1. Mostra che Xn
= I1 + I2 + ··· + In.Laboratorio virtuale > Prove Bernoulliane > 1 [2] 3 4 5 6 7
Supponiamo che il nostro esperimento casuale consista nell'eseguire prove Bernoulliane I1, I2, .... In questo paragrafo analizzeremo la variabile casuale Xn che indica il numero di successi nelle prime n prove. Tale variabile ha un'espressione semplice in termini delle variabili indicatore:
1. Mostra che Xn
= I1 + I2 + ··· + In.
2.
Supponi che K 
N = {1, 2, ..., n}
and #(K) = k. Usa le assunzioni sulle prove Bernoulliane per mostrare che
P(Ij = 1 per j 
K e Ij = 0 per j N - K) = pk(1 - p)n
-k.
Ricorda che il numero di sottinsiemi di dimensione k da un insieme di dimensione n è il coefficiente binomiale
C(n, k). = n!/[k!(n - k)!}
3.
Usa l'esercizio 2 e le proprietà fondamentali della probabilità per mostrare che
P(Xn = k) = C(n, k)pk(1 - p)n-k per k = 0, 1, ..., n.
La distribuzione con questa funzione di densità è detta distribuzione binomiale con parametri n e p. La famiglia binomiale è una delle più importanti in probabilità.
4. Nell'esperimento binomiale della moneta, modifica n e p con le barre a scorrimento e osserva forma e posizione della funzione di densità. Con n = 10 e p = 0.7, simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10. Osserva la convergenza della frequenza relativa alla funzione di densità.
5. Per 5 lanci di un dado bilanciato, trova esplicitamente la funzione di densità del numero di uno.
6. Uno studente esegue un test a scelta multipla con 10 domande, ciascuna con 4 possibilità. Se lo studente tira a indovinare, trova la probabilità di indovinare almeno 5 domande.
7.
Usa il teorema binoniale per mostrare che la funzione di densità binomiale è effettivamente una funzione di densità di probabilità (discreta).
8. Mostra che
Quindi la funzione di densità prima cresce e poi decresce, raggiungendo il massimo a
9. Supponi che U
sia una variabile casuale con distribuzione binomiale con parametri n e p.
Mostra che n - U ha distribuzione binomiale con parametri n
e 1 - p.
Nel 1693, Samuel Pepys chiese a Isaac Newton se è più probabile avere almeno un uno in 6 lanci di un dado o almeno due uno in 12 lanci di un dado. Tale problema è noto come problema di Pepys; ovviamente Pepys si riferiva a dadi bilanciati.
10. Prova a rispondere al problema di Pepys basandoti sui dati empirici. Con un dato equilibrato e n = 6, simula l'esperimento del dado 500 volte e calcola la frequenza relativa di almeno un uno. Con n = 12, simula 500 replicazioni e calcola la frequenza relativa di almeno due uno. Confronta i risultati.
11. Risolvi il problema di Pepys utilizzando la distribuzione binomiale.
12. Cos'è più probabile: almeno un uno su 4 lanci di un dado equilibrato o almeno un doppio uno in 24 lanci di due dadi equilibrati? Questo è noto come problema di DeMere in onore del Chevalier De Mere
Vediamo ora come calcolare media e varianza della distribuzione binomiale in vari modi diversi. Il metodo che utilizza le variabili indicatore è il migliore.
13. Usa l'esercizio 1 e le proprietà del valore atteso per mostrare che
E(Xn) = np.
Ciò ha senso a livello intuitivo, poiché p dev'essere approssimativamente la proporzione di successi in un numero elevato di prove.
14.
Calcola la media utilizzando la funzione di densità.
15.
Usa l'esercizio 1 e le proprietà della varianza per mostrare che
var(Xn) = np(1 - p)
16. Disegna il grafico della varianza in funzione di p. Nota in particolare che la varianza è massima quando p = 1/2 e minima quando p = 0 o p = 1.
17. Calcola la varianza utilizzando la funzione di densità.
18. Prova che la
funzione generatrice di probabilià è data da
E(tXn) = (1 - p + pt)n per t appartenente a R
19. Usa la funzione generatrice di probabilità dell'esercizio 18 per calcolare media e varianza.
20. Usa l'identità jC(n, j) = nC(n - 1, j - 1) per
n, j = 1, 2, ... per mostrare che
E(Xnk) = npE[(Xn - 1 + 1)k - 1] per n, k = 1, 2, ...
21. Usa il risultato ricursivo dell'esericizio 20 per ricavare in un altro modo media e varianza.
22. Nell'
esperimento binomiale della moneta, modifica n e p con le barre a scorrimento e osserva posizione e dimensione della barra media/deviazione standard. Con p = 0.7, simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10. Osserva la convergenza di media e deviazione standard ai loro valori teorici.
23. Un certo tipo di missile ha probabilità di fallimento 0.02. Calcola media e deviazione standard del numero di fallimenti in 50 lanci.
24. Si lancia 1000 volte un dado bilanciato. Trova media e deviazione standard del numero di "uno".
La tavola di Galton è una matrice triangolare di chiodi. Le righe sono numerate 0, 1, ... da cima a fondo. La riga n ha n + 1 chiodi, numerati da 0 a n da sinistra a destra. Ciascun chiodo, quindi, può essere identificato dalla coppia ordinata (n, k) dove n è il numero di riga e k è il numero del chiodo in tale riga. La tavola di Galton prende il nome da Francis Galton.
Supponiamo ora di far cadere una pallina sul primo chiodo (0, 0). Ogni volta che la pallina cade su un chiodo, cade alla sua destra con probabilità p e alla sua sinistra con probabilità 1 - p, indipendentemente da volta a volta.
25. Prova che il numero di chiodi su cui la pallina cade nella riga n ha distribuzione binomiale con parametri n e p.
26. Nell'esperimento della tavola di Galton, poni n = 10 e p = 0.1. Clicca su step diverse volte e osserva le palline cadere tra i chiodi. Ripeti per p = 0.3, 0.5, 0.7, e 0.9.
27. Nell'esperimento della tavola di Galton, poni n = 15 e p = 0.1. Esegui 100 replicazioni, aggiornando ogni volta. Osserva la forma generale dei sentieri di caduta. Ripeti per p = 0.3, 0.5, 0.7, e 0.9.
Introduciamo ora un'importante proprietà di invarianza per la distribuzione binomiale.
28. Usa la rappresentazione in termini delle variabili indicatore per mostrare che se m e n sono interi positivi allora
Pertanto, il processo stocastico Xn, n = 1, 2, ... ha incrementi indipendenti e stazionari.
29. Prova che, se U e V sono variabili indipendenti relative a un esperimento, U ha distribuzione binomiale con parametri m e p e V ha distribuzione binomiale con parametri n e p, allora U + V ha distribuzione binomiale con parametri m + n e p.
30. Supponi che m
< n. Prova che
P(Xm = j | Xn = k) = C(m, j) C(n - m, k - j) / C(n, k) per j = 0, 1, ..., m.
È interessante notare che la distribuzione dell'esercizio 30 è indipendente da p. Si tratta della distribuzione ipergeometrica con parametri n, m e k. Prova a interpretare questo risultato in termini probabilistici.
31. Si lancia una moneta 100 volte e si ottengono 30 teste. Trova la funzione di densità del numero di teste nei primi 20 lanci.
32.
Nell'esperimento binomiale temporale, poni p = 0.1. Inizia con n = 1 e aumenta ogni volta n di 1. Osserva la forma della funzione di densità. Con n = 100, simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10. Ripeti per p = 0.3, 0.5, 0.7 e 0.9.
La caratteristica forma a campana che dovresti osservare dall'esercizio 32 costituisce una buona esemplificazione del teorema limite centrale, poiché la variabile binomiale può essere scritta come somma di n variabili casuali indipendenti e identicamente distribuite (le variabili indicatore).
33. Prova che la distribuzione della variabile standardizzata riportata converge alla distribuzione normale standardizzata al crescere di n
(Xn - np) / [np(1 - p)]1/2.
Questa versione del teorema limite centrale è nota come teorema di DeMoivre-Laplace, e prende nome da Abraham DeMoivre e Simeon Laplace. Dal punto di vista pratico, l'esercizio 33 significa che, per n sufficientemente grande, la distribuzione di Xn è approssimatamente normale, con media np e varianza np(1 - p). Quanto grande n dev'essere perché l'approssimazione sia accettabile dipende dal valore di p. La regola empirica è che np e n(1 - p) devono valere almeno 5.
34. Nell'esperimento binomiale temporale, poni p = 0.5 e n = 15. Simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 100. Calcola e confronta i seguenti:
X15 10) X15
10} X15
10) 35. Nell'esperimento binomiale temporale, poni p = 0.3 e n = 20. Simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 100. Calcola e confronta i seguenti:
X20 10) X20
10} X20
10) 36. Nell'esperimento binomiale temporale, poni p = 0.8 e n = 30. Simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 100. Calcola e confronta i seguenti:
X30 27) X30
27} X30
27)
37. Supponi che in un certo comune, il 40% degli elettori preferiscano il candidato A. Si estrae un campione di 50 elettori.
La distribuzione binomiale si presenta spesso negli studi di affidabilità. Supponiamo che un sistema sia formato da n componenti che funzionano indipendentemente l'una dall'altra. Ciascuna componente può essere funzionante, con probabilità p, o difettosa, con probabiloità 1 - p. Le componenti rappresentano quindi prove Bernoulliane. Supponiamo ora che il sistema, nel suo complesso, funzioni se e solo se almeno k delle n componenti funzionano. In termini di affidabilità un sistema di questo tipo è detto, a buona ragione, sistema k di n. La probabilità che il sistema funzioni correttamente è detta affidabilità del sistema.
38. Commenta la ragionevolezza dell'assunzione che le componenti si comportino in modo Bernoulliano.
39.
Prova che l'affidabilità di un sistema k di n è Rn,k(p)
= P(X 
k) dove X
ha distribuzione binomiale con parametri n e p.
40.
Mostra che Rn,n(p) = pn. Un sistema n di n è detto sistema in serie.
41.
Mostra che Rn,1(p) = 1 - (1 - p)n. Un sistema 1
di n è detto sistema parallelo.
42.
Nell'esperimento binomiale della moneta, poni n= 10 e p = 0.9 e simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 100. Calcola l'affidabilità empirica e confrontala col suo valore teorico in ciascuno dei casi seguenti:
43. Considera un sistema formato da n = 4 componenti. Disegna il grafico di R4,1, R4,2,
R4,3 e R4,4 sullo stesso piano cartesiano.
44. Un sistema n di 2n - 1 è detto sistema a maggioranza.
45. Nell'esperimento binomiale della moneta, calcola l'affidabilità empirica, basandoti su 100 replicazioni, in ciascuno dei seguenti casi. Confronta i valori ottenuti con quelli teorici.
46. Prova che R2n
- 1, n(1/2) = 1/2.