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1. Introduzione

Random Walk generalizzato

Supponiamo che X1, X2, ... siano variabili casuali a valori reali, indipendenti e identicamente distribuite, con funzione di densità f, media µ e varianza d2. La somma parziale n-esima è la variabile casuale

Yn = X1 + X2 + ··· + Xn.

Il processo stocastico Y0, Y1, Y2 ... è detto random walk (passeggiata aleatoria). Tale termine deriva dal fatto che possiamo pensare gli Yn come posizioni al tempo n di un passeggiatore che fa passi casuali successivi X1, X2, .... Il grafico dei valori di Yn in funzione di n è detto sentiero del random walk.

Le variabili indipendenti e identicamente distribuite e le loro somme parziali sono state analizzate in molti altri capitoli di questo progetto. I seguenti fatti sono alcuni tra i più importanti che dovresti riguardare:

Esercizio teorico 1. Mostra che Xi = Yi - Yi - 1 per i = 1, 2, .... Pertanto il processo X1, X2, ... e il processo Y0, Y1, Y2 ... contengono la stessa informazione, ma in maniere diverse.

Siamo particolarmente interessati a un caso particolare:

Random Walk semplice

Supponiamo che, per ogni i, Xi assuma valori 1 e -1 con probabilità, rispettivamente, p e 1 - p. In questo caso Y0, Y1, Y2... è detto random walk semplice con parametro p. Per ciascun passo, il passeggiatore si muove o di un'unità a destra (con probabilità p) o di un'unità a sinistra (con probabilità 1 - p). Il passeggiatore, ad esempio, può scegliere la direzione lanciando una moneta con probabilità di testa p ad ogni passo.

Esercizio teorico 2. Prova che, per ogni i,

  1. E(Xi) = 2p - 1.
  2. var(Xi) = 4p(1 - p).

Esercizio teorico 3. Sia Ij = (Xj + 1) / 2 per ogni j.

  1. Prova che Ij = 1 se Xj = 1 e Ij = 0 se Xj = -1.
  2. I1, I2, ... è una sequenza di prove Bernoulliane.

In termini del passeggiatore, Ij è la variabile indicatore dell'evento in cui l'i-esimo passo è a destra.

Esercizio teorico 4. Sia Zn = I1 + I2 + ··· + In.

  1. Mostra che Yn = 2Zn - n per ogni n.
  2. Mostra che Zn ha distribuzione binomiale con parametri n e p.

In termini del passeggiatore, Zn è il numero di passi a destra nei primi n passi.

Esercizio teorico 5. Usa i risultati degli esercizi precedenti per mostrare che

  1. P(Yn = k) = C[n, (n + k) / 2]p(n + k)/2(1 - p)(n - k)/2 per k = -n, -n + 2, ..., n -2, n.
  2. E(Yn) = n(2p - 1).
  3. var(Yn) = 4np(1 - p).

Esercizio teorico 6. Calcola esplicitamente funzione di densità, media e varianza di Y5.

Esercizio teorico 7. Si lancia dieci volte una moneta con probabilità di testa p = 3/4. Trova la probabilità che ci siano almeno 4 teste in più rispetto alle croci.

Random Walk semplice simmetrico

Consideriamo di nuovo il contesto descritto in precedenza, ma supponiamo che p = 1/2. In questo caso, Y0, Y1, Y2 ... è detto random walk semplice simmetrico. Il random walk simmetrico può essere analizzato utilizzando alcuni risultati del calcolo combinatorio, come faremo poco più avanti.

Esercizio teorico 8. Mostra che il vettore aleatorio Xn = (X1, X2, ..., Xn) è distribuito uniformemente su S = {-1, 1}n.

Pertanto, P(Xn in A) = #(A) / 2n per A sottinsieme {-1, 1}n.

Esercizio teorico 9. Prova che

  1. P(Yn = k) = C[n, (n + k) / 2] / 2n per k = -n, -n + 2, ..., n - 2, n.
  2. E(Yn) = 0.
  3. var(Yn) = n.

Simulazione 10. Nell'applet random walk, seleziona la variabile ultimo valore. Modifica il numero di passi e osserva forma e posizione della funzione di densità e della barra media/deviazione standard. Poni il numero di passi a 30 e simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10. Osserva la convergenza delle densità e dei momenti empirici ai loro valori teorici.

Simulazione 11. Nell'applet random walk, seleziona la variabile ultimo valore e poni il numero di passi a 50. Simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10 e calcola e confronta le seguenti quantità:

  1. P(-5 <= Y50 <= 10)
  2. La frequenza relativa dell'evento {-5 <= Y50 <= 10}
  3. L'approssimazione normale a P(-5 <= Y50 <= 10)

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