1. Mostra che Mn
m se e solo se Yi =
m per qualche i 
n. Laboratorio virtuale > Random Walk > 1 [2] 3 4
Consideriamo un random walk semplice simmetrico
Yn = X1 + X2 + ··· + Xn, n = 0, 1, ...
dove le X1, X2, ... sono indipendenti e con P(Xi = 1) = 1/2, P(Xi = -1) = 1/2.
In questo paragrafo studieremo Mn = max{Y0, Y1, ..., Yn}, la posizione massima raggiunta nei primi n passi. Notiamo che Mn assume valori da 0 a n. La distribuzione di Mn può essere ricavata da un'idea semplice e affascinante detta principio di riflessione.
1. Mostra che Mn
m se e solo se Yi =
m per qualche i n.
2. Mostra che, per ogni sentiero che soddisfa Mn m
e Yn = k m, esiste un altro sentiero che soddisfa Yn = 2m - k.
Suggerimento: Il secondo sentiero si ottiene dal primo riflettendolo sulla linea y = m, dopo che il primo sentiero raggiunge m.
3. Usa i risultati degli esercizi 1 e 2 e il fatto che i sentieri sono equiprobabili per mostrare che
P(Mn m, Yn
= k) = P(Yn = 2m - k) per k
m n.
4. Usa il risultato dell'esercizio 3 per mostrare che
P(Mn = m, Yn = k) = P(Yn = 2m - k) - P[Yn = 2(m + 1) - k].
5. Usa il risultato dell'esercizio 4 per mostrare che
6. Nella simulazione del random walk, seleziona la variabile posizione massima. Modifica il numero di passi e osserva forma e posizione della funzione di densità e della barra media/deviazione standard. Poni il numero di passi a 30 e simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10. Osserva la convergenza delle densità e dei momenti empirici ai loro valori teorici.
7. Mostra che, per ogni n,
la funzione di densità di Mn è decrescente.
Il risultato dell'esercizio 7 è piuttosto sorprendente; in particolare, il valore singolo più probabile per il massimo è 0!
8. Calcola esplicitamete funzione di densità, media e deviazione standard di M5.
9. Si lancio 10 volte una moneta equilibrata. Trova la probabilità che la differenza tra il numero di teste e il numero di croci non sia mai maggiore di 4.