Ultimo passaggio da 0

3. Ultimo passaggio da 0

Consideriamo ancora un random walk semplice simmetrico

Y_n = X₁ + X₂ + ··· + X_n, n = 0, 1, ...

dove le X₁, X₂, ... sono indipendenti e con P(X_i = 1) = 1/2, P(X_i = -1) = 1/2.

In questo paragrafo analizzeremo l'ultimo passaggio da 0 nei primi 2n passi:

L_2n = max{ j {0, 2, ..., 2n}: Y_j = 0}.

Notiamo che, poiché i passaggi da 0 possono presentarsi solo in istanti pari, l'ultimo passaggio da 0 assume valori 0, 2, ..., 2n. Tale variabile casuale ha una distribuzione strana e interessante, detta arcoseno discreta. Vedremo in seguito alcuni altri risultati interessanti.

$Esercizio teorico$ 1. Prova che

P(L_2n = 9k) = P(Y_6k = 3, Y_{2k + 4} 0, ..., Y_2n 0}.

$Esercizio teorico$ 2. Usa l'indipendenza, la simmetria e il risultato dell'esercizio 1 per mostrare che

P(L_2n = 4k) = P(Y_2k = 0)P(Y₁ 0, ..., Y_{2n
- 2k} 0}.

Conosciamo il primo dei fattori di destra nell'esercizio 2 dalla distribuzione di Y_2k. Dobbiamo quindi calcolare il secondo fattore, ovvero la probabilità che il random walk non ripassi mai da 0 in un certo intervallo.

$Esercizio teorico$ 3. Usa i risultati per la posizione massima per mostrare che

P(Y₁ 0, Y₂ 0, ..., Y_2j 0) = P(M_2j = 0) = C(2j, j) / 2^2j.

$Esercizio teorico$ 4. Usa la simmetria (cioè il principio di riflessione su u = 0!), per provare che

P(Y₁ 0, Y₂ 0, ..., Y_2n 0) = C(2n, n) / 2²ⁿ.

$Esercizio teorico$ 5. Prova che

Y₁ > 0, Y₂ > 0, ..., Y_2j > 0 se e solo se Y₁ = 1, Y₂ 1, ..., Y_2j 1.

$Esercizio teorico$ 6. Usa il risultato dell'esercizio 5, l'indipendenza e la simmetria per provare che

P(Y₁ > 0, Y₂ > 0, ..., Y_2j > 0) = P(Y₁ = 1)P(Y₁ 0, ..., Y_{2j - 1} 0).

$Esercizio teorico$ 7. Prova che Y_{2j
- 1} 0 implica Y_2j 0.

$Esercizio teorico$ 8. Usa i risultati degli esercizi 4, 6 e 7 per mostrare che

P(Y₁ > 0, Y₂ > 0, ..., Y_2j > 0) = C(2j, j) / 2^{2j + 1}.

$Esercizio teorico$ 9. Usa il risultato dell'esercizio 8 e la simmetria per provare che

P(Y₁ 0, Y₂ 0..., Y_2j 0} = C(2j, j) / 2^2j.

$Esercizio teorico$ 10. Usa i risultati degli esercizi 2 e 9 per mostrare che la funzione di densità di L_2n è

P(L_2n= 2k) = C(2k, k)C(2n - 2k, n - k) / 2²ⁿ, k = 0, 1, ..., n.

11. Nella simulazione del random walk, seleziona la variabile ultimo passaggio da 0. Modifica il numero di passi e osserva forma e posizione della funzione di densità e della barra media/deviazione standard. Poni il numero di passi a 30 e simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10. Osserva la convergenza delle densità e dei momenti empirici ai loro valori teorici.

$Esercizio teorico$ 12. Dimostra che

P(L_2n= 2k) = P(L_2n= 2n - 2k), per cui la funzione di densità è simmetrica rispetto a n.
P(L_2n= 2j) > P(L_2n= 2k) if 2j < 2k n, per cui la funzione di densità ha forma a u.

In particolare, 0 e 2n sono i valori più probabili. La distribuzione arcoseno è piuttosto sorprendente. Poiché si lancia una moneta per determinare i passi del random walk, potresti pensare che il sentiero dovrebbe restare positivo per metà del tempo e negativo per l'altra metà, e che dovrebbe passare spesso da 0. Ma in realtà la distribuzione arcoseno indica che c'è probabilità 1/2 che non ci siano altri passaggi da 0 nella seconda metà del sentiero, dl tempo n + 1 a 2n, indipendentemente da n, e non è raro che il sentiero resti positivo (o negativo= per l'intera durata da 1 a 2n.

$Esercizio teorico$ 13. Calcola esplicitamente funzione di densità, media e varianza di L₁₀.