Laboratorio virtuale > Distribuzioni > 1 2 3 4 5 6 7 8 [9]
Questo capitolo copre argomenti fondamentali che sono trattati, a vari livelli di approfondimento, in ogni libro di probabilità.
1.2.
1.8. Sia f(y) = P(Y = y) = C(30, y) C(20, 5 - y) / C(50, 5);
1.12. Let f(k) = P(X = k) = C(5, x) (0.4)k (0.6)5 - k per k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
1.15.
1.17. P(I = i1 i2 ... in) = (1 / 6)(1 / 2)n per n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 e i1, i2, ..., in appartenente a {0, 1}.
1.19.
1.20.
1.21.
1.22.
1.26. P(X = x | X > 0) = x2 / 5 per x = 1, 2.
1.27. P(U = 2 | Y = 8) = 2 / 5, P(U = 3 | Y = 8) = 2 / 5, P(U = 4 | Y = 8) = 1 / 5.
1.31. Sia N il punteggio del dado e X il numero di teste.
1.33. Sia V la probabilità di testa per la moneta estratta e X il numero di teste.
1.34. Sia X il punteggio del dado
P(X = x) = 5 / 24 per x = 1, 6; P(X = x) = 7 / 48 per x = 2, 3, 4, 5.
1.36. Sia X il numero della linea produttiva e D l'evento in cui il pezzo è difettoso.
1.37. Le tabelle riportano le funzioni di densità empirica (frequenze relative)
r | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 14 | 15 | 20 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
P(R = r) | 1/30 | 3/30 | 2/30 | 2/30 | 4/30 | 5/30 | 2/30 | 1/30 | 3/30 | 3/30 | 3/30 | 1/30 |
n | 50 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
P(N = n) | 1/30 | 1/30 | 1/30 | 4/30 | 4/30 | 3/30 | 9/30 | 3/30 | 2/30 | 2/30 |
r | 3 | 4 | 6 | 8 | 9 | 11 | 12 | 14 | 15 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
P(R = r | N > 57) | 1/16 | 1/16 | 1/16 | 3/16 | 3/16 | 1/16 | 1/16 | 3/16 | 2/16 |
1.38. Sesso G: 0 (femmina), 1 (maschio). Specie S: 0 (tredecula), 1 (tredecim), 2 (tredecassini). Le tabelle riportano le funzioni di densità empirica (frequenze relative).
i | 0 | 1 |
---|---|---|
P(G = i) | 59 / 104 | 45 / 104 |
j | 0 | 1 | 2 |
---|---|---|---|
P(S = j) | 44 / 104 | 6 / 104 | 54 / 104 |
P(G = i, S = j) | i | ||
---|---|---|---|
0 | 1 | ||
j | 0 | 16 / 104 | 28 / 104 |
1 | 3 / 104 | 3 / 104 | |
2 | 40 / 104 | 14 / 104 |
i | 0 | 1 |
---|---|---|
P(G = i | W > 0.2 | 31 / 73 | 42 / 73 |
2.4. P(T > 2) = exp(-1) = 0.3679
2.5.
2.8. P(T > 3) = (17 / 2) exp(-3) ~ 0.4232.
2.11.
2.13.
2.17.
2.18.
2.19.
2.20.
2.21.
2.23. P(X > 0, Y > 0) = 1 / 4.
2.25. P(X > 0, Y > 0) = 1 / 4.
2.27. P(X > 0, Y > 0) = 1 / 4.
2.29. P(X < Y < Z) = 1 / 6.
2.30.
2.33. f(x, y | X < 1 / 2, Y < 1 / 2) = 8(x + y), 0 < x < 1 / 2, 0 < y < 1 / 2.
2.34. Le densità empriche, basate su semplici partizioni del campo di variazione del peso e della lunghezza corporei, sono riportate nelle tabelle:
BW | (0, 0.1] | (0.1, 0.2] | (0.2, 0.3] | (0.3, 0.4] |
---|---|---|---|---|
Densità | 0.8654 | 5.8654 | 3.0769 | 0.1923 |
BL | (15, 20] | (20, 25] | (25, 30] | (30, 35] |
---|---|---|---|---|
Densità | 0.0058 | 0.1577 | 0.0346 | 0.0019 |
BW | (0, 0.1] | (0.1, 0.2] | (0.2, 0.3] | (0.3, 0.4] |
---|---|---|---|---|
Densità (G = 0) |
0.3390 | 4.4068 | 5.0847 | 0.1695 |
2.36.
2.37.
3.6. P(X > 6) = 13 / 40.
3.7. P(Y > X) = 4 / 9.
3.9.
3.13.
3.14.
4.6. Le densità congiunte e marginali sono riportate nella tabella seguente; Y e Z sono dipendenti.
P(Y = y, Z = z) | y | P(Z = z) | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 0 | 11 | 12 | |||
z | -5 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1/36 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1/36 |
-4 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1/36 | 0 | 1/36 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2/36 | |
-3 | 0 | 0 | 0 | 1/36 | 0 | 1/36 | 0 | 1/36 | 0 | 0 | 0 | 3/36 | |
-2 | 0 | 0 | 1/36 | 0 | 1/36 | 0 | 1/36 | 0 | 1/36 | 0 | 0 | 4/36 | |
-1 | 0 | 1/36 | 0 | 1/36 | 0 | 1/36 | 0 | 1/36 | 0 | 1/36 | 0 | 5/36 | |
0 | 1/36 | 0 | 1/36 | 0 | 1/36 | 0 | 1/36 | 0 | 1/36 | 0 | 1/36 | 6/36 | |
1 | 0 | 1/36 | 0 | 1/36 | 0 | 1/36 | 0 | 1/36 | 0 | 1/36 | 0 | 5/36 | |
2 | 0 | 0 | 1/36 | 0 | 1/36 | 0 | 1/36 | 0 | 1/36 | 0 | 0 | 4/36 | |
3 | 0 | 0 | 0 | 1/36 | 0 | 1/36 | 0 | 1/36 | 0 | 0 | 0 | 3/36 | |
4 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1/36 | 0 | 1/36 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2/36 | |
5 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1/36 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1/36 | |
P(Y = y) | 1/36 | 2/36 | 3/36 | 4/36 | 5/36 | 6/36 | 5/36 | 4/36 | 3/36 | 2/36 | 1/36 | 1 |
4.7. Le densità congiunte e marginali sono riportate nella tabella seguente; U e V sono dipendenti.
P(U = u, V = v) | u | P(V = v) | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |||
v | 1 | 1/36 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1/36 |
2 | 2/36 | 1/36 | 0 | 0 | 0 | 0 | 3/36 | |
3 | 2/36 | 2/36 | 1/36 | 0 | 0 | 0 | 5/36 | |
4 | 2/36 | 2/36 | 2/36 | 1/36 | 0 | 0 | 7/36 | |
5 | 2/36 | 2/36 | 2/36 | 2/36 | 1/36 | 0 | 9/36 | |
6 | 2/36 | 2/36 | 2/36 | 2/36 | 2/36 | 1/36 | 11/36 | |
P(U = u) | 11/36 | 9/36 | 7/36 | 5/36 | 3/36 | 1/36 | 1 |
4.8.
4.9.
4.10.
4.11.
4.12.
4.16.
4.18.
4.20.
4.22.
4.23.
4.25.
4.26.
4.27. Le densità empiriche congiunte e marginali sono presentate nella tabella seguente. Sesso e specie sono probabilmente dipendenti (confronta la densità congiunta col prodotto delle densità marginali).
P(G = i, S = j) | i | P(S = j) | ||
---|---|---|---|---|
0 | 1 | |||
j | 0 | 16 / 104 | 28 / 104 | 44 / 104 |
1 | 3 / 104 | 3 / 104 | 6 / 104 | |
2 | 40 / 104 | 14 / 104 | 56 / 104 | |
P(G = i) | 59 / 104 | 45 / 104 | 1 |
4.28. Le densità empiriche congiunte e marginali, basate su semplici partizioni del campo di variazione di peso e lunghezza corporei, sono presentate nella tabella seguente. Il peso e la lunghezza corporei sono quasi certamente dipendenti.
Densità (BW, BL) | BW | Densità BL | ||||
---|---|---|---|---|---|---|
(0, 0.1] | (0.1, 0.2] | (0.2, 0.3] | (0.3, 0.4] | |||
BL | (15, 20] | 0 | 0.0385 | 0.0192 | 0 | 0.0058 |
(20, 25] | 0.1731 | 0.9808 | 0.4231 | 0 | 0.1577 | |
(25, 30] | 0 | 0.1538 | 0.1731 | 0.0192 | 0.0346 | |
(30, 35] | 0 | 0 | 0 | 0.0192 | 0.0019 | |
Densità BW | 0.8654 | 5.8654 | 3.0769 | 0.1923 |
4.29. Le densità empiriche congiunte e marginali, basate su semplici partizioni del campo di variazione del peso corporeo, sono presentate nella tabella seguente. Il peso e il sesso sono quasi certamente dipendenti.
Densità (BW, G) | BW | Densità G | ||||
---|---|---|---|---|---|---|
(0, 0.1] | (0.1, 0.2] | (0.2, 0.3] | (0.3, 0.4] | |||
G | 0 | 0.1923 | 2.5000 | 2.8846 | 0.0962 | 0.5673 |
1 | 0.6731 | 3.3654 | 0.1923 | 0.0962 | 0.4327 | |
Densità BW | 0.8654 | 5.8654 | 3.0769 | 0.1923 |
5.9. Le densità condizionate di U dati i diversi valori di V sono riportate nella tabella seguente.
P(U = u | V = v) | u | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ||
v | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
2 | 2/3 | 1/3 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
3 | 2/5 | 2/5 | 1/5 | 0 | 0 | 0 | |
4 | 2/7 | 2/7 | 2/7 | 1/7 | 0 | 0 | |
5 | 2/9 | 2/9 | 2/9 | 2/9 | 1/9 | 0 | |
6 | 2/11 | 2/11 | 2/11 | 2/11 | 2/11 | 1/11 |
5.10. Le denistà congiunte e marginali sono presentate nella prima tabella. Le densità condizionate di N dati i diversi valori di X sono riportati nella seconda tabella.
P(N = n, X = k) | n | P(X = k) | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |||
k | 0 | 1/12 | 1/24 | 1/48 | 1/96 | 1/192 | 1/384 | 21/128 |
1 | 1/12 | 1/12 | 1/16 | 1/24 | 5/192 | 1/64 | 5/16 | |
2 | 0 | 1/24 | 1/16 | 1/16 | 5/96 | 5/128 | 33/128 | |
3 | 0 | 0 | 1/48 | 1/24 | 5/96 | 5/96 | 1/6 | |
4 | 0 | 0 | 0 | 1/96 | 5/192 | 5/128 | 29/384 | |
5 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1/192 | 1/64 | 1/48 | |
6 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1/384 | 1/384 | |
P(N = n) | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1 |
P(N = n | X = k) | n | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ||
k | 0 | 32/63 | 16/63 | 8/63 | 4/63 | 2/63 | 1/63 |
1 | 16/60 | 16/60 | 12/60 | 8/60 | 5/60 | 3/60 | |
2 | 0 | 16/99 | 24/99 | 24/99 | 20/99 | 15/99 | |
3 | 0 | 0 | 2/16 | 4/16 | 5/16 | 5/16 | |
4 | 0 | 0 | 0 | 4/29 | 10/29 | 15/29 | |
5 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1/4 | 3/4 | |
6 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
5.12. Le denistà congiunte e marginali sono presentate nella prima tabella. Le densità condizionate di I dati i diversi valori di X sono riportati nella seconda tabella.
P(I = i, X = k) | k | P(I = i) | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |||
i | 0 | 1/12 | 1/12 | 1/12 | 1/12 | 1/12 | 1/12 | 1/2 |
1 | 1/8 | 1/16 | 1/16 | 1/16 | 1/16 | 1/8 | 1/2 | |
P(X = k) | 5/24 | 7/48 | 7/48 | 7/48 | 7/48 | 5/24 | 1 |
P(I = i | X = k) | k | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ||
i | 0 | 2/5 | 4/7 | 4/7 | 4/7 | 4/7 | 2/5 |
1 | 3/5 | 3/7 | 3/7 | 3/7 | 3/7 | 3/5 |
5.14. La densità congiunta di (V, X) e la densità marginale di X sono riportate nella prima tabella. Le distribuzioni condizionate di V dati i diversi valori di X sono presentate nella seconda tabella.
P(V = p, X = k) | k | P(V = p) | |||
---|---|---|---|---|---|
0 | 1 | 2 | |||
p | 1/2 | 5/48 | 10/48 | 5/48 | 5/12 |
1/3 | 1/27 | 4/27 | 4/27 | 4/12 | |
1 | 0 | 0 | 1/4 | 3/12 | |
P(X = k) | 61/432 | 154/432 | 217/432 | 1 |
P(V = p | X = k) | k | |||
---|---|---|---|---|
0 | 1 | 2 | ||
p | 1/2 | 45/61 | 45/77 | 36/217 |
1/3 | 16/61 | 32/77 | 64/217 | |
1 | 0 | 0 | 108/217 |
5.15. Sia N il numero della lampadina e T la durata.
n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
---|---|---|---|---|---|
P(N = n | T > 1) | 0.6364 | 0.2341 | 0.0861 | 0.0317 | 0.0117 |
5.16.
5.17.
5.18.
5.19.
5.20.
5.21.
5.22.
5.23.
5.26.
5.28.
5.30.
5.32.
6.12.
y | (-, 2) | [2, 3) | [3, 4) | [4, 5) | [5, 6) | [6, 7) | [7, 8) | [8, 9) | [9, 10) | [10, 11) | [11, 12) | [12, ) |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
P(Y y) | 0 | 1/36 | 3/36 | 6/36 | 10/36 | 15/36 | 21/36 | 26/36 | 30/36 | 33/36 | 35/36 | 1 |
v | (-, 1) | [1, 2) | [2, 3) | [3, 4) | [4, 5) | [5, 6) | [6, ) |
---|---|---|---|---|---|---|---|
P(V v) | 0 | 1/36 | 4/36 | 9/36 | 16/36 | 25/36 | 1 |
y | (-, 6) | [6, 7) | [7, 8) | [8, 9) | [9, 10) | [10, ) |
---|---|---|---|---|---|---|
P(Y y | V = 5) | 0 | 2/9 | 4/9 | 6/9 | 8/9 | 1 |
6.13.
6.14.
6.15.
6.16.
6.17.
6.19.
6.20.
6.21.
6.27.
6.28.
6.29.
6.30.
6.31.
6.32. F-1(p) = p / (1 - p) per 0 < p < 1.
6.33.
6.41.
6.44.
6.45. Sia N il numero complessivo di pastiglie. La funzione di ripartizione empirica di N è a gradini; la tabella seguente riporta i valori della funzione nei punti di discontinuità.
n | 50 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
P(N n) | 1/30 | 2/30 | 3/30 | 7/30 | 11/30 | 14/30 | 23/30 | 36/30 | 28/30 | 1 |
7.4. Vedi 4.6 e 4.7.
7.5. Sia Y = floor(T) e Z = ceil(T).
7.6.
P(I = i, J = j) | i | ||
---|---|---|---|
0 | 1 | ||
j | 0 | 1/8 | 1/4 |
1 | 1/4 | 3/8 |
7.7.
7.8.
7.9.
7.10.
7.15. X = a + U(b - a) dove U è un numero casuale (uniformemente distribuito su (0, 1)).
7.16. X = -ln(1 - U) / r dove U è un numero casuale (uniformemente distribuito su (0, 1)).
7.17. X = 1 / (1 - U)1/a dove U è un numero casuale (uniformemente distribuito su (0, 1)).
7.20. g(y) = y -1/2 / 4 per 4 < y < 16.
7.21. g(y) = y8 per -1 < y < 21/3.
7.22. g(y) = aya - 1 per 0 < y < 1.
7.23.
7.24.
7.28. g(u, v, w) = 1 / 2 per (u, v, w) appartenente alla regione rettangolare di R3 di vertici
(0, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 1, 1), (2, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (2, 2, 2).
7.29. g(u, v) = exp[-(4u + v) / 7] / 7 per -3v / 4 < u < 2v, v > 0.
7.33. Sia Y = X1 + X2 la somma dei punteggi.
y | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
P(Y = y) | 1/36 | 2/36 | 3/36 | 4/36 | 5/36 | 6/36 | 5/36 | 4/36 | 3/36 | 2/36 | 1/36 |
7.35. SiaY = X1 + X2 la somma dei punteggi.
y | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
P(Y = y) | 1/16 | 1/16 | 5/64 | 3/32 | 7/64 | 3/16 | 7/64 | 3/32 | 6/64 | 1/16 | 1/16 |
7.37. Sia Y = X1 + X2 la somma dei punteggi.
y | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
P(Y = y) | 2/48 | 3/48 | 4/48 | 5/48 | 6/48 | 8/48 | 6/48 | 5/48 | 4/48 | 3/48 | 2/48 |
7.38. Sia h la densità di Z.
7.39..
7.42.
7.43.
7.44. Sia U il punteggio minimo e V il punteggio massimo.
7.45. Sia U il punteggio minimo e V il punteggio massimo.
k | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
---|---|---|---|---|---|---|
P(U = k) | 1 - (3/4)n | (3/4)n - (5/8)n | (5/8)n - (1/2)n | (1/2)n - (3/8)n | (3/8)n - (1/4)n | (1/4)n |
k | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
---|---|---|---|---|---|---|
P(V = k) | (1/4)n | (3/8)n - (1/4)n | (1/2)n - (3/8)n | (5/8)n - (1/2)n | (3/4)n - (5/8)n | 1 - (3/4)n |