tale.
Se un albero è sano al tempo t e si trova direttamente sopra, sotto, a sinistra o a destra di un albero in fiamme al tempo t, prenderà fuoco al tempo t + 1 indipendentemente, con rispettive probabilità p_u, p_d, p_r, e p_l.
Gli alberi sani al tempo t prendono fuoco al tempo t + 1 indipendentemente l'uno dall'altro.

$Esercizio teorico$ 1. Mostra che, per esempio, se un albero sano si trova sopra e a destra di alberi che sono in fiamme al tempo t (ma gli altri due vicini sono sani), allora prenderà fuoco al tempo t + 1 con probabilità

p_u + p_r - p_up_r.

Le probabilità diverse a seconda della direzione servono per modellare effetti come il vento o il terreno.

$Esercizio teorico$ 2. Le assunzioni semplificatrici principali sono la matrice perfetta di alberi, il tempo discreto, e il fatto che le fiamme si propaghino solo tra vicini. Discuti la validità di tali assunzioni nel caso di un incendio di una foresta reale.

3. Nell'esperimento dell'incendio, seleziona la foresta 100 per 50 e dai fuoco a un albero nel centro. Esegui la simulazione e osserva se le fiamme si propagano, la forma della regione bruciata e il numero e la dimensione delle isole di alberi sani. Ripeti l'esperimento con diverse probabilità di diffusione dell'incendio. Riesci a trarre delle conclusioni generali?

Foresta isotropica

Supponiamo ora di avere una foresta infinita con un singolo tipo di alberi sani, per i quali le probabilità delle diverse direzioni sono le stesse,

p_u = p_d = p_r = p_l = p.

In questo caso si parla di foresta isotropica. Ci sono alcuni risultati teorici noti relativamente alle foreste isotropiche:

Il valore critico di p è 1 / 2. Ciò significa che, partendo da un insieme numerabile di alberi in fiamme, l'incendio si spegnerà con probabilità 1 se p < 1 / 2. D'altra parte, partendo con almeno un albero in fiamme, c'è una probabilità positiva che l'incendio non si spenga se p > 1 / 2.
Inoltre, se l'incendio non si spegne, partendo con un signolo albero in fiamme, l'insieme di alberi bruciati ha forma asintotica a palla se p è prossimo a 1 / 2 e a rombo se p è vicino a 1.

Il fatto che la forma asintotica sia a rombo per p elevato è dovuto alla struttura di prossimità della matrice (pensa a cosa succede per p = 1).

4. Nell'esperimento dell'incendio, seleziona la foresta 500 per 250 e dai fuoco a un albero nel centro. Esegui la simulazione con probabilità costante p = 0.45 finché l'incendio non si spegne o raggiunge i limiti della foresta. Ripeti per p = 0.5, p = 0.6, p = 0.7, p = 0.8 e p = 0.9. In ciascun caso, osserva frequenza e dimensione delle isole di alberi sani. Osserva la forma asintotica della regione bruciata. Disegna il numero di alberi in fiamme in funzione di t.

I risultati sul comportamento critico e sulla forma asintotica sono tipici di tutti i sistemi di particelle interagenti.

Un modello di incendio unidimensionale

5. Nell'esperimento dell'incendio, seleziona la foresta 100 per 50. Poni p_u = p_d = 0 e dai fuoco a un albero. Esegui la simulazione con diversi valori delle probabilità di sinistra e di destra. Puoi formulare delle conclusioni generali? Osserva che in questo caso hai di fatto una foresta unidimensionale.

Consideriamo ora una foresta ininita e unidimensionale, con un singolo tipo di albero sano e un singolo albero in fiamme all'inizio. Sia L il numero di alberi a sinistra di quello iniziale che bruceranno e R il numero di alberi a destra di quello iniziale che bruceranno (l'albero inziale è compreso).

$Esercizio teorico$ 6. Prova che R e L sono variabili casuali indipendenti e con distribuzione geometrica con parametri rispettivamente p_r e 1 - p_l.

Se p_l < 1, allora per l'esercizio 2,

P(L = k) = (1 - p_l)p_l^k - 1 per k = 1, 2, ...

e in particolare, L è finito con probabilità 1. Similmente, se p_r < 1 allora

P(R = k) = (1 - p_r)p_r^k - 1 per k = 1, 2, ...

e in particolare, R è finito con probabilità 1. Ovviamente, d'altro canto, L è infinito con probabilità 1 se p_l =1, e R è infinito con probabilità 1 se p_r = 1. In ciascuno di questi casi l'incendio non si spegne mai.

I risultati per la foresta unidimensionale sono quindi analoghi a quelli per la foresta bidimensionale: il valore critico per ciascun parametro è 1, e la forma della regione bruciata è sempre un intervallo.

Altri esperimenti

7. Considera una foresta con p_d = p_l = 0, p_u = p_r = p. Nell'esperimento dell'incendio, seleziona la foresta 500 per 250 e dai fuoco a un albero nel centro. Simula per vari valori di p, e prova a determinare euristicamente il valore critico approssimato per p. Che puoi dire sulla forma asintotica?

8. Considera una foresta con p_d = 0, p_u = p_l = p_r = p. Nell'esperimento dell'incendio, seleziona la foresta 500 per 250 e dai fuoco a un albero nel centro. Simula per vari valori di p, e prova a determinare euristicamente il valore critico approssimato per p. Che puoi dire sulla forma asintotica?

9. Considera una foresta con p_l = 0, p_r = 1, p_d = p, p_u = 0. Quindi l'incendio si propaga sicuramente a destra e può propagarsi verso il basso, ma non a sinistra né verso l'alto. Nell'esperimento dell'incendio, seleziona la foresta 500 per 250 e dai fuoco a un albero in alto a sinistra. Simula qualche replicazione e prova a descrivere la parte superiore della regione bruciata in termini del processo di prove Bernoulliane.