1. Usa le proprietà della misura di conteggio per mostrare cheLaboratorio virtuale > Modelli di campionamento finito > 1 2 3 4 5 [6] 7 8 9 10
Il problema della concordanza è un esperimento casuale che può essere formulato in molti modi coloriti:
Tali esperimenti sono ovviamente equivalenti dal punto di vista formale, e corrispondono ad estrarre l'intera popolazione, senza reinserimento, dalla popolazione D = {1, 2, ..., n}. Quindi la variabile esito
X = (X1, X2, ..., Xn)
è distribuita uniformemente sullo spazio campionario di permutazioni di D. Il numero di unità n è il parametro dell'esperimento.
Diremo che si ha una concordanza alla posizione i se Xi = i. Quindi il numero di concordanze è la variabile casuale Nn definita formalmente come
Nn = I1 + I2 + ··· + In dove Ij = 1 se Xj = j e Ij = 0 altrimenti.
Per trovare la funzione di densità discreta del numero di concordanze, dobbiamo contare il numero di permutazioni con un numero specificato di concordanze. Ciò è facile una volta contato il numero di permutazioni senza concordanze che si dicono discordanze di {1, 2, ..., n}. Indicheremo il numero di permutazioni che presentano esattamente k concordanze con
bn(k) = #{Nn = k} for k in {0, 1, ..., n}.
1. Usa le proprietà della misura di conteggio per mostrare che
bn(0) = n! - #{Xi = i per qualche i}.
2. Usa la
formula di inclusione-esclusione del calcolo combinatorio per mostrare che
bn(0) = n! - 
j
= 1, ..., n (-1)j nj.
dove nj = {J:
#(J) = j} #{Xi = i per i 
J}.
3. Prova che se #(J)
= j allora
#{Xi = i per i appartenente a J} = (n - j)!.
4. Usa i risultati degli esercizi 2 e 3 per mostrare che
bn(0) = n! j
= 0, ..., n (-1)j / j!.
5. Calcola il numero di discordanze di 10 unità.
6. Mostra che la seguente procedura a due passo genera tutte le permutazioni con esattamente k concordanze.
7. Prova che il numero di modi di eseguire i passi dell'esercizio 6 sono, rispettivamente,
8. Usa la
regola del prodotto del calcolo combinatorio per mostrare che
bn(k) = (n! / k!) j
= 0, ..., n - k (-1)j / j!.
9. Con n = 5, calcola il numero di permutazioni con k concordanze, per k = 0, ...,
5.
10. Usa il risultato dell'esercizio 8 per mostrare che la funzione di densità di Nn è
P(Nn = k) = (1 / k!) j
= 0, ..., n - k (-1)j / j! per k =
0, 1, ..., n.
11. Nell'esperimento della concordanza, inizia con n = 2 e clicca ripetutamente sulla barra a scorrimento per incrementare n, osservando come cambia il grafico della funzione di densità. Con n = 10, simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10. Osserva la convergenza della densità empirica a quella teorica.
12. Calcola esplicitamente la funzione di densità di N5.
13. Mostra che P(Nn = n - 1) = 0. Dai una dimostrazione probabilistica mostrando che l'evento è impossibile e una dimostrazione algebrica utilizzando la funzione di densità dell'esercizio 8.
14. Prova che
P(Nn = k) 
e-1 / k! as n 
.
Come funzione di k, il membro di destra dell'espressione dell'esercizio 1 è la funzione di densità di Poisson con parametro 1. Pertanto, la distribuzione del numero di concordanze converge alla distribuzione di Poisson con parametro 1 al crescere di n. La convergenza è molto rapida: la distribuzione del numero di concordanze con n = 10 è più o meno la stessa del caso in cui n = 1000000!
15. Nell'esperimento della concordanza, poni n = 10. Simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10. Confronta le frequenze relative, le probabilità vere e le probabilità-limite di Poisson per il numero di concordanze.
Media e varianza del numero di concordanze possono essere ricavate direttamente dalla distribuzioni. Tuttavia, è molto più comoda la rappresentazione in termini di variabili indicatore. La proprietà di scambiabilità è molto importante in questo contesto.
16. Mostra che E(Ij)
= 1 / n per ogni j.
17. Prova che E(Nn)
= 1. Suggerimento: Usa il risultato dell'esercizio 1 e le proprietà del valore atteso.
Segue quindi che il numero atteso di concordanze è 1, indipendentemente dalla dimensione della permutazione n.
18. Nell'esperimento della concordanza, inizia con n = 2 e clicca ripetutamente sulla barra a scorrimento per incrementare n, osservando come la media non cambi. Con n = 10, simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10. Osserva la convergenza della media campionaria alla media della distribuzione.
19. Prova che var(Ij)
= (n - 1) / n2 per ogni j.
Una concordanza in una posizione dovrebbe rendere più probabili una concordanza in un'altra. Possiamo quindi immaginare che le variabili indicatore siano positivamente correlate.
20. Prova che se j
e k sono distinti allora
Dall'esercizio 20, per n = 2, l'evento in cui c'è una concordanza alla posizione 1 è perfettamente correlato con la concordanza alla posizione 2. Ti sembra ragionevole?
21. Mostra che var(Nn)
= 1. Suggerimento: Usa gli esercizi 4 e 5 e la proprietà della covarianza.
Segue che la varianza del numero di concordanze è 1, indipendentemente dalla dimensione della permutazione n.
22. Per n = 5, calcola la covarianza e la correlazione tra una concordanza alla posizione j e una alla posizione k, dove j e k sono distinti.
23. Nell'esperimento della concordanza, inizia con n = 2 e clicca ripetutamente sulla barra a scorrimento per incrementare n, osservando come la deviazione standard non cambi. Con n = 10, simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10. Osserva la convergenza della deviazione standard campionaria alla deviazione standard della distribuzione.
24. Mostra che, per j e k distinti,
cov(Ij, Ik) 0 per n .
Segue che l'evento concordanza alla posizione j è praticamente indipendente dalla concordanza alla posizione k se n è grande. Per n sufficientemente grande, le variabili indicatore si comportano quasi come n prove Bernoulliane con probabilità di successo 1 / n. Ciò dà ulteriori indizi sulla convergenza della distribuzione del numero di concordanze alla distribuzione di Poisson al crescere di n. Nota inoltre che la distribuzione limite di Poisson ha media 1 e varianza 1.