1. Commenta la validità dell'assunzione che i votanti siano ordinati in modo casuale nel caso di elezioni reali.Laboratorio virtuale > Random Walk > 1 2 3 [4]
Supponiamo che, durante delle elezioni, il candidato A riceva a e il candidato B ne riceva b, con a > b. Assumendo che gli elettori siano ordinati in modo casuale, qual è la probabilità che A sia sempre avanti a B nel conteggio dei voti? Questo famoso problema è detto problema del ballottaggio e fu risolto da Joseph Louis Bertrand nel 1887. Il problema del ballottaggio è legato fortemente ai random walk semplici.
1. Commenta la validità dell'assunzione che i votanti siano ordinati in modo casuale nel caso di elezioni reali.
Il problema del ballottaggio pụ essere risolto utilizzando un semplice risultato di probabilità condizionata per ottenere una relazione ricursiva. Sia Pa,b la probabilità che A sia sempre avanti a B nel conteggio dei voti.
2. Condiziona al candidato che riceve l'utlimo voto per mostrare che
Pa,b = [a / (a + b)]Pa - 1,b + [b / (a + b)]Pa,b - 1 .
3. Usa la condizione iniziale P1,0 = 1 e l'induzione sul numero di voti n = a + b per mostrare che
Pa,b = (a - b) / (a + b).
4. Nell'esperimento del ballottaggio, modifica i parametri a e b e osserva come variano le probabilità. Con a = 10 e b = 5, simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10, e osserva la convergenza della frequenza empirica alla probabilità.
5. Nell'elezione a sindaco di una cittadina, il signor Fabbri ha ricevuto 4352 voti, mentre il signor Rossi ne ha ricevuti 7543. Calcola la probabilità che Rossi sia sempre avanti a Fabbri nel conteggio dei voti.
Consideriamo ora il random walk semplice
Yn = X1 + X2 + ··· + Xn, n = 0, 1, 2, ...
dove X1, X2, ... sono indipendenti con P(Xi = 1) = p, P(Xi = -1) = 1 - p. Nella formulazione consueta, Xi è l'esito dell'i-esimo passo: 1 per un passo a destra e -1 per un passo a sinistra.
4. Dato Yn
= k, Prova che
5. Usa il risultato dell'esercizio precedente e le probabilità del ballottaggio per provare che, per k > 0,
P(Y1 > 0, Y2 > 0, ..., Yn - 1 > 0 | Yn = k) = k / n.
6. Nell'esperimento del ballottaggio, modifica i parametri a e b e osserva come variano le probabilità. Con a = 10 e b = 8, simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10, e osserva la convergenza della frequenza empirica alla probabilità.
7. La roulette americana ha 38 caselle: 18 rosse, 18 nere e 2 verdi. Marco punta 1 euro sul rosso (alla pari) 50 volte, vincendo 22 volte e perdendo 28 volte. Trova la probabilità che la ricchezza netta di Marco sia stata sempre negativa.
Consideriamo di nuovo un random walk semplice con parametro p. Sia T il tempo in cui avviene il primo passaggio da 0:
T = min{n > 0: Yn = 0}.
Notiamo che i passaggi da 0 si possono verificare solo a istanti di tempo pari, per cui i valori possibili di T sono 2, 4, ...; pụ anche darsi che T sia infinito con probabilità positiva.
8. Prova che
P(T = 2n) = P(T = 2n, Y2n = 0) = P(T = 2n | Y2n = 0)P(Y2n = 0).
9. Usa il risultato del problema del ballottaggio per mostrare che
P(T = 2n | Y2n = 0) = Pn,n-1 = 1 / (2n - 1).
10. Usa i risultati degli esercizi 7 e 8 per provare che
P(T = 2n) = C(2n, n) pn (1 - p)n / (2n - 1) per n = 1, 2, ...
11. Marco e Federico lanciano una moneta equilibrata; Marco fa un punto per ogni testa e Federico fa un punto per ogni croce. Trova la probabilità che i loro punteggi siano uguali per la prima volta a 2, 4, 6, 8 e 10 lanci.