1. Dimostra che f
soddisfa le seguenti proprietà:
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Supponiamo di avere un esperimento casuale con spazio campionario R e misura di probabilità P. Una variabile casuale X relativa all'esperimento che assume valori in un insieme numerabile S si dice avere distribuzione discreta. La funzione di densità di probabilità (discreta) di X è la funzione f da S su R definita da
f(x) = P(X = x) per x appartenente a S.
1. Dimostra che f
soddisfa le seguenti proprietà:
0 per
x in S.
x
in S f(x) = 1x
in A f(x) = P(X 
A) per A 
S.La proprietà (c) è particolarmente importante, poiché mostra che la distribuzione di probabilità di una variabile casuale discreta è completamente individuata dalla sua funzione di densità. Di converso, ogni funzione che soddisfa le proprietà (a) e (b) è una funzione di densità (discreta), per cui la proprietà (c) può essere utilizzata per costruire una distribuzione di probabilità su S. Tecnicamente, f è la densità di X relativa alla misura di conteggio su S.
Normalmente, S è un sottinsieme nunmerabile di qualche insieme più grande, come Rn per qualche n. Possiamo sempre estendere f, se vogliamo, all'insieme più grande definendo f(x) = 0 per x non appartenente a S. A volte questa estensione semplifca le formule e la notazione.
Un elemento x di S che massimizza la densità f è detto moda della distribuzione. Quando la moda è unica, la si usa a volte come centro della distribuzione.
Una distribuzione di probabilità discreta è equivalente a una distribuzione di massa discreta, con massa totale 1. In questa analogia S è l'insieme (numerabile) dei punti di massa, e f(x) è la massa del punto a x appartenente a S. La proprietà (c) dell'esercizio 1 significa semplicemente che la massa di un insieme A può essere trovata sommando le masse dei punti di A.
Per un'interpretazione probabilistica, supponiamo di creare un nuovo esperimento composto ripetendo all'infinito l'esperimento originale. Nell'esperimento composto, abbiamo delle variabili casuali indipendenti X1, X2, ..., ciascuna distribuita come X (si tratta di " copie indipendenti" di X). Per ciascun x appartenente a S, sia
fn(x) = #{i
{1, 2, ..., n}: Xi = x} / n,
la frequenza relativa di x nelle prime n replicazioni (il numero di volte in cui x si è verificato diviso per n). Nota che per ogni x, fn(x) è una variabile casuale dell'esperimento composto. Per la legge dei grandi numeri, fn(x) deve convergere a f(x) al crescere di n. La funzione fn è detta funzione di densità empirica; queste funzioni sono visualizzate in molte delle applet di simulazione che trattano di variabili discrete.
2. Supponi di lanciare due dadi equilibrati e di registrare la sequenza di punteggi (X1, X2). Trova la funzione di densità di
3. Nell'esperimento dei dadi, poni n = 2 dadi equilibrati. Seleziona le seguenti variabili casuali e osserva la forma e la posizione della funzione di densità. Simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10. Per ciascuna delle variabili, osserva la convergenza della funzione di densità empirica alla funzione di densità.
4.
Si estrae a caso un elemento X da un insieme finito S.
A) = #(A)
/ #(S) per A
S.La distribuzione dell'esercizio precedente è detta distribuzione discreta uniforme su S. Molte variabili che si presentano negli esperimenti di campionameto o combinatori sono trasformazioni di variabili con distribuzione uniforme.
5. Supponi di estrarre a caso e senza reinserimento n
elementi da un insieme D con N
elementi. Sia X la sequenza ordinata di elementi scelti.
Spiega perché X è distribuita uniformemente sull'insieme S delle permutazioni di dimensione n scelte da D:
P(X = x) = 1 / (N)n per ogni x appartenente a S.
6.
Supponi di estrarre, senza reinserimento, n elementi da un insieme D con N elementi. Sia W l'insieme non ordinato degli elementi selezionati. Mostra che W è distribuito uniformemente sull'insieme T delle combinazioni di dimensioni n scelte da D:
P(W = w) = 1 / C(N, n) per w appartenente a T.
7.
Un'urna contiene N palline; R sono rosse e N - R verdi. Si estrae un campione di n palline (senza reinserimento). Sia Y il numero di palline rosse del campione. Prova che Y ha funzione di densità di probabilità.
P(Y = k) = C(R, k) C(N - R, n - k) / C(N, n) per k = 0, 1, ..., n.
La distribuzione definita dalla funzione di densità dell'esercizio precedente è detta distribuzione ipergeometrica con parametri N, R e n. La distribuzione ipergeometrica è studiata in dettaglio nel capitolo sui modelli di campionamento finiti, che contiene un'ampia varietà di distribuzioni basate sulla distribuzione uniforme discreta.
8.
Un'urna contiene 30 palline rosse e 20 verdi. Si estrae a caso un campione di 5 palline. Sia Y il numero di palline rosse del campione.
9. Nell'esperimento della pallina e dell'urna, seleziona il campionamento senza reinserimento. Simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10, e osserva la convergenza della funzione di densità empirica di Y alla funzione di densità teorica.
10.
Una moneta con probabilità di testa p viene lanciata n volte. Per j
= 1, ..., n, sia Ij = 1 se il lancio j-esimo
è testa e Ij = 0 se il lancio j-esimo è croce. Mostra che
(I1, I2, ..., In)
ha funzione di densità di probabilità
f(i1, i2, ..., in) = pk(1 - p)n - k per ij appartenente a {0, 1} per ogni j, dove k = i1 + i2 + ··· + in.
11. Una moneta con probabilità di testa p viene lanciata n volte. Sia X il numero di teste. Prova che X ha funzione di densità di probabilità
P(X = k) = C(n, k) pk (1 - p)n - k per k = 0, 1, ..., n.
La distribuzione definita dalla densità dell'esercizio precedente è detta distribuzione binomiale con parametri n e p. La distribuzione binomiale è analizzata in dettaglio nel capitolo sulle prove Bernoulliane.
12.
Supponi di lanciare 5 volte una moneta con probabilità di testa p = 0.4. Sia X il numero di teste.
13. Nell'esperimento della moneta, poni n = 5 e p = 0.4.
Simula 1000 replicazione, aggiornando ogni 10, e osserva la convergenza della funzione di densità empirica di X alla funzione di densità.
14.
Sia ft(n) = exp(-t) tn / n!
per n = 0, 1, 2, ..., dove t > 0 è un parametro.
La distribuzione definita dalla densità dell'esercizio precedente è la distribuzione di Poisson con parametro t, che prende il nome da Simeon Poisson. La distribuzione di Poisson è analizzata in dettaglio nel capitolo sui processi di Poisson, e si utilizza per modellare il numero di "punti casuali" in una regione di tempo o di spazio. Il parametro t è proporzionale alla dimensione della regione di tempo o spazio.
15.
Supponi che il numero di errori di battitura N di una pagina web abbia distribuzione di Poisson con parametro 2.5.
16. Nel processo di Poisson, seleziona come parametro 2.5. Simula 1000 replicazioni aggiornando ogni 10 e osserva la convergenza della funzione di densità empirica a quella teorica.
17.
Nell'esperimento dado-moneta, si lancia un dado equilibrato e poi si lancia una moneta bilanciata il numero di volte indicato dal dado. Sia I la sequenza di esiti della moneta (0 croce, 1 testa). Trova la densità di I
(nota che I assume valori in un insieme di sequenze di lunghezza variabile).
18. Supponi che g
sia una funzione non negativa definita su un insieme numerabile S e che
c = x
in S g(x).
Mostra che se c è positivo e finito, allora f(x) = g(x) / c per x appartenente a S definisce una funzione di densità discreta su S.
La costante c dell'esercizio precedente è detta a volte costante di normalizzazione. Questo risultato è utile per costruire funzioni di densità con le proprietà funzionali desiderate (dominio, forma, simmetria, e così via).
19. Sia g(x)
= x2 per x appartenente a {-2, -1,
0, 1, 2}.
{-1, 1, 2}) dove X è una variabile casuale con la densità riportata in (a).
20. Sia g(n)
= qn per n = 0, 1, 2, ... dove q è un parametro nell'intervallo
(0,1).
La distribuzione costruita nell'esercizio precedente è una versione della distribuzione geometrica, ed è studiata in dettaglio nel capitolo sulle prove Bernoulliane.
21. Sia g(x,
y) = x + y per (x, y)
{0, 1, 2}2.
22.
Sia g(x, y) = xy per (x, y)
{(1,
1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3)}.
{(1,
2), (1, 3), (2, 2), (2, 3)}] dove (X, Y) è un vettore aleatorio con la densità di (a).La funzione di densità di una variabile casuale X si basa, ovviamente, sulla misura di probabilità sottostante P sullo spazio campionario R dell'esperimento. Questa misura può esere una misura di probabilità condizionata, dato un certo evento E (con P(E) > 0). La notazione consueta è
f(x | E) = P(X = x | E) per x appartenente a S.
L'esercizio seguente mostra che, a parte la notazione, non si tratta di concetti nuovi. Quindi, tutti i risultati che valgono per le densità in generale hanno risultati analoghi per le densità condizionate.
23. Mostra che, come funzione di x per dato E, f(x
| E) è una funzione di densità discreta. Mostra cioè che soddisfa le proprietà (a) e (b) dell'esercizio 2, e che la proprietà (c) diventa
P(X
24.
Supponi che B
S e P(X
B) > 0. Mostra che la densità condizionata di X dato X
B è
B) = f(x) / P(X
B) per x
B.
B) = 0 se x
Bc. 25.
Supponi che X sia distribuita uniformemente su un insieme finito S e che
B sia un sottinsieme non vuoto di S. Prova che la distribuzione condizionata di X dato X
B è uniforme su
B.
26. Supponi che X
abbia funzione di densità di probabilità f(x) = x2 /
10 per x
= -2, -1, 0, 1, 2. Trova la densità condizionata di X dato X >
0.
27.
Si lanciano due dadi equilibrati. Sia Y la somma dei punteggi e U
il punteggio minimo. Trova la densità condizionata di U dato Y = 8.
28. Replica 200 volte l'esperimento dei dadi, aggiornando ogni volta. Calcola la densità empirica condizionata di U dato Y = 8 e confrontala con la densità condizionata dell'ultimo esercizio.
Supponi che X sia una variabile casuale discreta a valori in un insieme numerabile S, e che B sia un evento dell'esperimento (ovvero, un sottinsieme dello spazio campionario sottostante R).
29. Prova la legge delle probabilità totali:
P(B) = x
in S P(X = x) P(B | X
= x).
Questo risultato è utile, ovviamente, quando la distribuzione di X e la probabilità condizionata di B dati i valori di X sono noti. A volte si dice condizionare a X.
30.
Prova il teorema di Bayes, chiamato così in onore di Thomas Bayes:
P(X = x |
B) = P(X = x) P(B
| X = x) / y
in S P(X = y) P(B | X
= y) per x appartenente a S.
Il teorema di Bayes è una formula per calcolare la densità condizionata di X dato B. Così come per la legge delle probabilità totali, è utile quando le quantità al membro di destra sono note. La distribuzione (non condizionata) di X si dice distribuzione a priori e la densità condizionata come distribuzione a posteriori.
31.
Nell'esperimento dado-moneta, si lancia un dado equilibrato e poi si lancia una moneta bilanciata il numero di volte indicato dal dado
32. Replica l'esperimento dado-moneta 200 volte, aggiornando ogni volta.
33. Supponi che un sacchetto contenga 12 monete: 5 bilanciate, 4 sbilanciate con probabilità di testa 1/3 e 3 a due teste. Si sceglie a caso una moneta e la si lancia due volte.
Confronta gli esercizi 31 e 33. Nell'esercizio 31, si lancia una moneta con probabilità di testa data un numero casuale di volte. Nell'esercizio 33, si lancia una moneta con probabilità casuale di testa un numero dato di volte.
34. Nell'esperimento moneta-dado, si lancia una moneta equilibrata. Se esce croce, si lancia un dado equilibrato. Se esce testa, si lancia un dado piatto uno-sei (1 e 6 hanno probabilità 1/4, mentre 2, 3, 4 e 5 hanno probabilità 1/8). Trova la funzione di densità del punteggio del dado.
35. Replica l'esperimento moneta-dado 1000 volte, aggiornando ogni 10. confronta la densità empirica del punteggio del dado con la densità teorica dell'esercizio precedente.
36. Una fabbrica ha 3 linee produttive per dei chip di memoria. La linea 1 produce il 50% dei chip, di cui il 4% sono difettosi, la linea 2 il 30% dei chip, di cui il 5% sono difettosi, e la linea 3 il 20% dei chip, di cui l'1% sono difettosi. Si sceglie un chip a caso.
37. Sui dati M&Ms, sia R il numero di pastiglie rosse e N il numero totale di pastiglie. Calcola e disegna le densità empiriche di
38. Nei dati sulla cicala, sia G il sesso, S la specie e W il peso corporeo (in grammi). Calcola la densità empirica di