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10. Note conclusive

Simulazione dei campioni casuali

È molto semplice simulare un campione casuale di dimensione n con reinserimento da D = {1, 2, ..., N}. Ricorda che la funzione ceil(x) dà il minore intero maggiore di x.

1. Sia U_i un numero casuale per i = 1, 2, ..., n. Prova che X_i = ceil(NU_i), i = 1, 2, ..., n simula un campione casuale con reinserimento da D.

È un po' più difficile simulare un campione di dimensione n, senza reinserimento, poiché dobbiamo rimuovere il valore estratto prima di ogni estrazione successiva.

2. Prova che l'algoritmo seguente genera un campione casuale di dimensione n, senza reinserimento, da D.

Per i = 1 a N, sia b_i = i.
Per i = 1 a n,
sia j = N – i + 1;
sia U_i = numero casuale;
sia J = ceil(j U_i);
sia X_i = b_J;
sia k = b_j;
sia b_j = b_J;
sia b_J = k.
Restituisci (X₁, X₂, ..., X_n).

Argomenti correlati

• Il campionamento con reinserimento (o campionamento da popolazione infinita) dà variabili casuali indipendenti e identicamente distribuite. Il capitolo sui campioni casuali studia in generale variabili di tale tipo.
• I giochi di carte sono basati su estrazioni senza reinserimento; i giochi di dadi su estrazioni con reinserimento. Il capitolo sui giochi presenta alcuni risultati in questo senso.
• Le prove multinomiali sono basate sul campionamento con reinserimento da una popolazione di più tipi.
• Il problema della stima dei parametri a partire da un campione casuale è analizzato nel capitolo sulla stima puntuale.

Libri

• Il miglior riferimento sulla probabilità combinatoria resta forse il classico An Introduction to Probability Theory and its Applications, di William Feller.
• Un numero incredibile di problemi di probabilità possono essere formulati in termini di esperimenti di palline e urne. Il rfierimento migliore per questa teoria è Urn Models and Their Application di Johnson e Kotz.

Risposte agli esercizi del paragrafo 1

1.17.

1. 1 / 4
2. 1 / 221
3. 4 / 17
4. 1 / 52

1.19. 0.000547

Risposte agli esercizi del paragrafo 2

2.15. Y = numero di chip difettosi nel campione

1. P(Y = k) = C(10, k) C(90, 5 - k) / C(100, 5) per k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
2. E(Y) = 0.5, var(Y) = 0.432
3. P(Y > 0) = 0.416

2.16. Y = numero di donne, Z = 10 - Y = numero di uomini

1. E(Y) = 6, var(Y) = 1.959
2. E(Z) = 4, var(Z) = 1.959
3. P(Y = 0) + P(Y = 10) = 0.00294

2.22. Y = numero di pesci marchiati nel campione

1. P(Y 2) = 0.6108
2. P(Y 2) = 0.6083
3. Errore relativo: 0.0042.

2.23. 0.6331

Risposte agli esercizi del paragrafo 3

3.5. 20

3.6. 2000

3.7.

3.9.

3.11.

1. Rifiuta il lotto se Y 2.
2. Rifiuta il lotto se Y 1.

3.14. 2000

Risposte agli esercizi del paragrafo 4

4.15.

1. 0.2386
2. 0.0741
3. 0.0180
4. 0.2385

4.16.

1. 3.25
2. 1.864
3. -0.6213
4. -1 / 3

4.17.

1. 0.2370
2. 0.2168

4.18.

1. 0.0753
2. 0.3109

Risposte agli esercizi del paragrafo 5

5.6.

1. P(X₍₃₎ = k) = C(k - 1, 2) C(25 - k, 2) / C(25, 5) per k = 3, 4, ..., 22
2. E(X₍₃₎) = 13
3. var(X₍₃₎) = 125 / 7.

5.17. 1437

5.19. 2322

Risposte agli esercizi del paragrafo 6

6.5. 1,334,961

6.9.

6.12.

6.22.

1. 1 / 100
2. 1 / 16

Risposte agli esercizi del paragrafo 7

7.5. 0.6029

7.7. 0.2778

7.9. 0.6181

7.11. 0.3024

7.14. 9

Risposte agli esercizi del paragrafo 8

8.9. 0.3041

8.11. 0.2218

8.14. 0.3415

8.16. 0.3174

8.20. 87.576, 2.942

8.21. 22.952, 1.826

8.21. 9.894, 1.056

8.25. Sia V il numero di risposte distinte.

1. j	1	2	3
   P(V = j)	1/16	9/16	6/16

2. P(V = 1) = 1/16
3. E(V) = 37/16
4. sd(V) = 0.6830

8.25. Sia V il numero di oche uccise.

1. j	1	2	3	4	5
   P(V = j)	1/10000	927/2000	9/50	63/127	189/625

2. E(V) = 4.095
3. sd(V) = 0.727

Risposte agli esercizi del paragrafo 9

9.6. 0.9104

9.7. 0.8110

9.8. 0.0456

9.12. 10.988, 1.130

9.13. 14.700, 6.244

9.14. 29.290, 11.211

9.15. 2364.646, 456.207

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