1. Usa la
regola del prodotto per mostrare che il numero di permutazion i di lunghezza k da un insieme di n elementi èLaboratorio virtuale > Calcolo combinatorio > 1 [2] 3 4 5
Consideriamo un insieme D con n elementi. Una permutazione di lunghezza k da D è una sequenza ordinata
(x1, x2, ..., xk)
di k elementi distinti di D (ovviamente, k non può essere maggiore di n). Statisticamente, una permutazione di lunghezza k da D corrisponde a un campione ordinato di dimensione k estratto senza reinserimento.
1. Usa la
regola del prodotto per mostrare che il numero di permutazion i di lunghezza k da un insieme di n elementi è
(n)k = n(n - 1) ··· (n - k + 1)
2. Prova che il numero di permutazioni di lunghezza n dall'insieme D di n (che prendono semplicemente il nome di permutazioni di D) è
n! = (n)n = n(n - 1) ··· (1)
3. Dimostra che
(n)k = n! / (n - k)!
4. In una corsa di 10 cavalli si registrano i primi tre arrivati, in ordine. Quanti esiti ci sono?
5. Otto persone, formate da otto coppie sposate, si devono sedere in una fila di 8 sedie. Quante combinazioni possibili ci sono se:
6. Supponi che n
persone debbano sedersi attorno a una tavola rotanda. Mostra che ci sono (n - 1)! combinazioni distinte. Suggerimento: il senso matematico di una tavola rotonda è che non c'è una prima sedia.
7.
Dodici libri, di cui 5 sono di matematica, 4 di scienze e 3 di storia sono sistemati casualmente su una mensola.
8. Il problema del compleanno. Supponi di scegliere a caso n persone e di registrare i loro compleanni.
9. Replica
esperimento del compleanno 1000 volte per i seguenti valori di n.
In ciascun caso, confronta la frequenza relativa dell'evento in cui i compleanni sono distinti coi valori teorici dell'esercizio 8.
10. Supponi che ci siano 5 cacciatori di anatre, tutti ottimi tiratori. Passa uno stormo di 10 anatre, e ogni caccitori sceglie a caso un'anatra e spara. Trova la probabilità che vengano uccise 5 anatre.
11. Prova che il numero di permutazioni delle carte di un mazzo standard è
52! = 8.0658 × 1068.
Il numero trovato nell'esercizio 10 è enorme. Infatti, se esegui l'esperimento di estrarre tutte e 52 le carte di un mazzo ben mischiato, probabilmente genererai una sequenza mai generata prima.
12. Supponi di posizionare casualmente 8 pedoni su una scacchiera. Prova che la probabilità che nessun pedone possa mangiarne un altro è
8! 8! / (64)8.
13. Supponi di lanciare 5 dadi equilibrati. Trova la probabilità che tutti i punteggi siano differenti.
14.
Il numero di una patente è formato da 2 lettere e 5 numeri. Trova la probabilità che lettere e numeri siano tutti differenti.
La formula per (n)k dell'esercizio 1 ha senso per ogni numero reale n e intero non negativo k. L'espressione risultante è detta formula di permutazione generalizzata.
15.
Calcola