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1. Esperimenti casuali


Esperimenti

La teoria della probabilità è basata sul concetto di esperimento casuale; ovvero un esperimento il cui risultato non può essere previsto con certezza prima di eseguire l'esperimento. Di solito si assume che l'esperimento possa essere ripetuto all'infinito, essenzialmente sotto le stesse condizioni. Questa assunzione è importante poiché la teoria della probabilità si occupa dei risultati di lungo termine, al replicare dell'esperimento. Ovviamente, la definizione completa di un esperimento casuale richiede che si individui con precisione quali informazioni relative all'esperimento si registrano, ovvero quello che costituisce l'esito dell'esperimento.

Il termine parametro si riferisce a una quantità non aleatoria, di interesse per il modello, che una volta fissata resta costante. Molte modelli per esperimenti casuali possiedono uno o più parametri che si possono modificare per adattarsi allo specifico esperimento che si intende modellare.

Esperimenti composti

Supponiamo di avere n esperimenti E1, E2, ..., En. Possiamo generare un nuovo esperimento, composto, eseguendo in sequenza gli n esperimenti (E1 è il primo, E2 il secondo, e così via), independentemente l'uno dall'altro. Il termine indipendente significa, intuitivamente, che l'esito di un esperimento non ha influenza sugli altri. Definiremo questo concetto in termini formali più avanti.

Supponiamo in particolare di avere un esperimento semplice. Un numero fissato (o anche infinito) di replicazioni indipendenti dell'esperimento semplice costituisce un nuovo esperimento composto. Molti esperimenti si rivelano essere composti e in più, come abbiamo già osservato, la stessa teoria della probabilità si basa sull'idea di replicare gli esperimenti.

Supponiamo ora di avere un esperimento semplice con due possibili esiti. Le replicazioni indipendenti di questo esperimento si dicono prove Bernoulliane. Questo modello è uno dei più semplici, ma anche dei più importanti, per la teoria della probabilità. Supponiamo, più in generale, di avere un esperimento con k possibili esiti. Le replicazioni indipendenti di questo esperimento si dicono prove multinomiali.

A volte un esperimento si presenta a stadi ben definiti, ma in maniera dipendente, nel senso che l'esito di un certo stadio è influenzato dagli esiti degli stadi precedenti.

Esperimenti di campionamento

In molti studi statistici, il dato di partenza è una popolazione di unità di interesse. Le unità possono essere persone, chip di memoria, campi di grano, o qualsivoglia. Di solito si hanno uno o più misure numeriche di interesse: l'altezza e il peso di una persona, la durata di un chip di memoria, la quantità di pioggia, di fertilizzante e la produzione di un campo di grano.

Anche se si è interessati all'intera popolazione di unità, di solito tale insieme è troppo grande per essere studiato. Si raccoglie allora un campione casuale di unità dalla popolazione e si registrano le misurazioni di interesse per ciascuna unità del campione.

Esistono due tipi fondamentali di campionamento. Se campioniamo con reinserimento, ogni unità è reinserita nella popolazione prima di ogni estrazione; pertanto, una singola unità può presentarsi più di una volta nel campione. Se campioniamo senza reinserimento, le unità estratte non vengono reinserite nella popolazione. Il capitolo sui Modelli di campionamento finiti analizza vari modelli basati sul campionamento da una popolazione finita.

Il campionamento con reinserimento può essere pensato come un esperimento composto, basato su singole replicazioni dell'esperimento semplice consiste nell'estrarre una singola unità dalla popolazione e registrarne le misure di interesse. Al contrario, un esperimento composto consistente in n replicazioni indipendenti di un esperimento semplice che può essere pensato come campionamento. D'altro canto, il campionamento senza ripetizione è un esperimento formato da stadi dipendenti.

Esercizi

Esercizio teorico 1. Considera l'esperimento di lanciare n monete (distinte) e di registrare l'esito (testa o croce) per ogni moneta.

  1. Identifica un parametro dell'esperimento
  2. Definisci l'esperimento come composito
  3. Identifica l'esperimento come estrazione con reinserimento
  4. Identifica l'esperimento come n prove Bernoulliane

Simulazione 2. Nell'esperimento della moneta dell'esercizio 1, poni n = 5. Simula 100 replicazioni e osserva i risultati.

Esercizio teorico 3. Considera l'esperimento di lanciare n dadi (distinti) e di registrare il numero di punti di ogni dado.

  1. Identifica un parametro dell'esperimento
  2. Definisci l'esperimento come composito
  3. Identifica l'esperimento come estrazione con reinserimento
  4. Identifica l'esperimento come n prove multinomiali

Simulazione 4. Nell'esperimento dei dadi dell'esercizio 3, poni n = 5. Simula 100 replicazioni e osserva i risultati.

Esercizio teorico 5. Considera l'esperimento consistente nell'estrarre n carte da un mazzo di 52.

  1. Identifica l'esperimento come esperimento composito formato da stadi dipendenti
  2. Identifica l'esperimento come un campionamento senza ripetizione da una popolazione

Simulazione 6. Nell<a href="JavaScript:openApplet("CardExperiment")" class="applet">esperimento delle carte dell'esercizio 5, poni n = 5. Simula 100 replicazioni e osserva gli esiti.

Esercizio teorico 7. L'esperimento della moneta di Buffon consiste nel lanciare una moneta di raggio r 1/2 su un pavimento formato da mattonelle quadrate di lato 1. Si registrano le coordinate del centro della moneta, relativamente ad assi che passano attraverso il centro del quadrato e paralleli ai lati.

  1. Identifica un parametro dell'esperimento
  2. Definisci l'esperimento come composito
  3. Identifica l'esperimento come estrazione con reinserimento

Simulazione 8. Nell'esperimento della moneta di Buffon, poni r = 0.1. Simula 100 replicazioni e osserva i risultati

Esercizio numerico 9. Nel 1879, Albert Michelson ha effettuato un esperimento di misurazione della velocità della luce attraverso un interferometro. I dati sulla velocità della luce contengono i risultati di 100 replicazioni dell'esperimento di Michelson. Osserva i dati e spiega, in termini generali, la loro variabilità.

Esercizio numerico 10. Nel 1998, due studenti dell'università dell'Alabama a Huntsville hanno progettato il seguente esperimento: acquistare un pacchetto di M&Ms (di una certa marca reclamizzata) e registrare il numero di pastiglie rosse, verdi, blu, arancio e gialle e il peso netto (in grammi). Analizza i dati M&M e spiega, in termini generali, la loro variabilità.

Esercizio numerico 11. Nel 1999, due ricercatori dell'università di Belmont hanno progettato il seguente esperimento: catturare una cicala nella regione centrale del Tennessee e registrarne il peso corporeo (in grammi), la lunghezza e larghezza delle ali, la lunghezza del corpo (in millimetri), il sesso e la specie. I dati sulla cicala contengono i risultati di 104 replicazioni dell'esperimento. Osserva i dati e spiega, in termini generali, la loro variabilità.