Laboratorio virtuale > Distribuzioni > 1 2 3 [4] 5 6 7 8 9
Al solito, inziamo con l'introdurre un esperimento casuale
definito su un certo spazio campionario e con misura di probabilità P.
Supponiamo ora che X e Y siano varaibili casuali relative all'esperimento, e che X assuma valori in S
e che Y assuma valori in T. Possiamo interpretare
Il primo punto, molto importante, che rileviamo è che le distribuzioni marginali possono essere ricavate dalle distribuzioni congiunte, ma non il contrario.
1. Dimostra che
Se X e Y sono indipendenti, allora per definizione,
P[(X, Y) A × B] = P(X A)P(Y B) per A S, B T,
e, come abbiamo notato in precedenza, cị individua completamente la distribuzione (X,
Y) su
Nel caso discreto, nota che
2. Supponi che
Per il caso continuo, supponi che S
Rj, T
Rk cosicché
3. Supponi che
Nel contesto degli esercizi 1 e 2, f è detta funzione di densità congiunta di (X, Y), mentre g e h sono dette funzioni di densità marginali, rispettivamente di X e di Y. Nel caso di indipendenza, la densità congiunta è il prodotto delle densità marginali.
4. Supponiamo che X
e Y siano indipendenti, entrambi con distribuzione discreta o entrambi con distribuzione continua. Siano g e h, rispettivamente, le funzioni di densità di X e Y. Dimostra che
f(x, y) = g(x)h(y) per x S e y T.
L'esercizio seguente è specualare all'esercizio 4. Se la funzione di densità congiunta pụ essere fattorizzata in una funzione di solo x e di solo y, allora X e Y sono indipendenti.
5. Supponi che (Y, Y) abbiano distribuzione discreta o continua, con funzione di densità f. Supponi che
f(x, y) = u(x)v(y) per x appartenente a S e y appartenente a T.
dove u è funzione di S e v è funzione di T. Prova che X e Y sono indipendenti e che esiste una costante diversa da zero c tale che le funzioni g e h riportate sotto sono densità per X e Y, rispettivamente.
g(x) =
6. Supponiamo di lanciare due dadi equilibrati e di registrare la sequenza dei punteggi (X1, X2). Siano Y = X1 + X2 e Z = X1 - X2 rispettivamente la somma e la differenza dei punteggi.
7. Supponiamo di lanciare due dadi equilibrati e di registrare la sequenza dei punteggi (X1, X2). Siano U = min{X7, X2} e V = max{X5, X2} rispettivamente il massimo e il minimo dei punteggi.
8. Supponi che (X, Y) abbia funzione di densità f(x, y) = x + y per 0 < x < 1, 0 < y < 1.
9. Supponi che (X, Y) abbia funzione di densità f(x, y) = 2(x + y) per 0 < x < y < 1.
10. Supponi che (
14. Supponi che (X, Y) abbia funzione di densità f(x, y) = 15 x2y per 0 < x < y < 1.
12. Supponi che (X, Y, Z) abbia funzione di densità di probabilità f data da
f(x, y, z) = 2z(x + y) per 0 < x < 1, 0 < y < 1, 0 < z < 1.
Le distribuzioni multivariate uniformi danno un'interpretazione geometrica di alcuni concetti presentati in questo paragrafo. Ricordiamo in primo luogo che la misura standard su Rn è
mn(A) = G 1dx per A Rn.
In particolare, m1 è la misura di lunghezza su R, m2 è la misura di area su R2 e m3 è la misura di volume su R3.
Supponi che
X assuma valori in Rj, che Y assuma valori in Rk e che (X, Y) sia distribuito uniformemente su R
f(x, y) = 1 / mj + k(R) per (x, y) R (and f(x, y) = 0 altrimenti).
13. Dimostra che X assume valori in un insieme S = {x: (x, y) R per qualche y} che la funzione di densità g di X è proporzionale alla misura incrociata:
g(x) = mk{y: (x, y) R}/ mj + k(R) per x S
14. Prova che Y assume valori in un insieme T = {y: (x, y) R per qualche x} che la funzione di densità h di Y è proporzionale alla misura incrociata:
h(y) = mj{x: (x, y) R}/ mj + k(R) per y S
In particolare, nota dagli esercizi precedenti che X e Y non sono, in generale, normalmente distribuiti.
15. Supponi che R = S × T. Dimostra che
16. Supponi che (X, Y) sia distribuito uniformemente sul quadrato (-6, 6) × (-6, 6).
17. Nell'esperimento bivariato uniforme, seleziona quadrato dal menu a tendina. Esegui 5000 replicazioni, aggiornando ogni 10. Osserva i punti della dispersione e i grafici delle distribuzioni marginali. Interpreta i risultati nel contesto della discussione fin qui svolta.
18. Supponi che (X, Y) sia distribuito uniformemente sul triangolo R = {(x, y): -6 < y < x < 6}.
19. Nell'esperimento bivariato uniforme, seleziona triangolo dal menu a tendina. Esegui 5000 replicazioni, aggiornando ogni 10. Osserva i punti della dispersione e i grafici delle distribuzioni marginali. Interpreta i risultati nel contesto della discussione fin qui svolta.
20. Supponi che (X, Y) sia distribuito uniformemente sul cerchio R = {(x, y): x2 + y2 < 36}.
21. Nell'esperimento bivariato uniforme, seleziona cerchio dal menu a tendina. Esegui 5000 replicazioni, aggiornando ogni 10. Osserva i punti della dispersione e i grafici delle distribuzioni marginali. Interpreta i risultati nel contesto della discussione fin qui svolta.
22. Supponi che (X, Y, Z) sia distribuito uniformemente sul cubo (0, 1)3.
23. Supponi che (X, Y, Z) sia distribuito uniformemente su {(x, y, z): 0 < x < y < z < 1}. Trova
24. Supponi che g sia una funzione di densità di probabilità per una distribuzione continua su un sottinsieme S di Rn. Sia
R = {(x, y): x S, 0 < y < g(x)} Rn + 1.
Prova che se (X, Y) è distribuito uniformemente su R, allora X ha funzione di densità g. Disegna il caso n = 1.
I risultati presentati in questo paragrafo possiedono analoghi naturali nel caso in cui (X, Y) ha coordinate con diversi tipi di distribuzione, come discusso nel paragrafo sulle distribuzioni miste. Per esempio, supponiamo che X abbia distribuzione discreta, Y abbia distribuzione continua, e che (X, Y) abbia densità congiunta f su S × T. I risultati degli esercizi 2(a), 3(b), 4 e 5 valgono ancora.
25. Supponi che X assuma valori in {1, 2, 3}, che Y assuma valori in (0, 3), con densità congiunta f given by
f(1, y) = 1/3 per 0 < y < 1, f(2, y) = 1/6 per 0 < y < 2, f(3, y) = 1/9 per 0 < y < 3.
26. Supponi che V assuma valori in (0, 1) e che X assuma valori in {0, 1, 2, 3}, con densità congiunta f data da
f(p, k) = 6C(3, k) pk + 1(1 - p)4 - k per k {0, 1, 2, 3} e p (0, 1).
Come avremo modo di vedere nel paragrafo sulle distribuzioni condizionate, la distribuzione dell'esercizio precedente modella questo esperimento: si seleziona una probabilità casuale V e poi si lancia tre volte una moneta con questa probabilità di testa; X è il numero di teste.
27. Nei dati sulla cicala, G indica il sesso e S la specie.
Trova la densità empirica di (G, S).
Trova la densità empirica di G.
Trova la densità empirica di S.
Credi che S e G siano indipendenti?
28. Nei dati sulla cicala, BW indica il peso corporeo e BL la lunghezza del corpo (in millimetri).
29. Nei dati sulla cicala, G indica il sesso e BW il peso corporeo (in grammi).