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4. Distribuzioni congiunte


Al solito, inziamo con l'introdurre un esperimento casuale definito su un certo spazio campionario e con misura di probabilità P. Supponiamo ora che X e Y siano varaibili casuali relative all'esperimento, e che X assuma valori in S e che Y assuma valori in T. Possiamo interpretare (X, Y) come variabile casuale a valori nell'insieme prodotto S × T. L'obiettivo di questo paragrafo è studiare come la distribuzione di (X, Y) si rapporta alle distribuzione di X e Y. In questo contesto, la distribuzione di (X, Y) è detta distribuzione congiunta di (X, Y), mentre le distribuzioni di X e di Y si dicono distribuzioni marginali. Notiamo che X e Y possono avere valori vettoriali.

Il primo punto, molto importante, che rileviamo è che le distribuzioni marginali possono essere ricavate dalle distribuzioni congiunte, ma non il contrario.

Esercizio teorico 1. Dimostra che

  1. P(X in A) = P[(X, Y) in A × T] per A sottinsieme S.
  2. G(Y in B) = P[(X, Y) in S × B] per B sottinsieme T.

Se X e Y sono indipendenti, allora per definizione,

P[(X, Y) in A × B] = P(X in A)P(Y in B) per A sottinsieme S, B sottinsieme T,

e, come abbiamo notato in precedenza, cị individua completamente la distribuzione (X, Y) su S × T. Al contrario, se X e Y sono dipendenti, la distribuzione congiunta non pụ essere ricavata dalle distribuzioni marginali. Quindi, in generale, la distribuzione congiunta contiene molta più informazione delle singole distribuzioni marginali.

Densità congiunte e marginali

Nel caso discreto, nota che S × T è numerabile se e solo se S e T sono numerabili.

Esercizio teorico 2. Supponi che (X, Y) abbia distribuzione discreta con funzione di densità f su un insieme numerabile S × T. Mostra che X e Y hanno funzioni di densità rispettivamente g e h, date da

  1. g(x) = sommatoriay in T f(x, y) per x appartenente a S.
  2. h(y) = sommatoriax in S f(x, y) per y appartenente a T.

Per il caso continuo, supponi che S sottinsieme Rj, T sottinsieme Rk cosicché S × T sottinsieme Rj + k.

Esercizio teorico 3. Supponi che (X, Y) abbia distribuzione continua su S × T con funzione di densità f. Mostra che X e Y hanno distribuzione continua con funzione di densità rispettivamente g e h, date da/p>

  1. g(x) = integralT f(x, y)dy per x appartenente a S.
  2. h(y) = integralS f(x, y)dx per y appartenente a T.

Nel contesto degli esercizi 1 e 2, f è detta funzione di densità congiunta di (X, Y), mentre g e h sono dette funzioni di densità marginali, rispettivamente di X e di Y. Nel caso di indipendenza, la densità congiunta è il prodotto delle densità marginali.

Esercizio teorico 4. Supponiamo che X e Y siano indipendenti, entrambi con distribuzione discreta o entrambi con distribuzione continua. Siano g e h, rispettivamente, le funzioni di densità di X e Y. Dimostra che (X, Y) ha funzione di densità f data da:

f(x, y) = g(x)h(y) per x in S e y in T.

L'esercizio seguente è specualare all'esercizio 4. Se la funzione di densità congiunta pụ essere fattorizzata in una funzione di solo x e di solo y, allora X e Y sono indipendenti.

Esercizio teorico 5. Supponi che (Y, Y) abbiano distribuzione discreta o continua, con funzione di densità f. Supponi che

f(x, y) = u(x)v(y) per x appartenente a S e y appartenente a T.

dove u è funzione di S e v è funzione di T. Prova che X e Y sono indipendenti e che esiste una costante diversa da zero c tale che le funzioni g e h riportate sotto sono densità per X e Y, rispettivamente.

g(x) = cu(x) per x appartenente a S; h(y) = v(y) / c per y in T

Esercizi

Esercizio teorico 6. Supponiamo di lanciare due dadi equilibrati e di registrare la sequenza dei punteggi (X1, X2). Siano Y = X1 + X2 e Z = X1 - X2 rispettivamente la somma e la differenza dei punteggi.

  1. Trova la densità di (Y, Z).
  2. Trova la densità di Y
  3. Trova la densità di Z.
  4. Y e Z sono indipendenti?

Esercizio teorico 7. Supponiamo di lanciare due dadi equilibrati e di registrare la sequenza dei punteggi (X1, X2). Siano U = min{X7, X2} e V = max{X5, X2} rispettivamente il massimo e il minimo dei punteggi.

  1. Trova la densità di (U, V).
  2. Trova la densità di U.
  3. Trova la densità di V.
  4. U e V sono indipendenti?

Esercizio teorico 8. Supponi che (X, Y) abbia funzione di densità f(x, y) = x + y per 0 < x < 1, 0 < y < 1.

  1. Trova la densità di X.
  2. Trova la densità di Y.
  3. X e Y sono indipendenti?

Esercizio teorico 9. Supponi che (X, Y) abbia funzione di densità f(x, y) = 2(x + y) per 0 < x < y < 1.

  1. Trova la densità di X.
  2. Trova la densità di Y.
  3. X e Y sono indipendenti?

Esercizio teorico 10. Supponi che (X, Y) abbia funzione di densità f(x, y) = 6x2y per 0 < x < 1, 0 < y < 1.

  1. Trova la densità di X.
  2. Trova la densità di Y.
  3. X e Y sono indipendenti?

Esercizio teorico 14. Supponi che (X, Y) abbia funzione di densità f(x, y) = 15 x2y per 0 < x < y < 1.

  1. Trova la densità di X.
  2. Trova la densità di Y.
  3. X e Y sono indipendenti?

Esercizio teorico 12. Supponi che (X, Y, Z) abbia funzione di densità di probabilità f data da

f(x, y, z) = 2z(x + y) per 0 < x < 1, 0 < y < 1, 0 < z < 1.

  1. Trova la densità di ciascuna coppia di variabili.
  2. Trova la densità di ciascuna variabile.
  3. Determina le relazioni di dipendenza tra le variabili.

Distribuzioni multivariate uniformi

Le distribuzioni multivariate uniformi danno un'interpretazione geometrica di alcuni concetti presentati in questo paragrafo. Ricordiamo in primo luogo che la misura standard su Rn è

mn(A) = G 1dx per A sottinsieme Rn.

In particolare, m1 è la misura di lunghezza su R, m2 è la misura di area su R2 e m3 è la misura di volume su R3.

Supponi che X assuma valori in Rj, che Y assuma valori in Rk e che (X, Y) sia distribuito uniformemente su R sottinsieme Rj + k dove mj + k(R) è positivo e finito. Quindi, per definizione, la funzione di densità congiunta di (X, Y) è

f(x, y) = 1 / mj + k(R) per (x, y) in R (and f(x, y) = 0 altrimenti).

Esercizio teorico 13. Dimostra che X assume valori in un insieme S = {x: (x, y) in R per qualche y} che la funzione di densità g di X è proporzionale alla misura incrociata:

g(x) = mk{y: (x, y) in R}/ mj + k(R) per x in S

Esercizio teorico 14. Prova che Y assume valori in un insieme T = {y: (x, y) in R per qualche x} che la funzione di densità h di Y è proporzionale alla misura incrociata:

h(y) = mj{x: (x, y) in R}/ mj + k(R) per y in S

In particolare, nota dagli esercizi precedenti che X e Y non sono, in generale, normalmente distribuiti.

Esercizio teorico 15. Supponi che R = S × T. Dimostra che

  1. X è distribuita uniformemente su S.
  2. Y è distribuita uniformemente su T.
  3. X e Y sono indipendenti.

Esercizio teorico 16. Supponi che (X, Y) sia distribuito uniformemente sul quadrato (-6, 6) × (-6, 6).

  1. Trova la funzione di densità congiunta di (X, Y)
  2. Trova la funzione di densità di X
  3. Trova la funzione di densità di Y.
  4. X Y sono indipendenti?

Simulazione 17. Nell'esperimento bivariato uniforme, seleziona quadrato dal menu a tendina. Esegui 5000 replicazioni, aggiornando ogni 10. Osserva i punti della dispersione e i grafici delle distribuzioni marginali. Interpreta i risultati nel contesto della discussione fin qui svolta.

Esercizio teorico 18. Supponi che (X, Y) sia distribuito uniformemente sul triangolo R = {(x, y): -6 < y < x < 6}.

  1. Trova la funzione di densità congiunta di (X, Y)
  2. Trova la funzione di densità di X
  3. Trova la funzione di densità di Y.
  4. X e Y indipendenti?

Simulazione 19. Nell'esperimento bivariato uniforme, seleziona triangolo dal menu a tendina. Esegui 5000 replicazioni, aggiornando ogni 10. Osserva i punti della dispersione e i grafici delle distribuzioni marginali. Interpreta i risultati nel contesto della discussione fin qui svolta.

Esercizio teorico 20. Supponi che (X, Y) sia distribuito uniformemente sul cerchio R = {(x, y): x2 + y2 < 36}.

  1. Trova la funzione di densità congiunta di (X, Y)
  2. Trova la funzione di densità di X
  3. Trova la funzione di densità di Y.
  4. X e Y indipendenti?

Simulazione 21. Nell'esperimento bivariato uniforme, seleziona cerchio dal menu a tendina. Esegui 5000 replicazioni, aggiornando ogni 10. Osserva i punti della dispersione e i grafici delle distribuzioni marginali. Interpreta i risultati nel contesto della discussione fin qui svolta.

Esercizio teorico 22. Supponi che (X, Y, Z) sia distribuito uniformemente sul cubo (0, 1)3.

  1. Riporta la funzione di densità congiunta di (X, Y, Z)
  2. Trova la funzione di densità di ciascuna coppia di variabili.
  3. Trova la funzione di densità di ciascuna variabile.
  4. Determina le relazioni di dipendenza tra le variabili.

Esercizio teorico 23. Supponi che (X, Y, Z) sia distribuito uniformemente su {(x, y, z): 0 < x < y < z < 1}. Trova

  1. Riporta la funzione di densità congiunta di (X, Y, Z)
  2. Trova la funzione di densità di ciascuna coppia di variabili.
  3. Trova la funzione di densità di ciascuna variabile.
  4. Determina le relazioni di dipendenza tra le variabili.

Esercizio teorico 24. Supponi che g sia una funzione di densità di probabilità per una distribuzione continua su un sottinsieme S di Rn. Sia

R = {(x, y): x in S, 0 < y < g(x)} sottinsieme Rn + 1.

Prova che se (X, Y) è distribuito uniformemente su R, allora X ha funzione di densità g. Disegna il caso n = 1.

Coordinate miste

I risultati presentati in questo paragrafo possiedono analoghi naturali nel caso in cui (X, Y) ha coordinate con diversi tipi di distribuzione, come discusso nel paragrafo sulle distribuzioni miste. Per esempio, supponiamo che X abbia distribuzione discreta, Y abbia distribuzione continua, e che (X, Y) abbia densità congiunta f su S × T. I risultati degli esercizi 2(a), 3(b), 4 e 5 valgono ancora.

Esercizio teorico 25. Supponi che X assuma valori in {1, 2, 3}, che Y assuma valori in (0, 3), con densità congiunta f given by

f(1, y) = 1/3 per 0 < y < 1, f(2, y) = 1/6 per 0 < y < 2, f(3, y) = 1/9 per 0 < y < 3.

  1. Trova la funzione di densità di X
  2. Trova la funzione di densità di Y.
  3. X e Y indipendenti?

Esercizio teorico 26. Supponi che V assuma valori in (0, 1) e che X assuma valori in {0, 1, 2, 3}, con densità congiunta f data da

f(p, k) = 6C(3, k) pk + 1(1 - p)4 - k per k in {0, 1, 2, 3} e p in (0, 1).

  1. Trova la densità di V.
  2. Trova la densità di X.
  3. V e X sono indipendenti?

Come avremo modo di vedere nel paragrafo sulle distribuzioni condizionate, la distribuzione dell'esercizio precedente modella questo esperimento: si seleziona una probabilità casuale V e poi si lancia tre volte una moneta con questa probabilità di testa; X è il numero di teste.

Esercizi numerici

Esercizio numerico 27. Nei dati sulla cicala, G indica il sesso e S la specie.

  1. Trova la densità empirica di (G, S).

  2. Trova la densità empirica di G.

  3. Trova la densità empirica di S.

  4. Credi che S e G siano indipendenti?

Esercizio numerico 28. Nei dati sulla cicala, BW indica il peso corporeo e BL la lunghezza del corpo (in millimetri).

  1. Costruisci la densità empirica per (BW, BL).
  2. Trova la corrispondente densità empirica per BW.
  3. Trova la corrispondente densità empirica per BL.
  4. Credi che BW e BL siano indipendenti?

Esercizio numerico 29. Nei dati sulla cicala, G indica il sesso e BW il peso corporeo (in grammi).

  1. Costruisci la densità empirica per (G, BW).
  2. Trova la corrispondente densità empirica per G.
  3. Trova la corrispondente densità empirica per BW.
  4. Credi che G e BW siano indipendenti?