1. Prova che Y = n se e solo se I1 = 0, ..., In
- 1 = 0, In = 1.Laboratorio virtuale > Prove Bernoulliane > 1 2 3 [4] 5 6 7
Supponiamo ancora che il nostro esperimento casuale consista nell'esguire delle prove Bernoulliane I1, I2, ... con parametro p appartenente a (0, 1]. In questo paragrafo studieremo la variabile casuale Y che indica il numero di prova del primo successo. Ricorda che Xn, numero di successi nelle prime n prove, ha distribuzione binomiale con parametri n e p.
1. Prova che Y = n se e solo se I1 = 0, ..., In
- 1 = 0, In = 1.
2. Usa il risultato dell'esercizio 1 e l'indipendenza per mostrare che
P(Y = n) = p(1 - p)n - 1 per n = 1, 2, ...
La distribuzione definita dalla densità dell'esercizio 2 è detta distribuzione geometrica con parametro p.
3. Nell'esperimento binomiale negativo, poni k = 1. Modifica p con la barra a scorrimento e osserva la forma della funzione di densità. Con p = 0.2, esegui una simulazione aggiornando ogni 10 replicazioni. Osserva la convergenza delle frequenza relative alla funzione di densità.
4. Prova in maniera diretta che la funzione di densità geometrica è di fatto una funzione di densità.
5. Si lancia un dado equilibrato finché non esce un uno. Trova la probabilità che il dado debba essere lanciato almeno 5 volte.
Gli esercizi seguenti individuano media, varianza e funzione generatrice di probabilità della distribuzione geometrica.
6. Prova che E(Y)
= 1 / p.
7. Mostra che var(Y)
= (1 - p) / p2.
8. Mostra che E(tY)
= pt / [1 - (1 - p)t] per |t| < 1 / (1 - p).
9. Nell'esperimento binomiale negativo, poni k = 1. Modifica p con la barra a scorrimento e osserva posizione e forma della barra media/deviazione standard. Con p
= 0.4, esegui una simulazione aggiornando ogni 10 replicazioni. Osserva la convergenza di media e deviazione standard campionarie ai loro valori teorici.
10. Un certo tipo di missile ha probabilità di fallimento 0.02. Trova media e deviazione standard del numero di lanci prima del primo fallimento.
11. Mostra che la distribuzione condizionata di Y dato Xn = 1 è uniforme su {1,
2, ..., n}. Nota che la distribuzione non dipende da p. Interpreta i risultati in senso probabilistico.
12. Uno studente fa un test a crocette con dieci domande, ciascuna con 4 opzioni. Lo studente tira a indovinare e azzecca una domanda. Trova la probabilità che si tratti di una delle prime 4 domande.
I seguenti problemi analizzano una caratteristica molto importante della distribuzione geometrica.
13. Supponi che Z sia una variabile casuale a valori interi positivi. Prova che Z ha distribuzione geometrica con parametro p se e solo se
P(Z > n) = (1 - p)n for n = 0, 1, 2, ...
14. Se Z
ha distribuzione geometrica, prova che Z soddisfa la proprietà di assenza di memoria:
per n e m interi positivi,
P(Z > n + m | Z > m) = P(Z > n)
15. Al contrario, mostra che, se Z è una variabile casuale a valori interi positivi che soddisfa la proprietà di assenza di memoria, allora Z ha distribuzione geometrica.
16. Prova che Z
ha la proprietà di assenza di memoria se e solo se la distribuzione condizionata di Z - m
dato Z > m ha la stessa distribuzione di Z.
17. Nell'esperimento binomiale negativo, poni k = 1 e p = 0.3. Simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 100. Calcola le frequenze relative appropriate ed esamina empiricamente la proprietà di assenza di memoria.
P(Y > 5 | Y > 2) = P(Y > 3)
La proprietà di assenza di memoria ha molte implicazioni rilevanti sui giochi d'azzardo
18. Ricorda che la roulette americana ha 38 caselle: 18 rosse, 18 nere e 2 verdi. Supponi di osservare rosso su 10 giri consecutivi. Trova la distribuzione condizionata del numero di giri necessari per ottenere il nero.
Analizziamo ora un'altra situazione di gioco d'azzardo, detta problema di Pietroburgo, che porta a risultati noti e sorprendenti. Supponiamo di puntare su una sequenza di prove Bernoulliane con parametro di successo p > 0. Possiamo puntare una somma qualsiasi di denaro alla pari: se la prova ha successo, riceviamo la somma, altrimenti la perdiamo. Utilizzeremo la seguente strategia, nota come strategia di martingala:
19. Sia V la vincita netta al momento dell'arresto. Mostra che V = c.
Quindi V non è casuale ed è indipendente da p > 0! Poiché c è una costante arbitraria, sembrerebbe che abbiamo trovato una strategia ideale. Proviamo però a vedere qual è la quantità di denaro W necessaria per seguire la strategia.
20. Prova che W
= c(2Y - 1).
21. Usa il risultato dell'esercizio precedente per mostrare che
se p 
1 / 2.Quindi la strategia non è fattibile se le probabilità sono sfavorevoli o anche bilanciate.
22. Calcola esplicitamente E(W)
se c = 100 e p = 0.55.
23. Nell'esperimento binomiale negativa, poni k = 1. Per ciascuno dei seguenti valori di p, simula 100 replicazioni, aggiornando ogni volta. Per ogni replicazione, calcola W (con
c = 1). Trova il valore medio di W sulle 100 prove:
Per ulteriori approfondimenti sulle strategie di gioco vedi il capitolo su rosso e nero.
Una moneta ha probabilità di testa p appartenente a (0, 1]. Ci sono n giocatori che, a turno, lanciano la moneta in senso circolare: prima il giocatore 1, poi il 2, ... infine il giocatore n e poi di nuovo il giocatore 1 e così via. Il primo giocatore che fa testa vince il gioco.
Sia Y il numero del primo lancio che risulta testa. Ovviamente Y ha distribuzione geometrica con parametro p. Sia poi W il vincitore del gioco; W assume i valori 1, 2, ..., n. Possiamo calcolare la funzione di densità di probabilità di W in due diversi modi
24.
Prova che per i = 1, 2, ..., n,
W = i se e solo se Y = i + kn per qualche k = 0, 1, 2, ...
Ovvero, utilizzando l'aritmetica modulare, W = (Y - 1) (mod n) + 1.
25. Usa il risultato dell'esercizio precedente e la distribuzione geometrica per mostrare che
P(W = i) = p(1 - p)i - 1 / [1 - (1 - p)n] per i = 1, 2, ..., n
26. Spiega come mai P(W = i) = (1 - p)i
- 1P(W = 1). Usa questo risultato per ricavare nuovamente la funzione di densità di probabilità dell'esercizio precedente.
27. Calcola esplicitamente la funzione di densità di probabilità di W quando la moneta è bilanciata e (p = 1/2) in ciascuno dei casi seguenti
Nota dall'esercizio 25 che W stesso ha distribuzione geometrica troncata.
28. Mostra che la distribuzione di W è uguale alla distribuzione condizionata di Y dato Y
n:
P(W = i) = P(Y = i
| Y
n ) per i = 1, 2, ..., n.
29.
Mostra che, per dato p appartenente a (0, 1], la distribuzione di W
converge alla distribuzione geometrica con parametro p as n
.
30. Dimostra che, per dato n, la distribuzione di W converge alla distribuzione uniforme su {1, 2, ..., n} per p
0.
31. Cosa succede al gioco quando p = 0? Confronta col limite dell'esercizio precedente.