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7. Note conclusive

Simulazione di prove Bernoulliane

È molto semplice simulare prove Bernoulliane attraverso numeri casuali.

1. Sia p nell'intervallo [0, 1] e sia U₁, U₂, U₃, ... una sequenza di variabili aleatorie, ciascuna distribuita uniformemente su (0, 1). Mostra che la sequenza seguente è un processo di prove Bernoulliane con parametro p:

I_j = 1 se U_j p, I_j = 0 se U_j > p

Gli esperimenti binomiale e binomiale negativa possono essere simulati direttamente a partire dalla sequenza di prove Bernoulliane, poiché tali variabili risultano esserne funzione.

Argomenti correlati

Le prove Bernoulli si trovano in molti altri capitoli di questo lavoro, a ulteriore conferma dell'importanza del modello.

• Il campionamento con reinserimento da una popolazione dicotomica produce prove Bernoulliane. Il capitolo sui modelli di campionamento finito tratta diversi casi basati su questo tipo di campionamento.
• Molti giochi sono basati su prove Bernoulliane. Il capitolo sui giochi di fortuna ne presenta alcuni.
• Il capitolo su rosso e nero è più avanzato e tratta delle strategie pe giochi basati su prove Bernoulliane.
• Il processo random walk, analizzato nel capitolo sul random walk si basa su prove Bernoulliane.
• La stima di p è trattata nei capitoli sulla stima puntuale e stima intervallare.
• I test di ipotesi per p sono presentati nel capitolo sui test di ipotesi.

Libri

Il modello di prove Bernoulliane è trattato praticamente in ogni libro di probabilità. In particolare puoi vedere

• A First Course in Probability, quinta edizione, di Sheldon Ross
• An Introduction to Probability Theory and its Applications, (Vol 1) terza edizione, di William Feller

Risposte agli esercizi del paragrafo 1

1.8. Si, probabilmente. Gli esiti sono corretto e sbagliato e p = 1 / 4.

1.9. Si, approssimatamente. Gli esiti sono preferisce A e non preferisce A; p è la proporzione di elettori dell'intero comune che preferisce A.

1.10. Si, gli esiti sono rosso e nero, e p = 18 / 38.

1.11. No, probabilmente, no. I giochi sono quasi certamente dipendenti, e la probabilità di vincita dipende da chi serve e quindi non è costante da partita a partita.

1.17.

1. k = 10, E(Y_k) = 19.56
2. k = 5, E(Y_k) = 426.22
3. k = 32, E(Y_k) = 62.76

Risposte agli esercizi del paragrafo 2

2.5. f(0) = 0.4019, f(1) = 0.4019, f(2) = 0.1608, f(3) = 0.0322, f(4) = 0.0032, f(5) = 0.0001.

2.6. 0.07813

2.11.

1. P(almeno un 1 in 6 lanci) = 0.6551
2. P(almeno due 1 in 12 lanci) = 0.6187

2.12.

1. P(almeno un 1 in 4 lanci di 1 dado) = 0.5177
2. P(almeno due 1 in 24 lanci di 2 dadi) = 0.4914.

2.23. X = Numero di fallimenti. E(X) = 1, sd(X) = 0.9899

2.24. X = Numero di 1. E(X) = 166.67, sd(X) = 11.79

2.31. X_n = Numero di teste nei primi n lanci. P(X₂₀ = j | X₁₀₀ = 30) = C(20, j) C(80, 30 - j) / C(100, 30).

2.37. X = Numero di elettori che preferiscono A

1. E(X) = 20, sd(X) = 3.464.
2. P(X < 19) = 0.3356.
3. P(X < 19) ~ 0.3335

2.44.

1. R_3,2(p) = 3p² - 2p³.
2. R_5,3(p) = 10p³ - 15p⁴ + 6p⁵.
3. 3 di 5 è migliore per p 1 / 2.

Risposte agli esercizi del paragrafo 3

3.13. R: Rifiutare l'ipotesi nulla che la moneta sia bilanciata.

1. P(R) = 0.180, P(R^c) = 0.820
2. P(R) = 0.384, P(R^c) = 0.616
3. P(R) = 0.678, P(R^c) = 0.322
4. P(R) = 0.930, P(R^c) = 0.070

3.15. No: 0.0262

Risposte agli esercizi del paragrafo 4

4.5. 0.482

4.10. X = # lanci. E(X) = 50, sd(X) = 49.497.

4.12. 0.4

4.18. Geometrica con p = 18 / 38.

4.22. $1000.

4.27.

1. P(W = 1) = 2/3, P(W = 2) = 1/3
2. P(W = 1) = 4/7, P(W = 2) = 2/7, P(W = 3) = 1/7.
3. P(W = i) = 2^{n - i} / (2ⁿ - 1) per i = 1, 2, ..., n.

Risposte agli esercizi del paragrafo 5

5.6. 0.579

5.13. X = numero di lancio del quarto fallimento. E(X) = 200, sd(X) = 98.995

5.17. X = numero di lanci necessari per avere 50 teste.

1. 0.0072
2. No.

5.30.

1. 0.6825.
2. 0.7102

5.36. A prende $72.56, B prende $27.44

Risposte agli esercizi del paragrafo 6

6.11.

1. 0.0075
2. 0.0178
3. 0.205
4. 0.123

6.12. f(u, v, w, x, y, z) = C(4; u, v, w, x, y, z) (1/4)^{u + z} (1/8)^{v + w + x+ y} per u, v, w, x, y, z interi non negativi la cui somma è 4

6.14.

1. -0.625
2. -0.0386

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