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5. Distribuzioni condizionate

Al solito, iniziamo introducendo un esperimento casuale con spazio campionario R e misura di probabilità P su R. Supponiamo che X sia una variabile casuale relativa all'esperimento, a valori in un insieme S. L'obiettivo di questo paragrafo è studiare la misura di probabilità condizionata su R dato X = x, con x appartenente a S. Vogliamo quindi definire e studiare

P(A | X = x) per A sottinsieme R e per x appartenente S.

Vedremo che X ha distribuzione discreta, per cui non si introducono nuovi concetti, ed è sufficiente la semplice definizione della probabilità condizionata. Quando X ha distribuzione continua, invece, serve un approccio fondamentalmente diverso.

Definizioni e proprietà principali

Supponiamo in primo luogo che X abbia distribuzione discreta con funzione di densità g. S è quindi numerabile e si può assumere che g(x) > 0 per x appartenente a S.

Esercizio teorico 1. Prova che

P(A | X = x) = P(X = x, A) / g(x) for A sottinsieme R, x in S.

Esercizio teorico 2. Prova la versione seguente legge delle probabilità totali

P(X in B, A) = sumx in B P(A | X = x)g(x) per A sottinsieme R, B sottinsieme S.

Di converso, la legge delle probabilità totali individua completamente la distribuzione condizionata dato X = x.

Esercizio teorico 3. Supponi che Q(x, A), per x in S, A sottinsieme R, soddisfi

P(A, X in B) = sommatoriax in B Q(x, A) g(x) per B sottinsieme S.

Dimostra che Q(x, A) = P(A | X = x) per x in S, A sottinsieme R.

Supponiamo ora che X abbia distribuzione continua su S sottinsieme Rn, con funzione di densità g. Assumiamo g(x) > 0 per x appartenente a S. Contrariamente al caso discreto, non possiamo utilizzare la semplice probabilità condizionata per definire la probabilità condizionata di un evento dato X = x, poiché l'evento a cui si condiziona ha probabilità 0 per qualsiasi x. Ad ogni modo, il concetto dovrebbe avere senso. Se eseguiamo realmente l'esperimento, X assumerà un certo valore x (anche se, a priori, tale eventom si verifica con probabilità 0), e sicuramente l'informazione X = x finirà per alterare le probabilità che assegnamo agli altri eventi. Un approccio naturale è quello di utilizzare i risultati ottenuti nel caso discreto come definizioni per il caso continuo. Quindi, basandosi sulla caratterizzazione di cui sopra, definiamo la probabilità condizionata

P(A | X = x) per x appartenente a S, A sottinsieme R.

richiedendo che valga la legge delle probabilità totali:

P(A, X in B) = B P(A | X = x) g(x)dx per ogni B sottinsieme S.

Per il momento, accetteremo il fatto che P(A | X = x) possa essere definito attraverso questa condizione. Tuttavia, ritorneremo su questo punto nel paragrafo sul valore atteso condizionato nel capitolo sul valore atteso.

Il teorema di Bayes, che prende nome da Thomas Bayes, individua una formula per la densità condizionata di X dato A, in termini della densità di X e la probabilità condizionata di A dato X = x.

Esercizio teorico 4. Sia A un evento con P(A) > 0. Prova che la densità condizionata di X dato A è

  1. g(x | A) = g(x)P(A | X = x) / sommatorias in S g(s)P(A | X = s) se X è discreta.
  2. g(x | A) = g(x)P(A | X = x) / S g(s)P(A | X = s)ds se X è continua.

Nel contesto del teorema di Bayes, g è detta densità a priori di X e g( · | A) è la densità s posteriori di X dato A.

Densità condizionate

Le definizioni e i risultati di cui sopra si applicano, ovviamente, se A è un evento definito in termini di un'altra variabile casuale del nostro esperimento.

Supponiamo quindi che Y sia una variabile casuale a valori in T. Allora (X, Y) è una variabile casuale a valori nell'insieme prodotto S × T, che assumiamo avere funzione di densità di probabilità (congiunta) f. (In particolare, assumiamo una delle distribuzioni standard: discreta congiunta, continua congiunta con densità, o componenti miste con densità). Come prima, g indica la funzione di densità di X e assumiamo che g(x) > 0 per x appartenente a S.

Esercizio teorico 5. Dimostra che h(y | x) è una funzione di densità in y per ogni x in S:

h(y | x) = f(x, y) / g(x) per x in S, y in T.

Il prossimo esercizio mostra che h(y | x), in funzione di y, è la densità condizionata di Y dato X = x.

Esercizio teorico 6. Dimostra che, per x in S, B sottinsieme T,

  1. P(Y in B | X = x) = sommatoriay in B h(y | x) se Y ha distribuzione discreta.
  2. P(Y in B | X = x) = B h(y | x)dy se Y ha distribuzione continua.

Il teorema seguente è una versione del teorema di Bayes per le funzioni di densità. Usiamo la notazione definita poco sopra, e in più indichiamo con g(x | y) la densità condizionata di X in x appartenente a S dato Y = y appartenente a T.

Esercizio teorico 7. Mostra che per x appartenente a S, y appartenente a T,

  1. g(x | y) = h(y | x) g(x) / sommatorias in S h(y | s) g(s) se X ha distribuzione discreta.
  2. g(x | y) = h(y | x) g(x) / S h(y | s) g(s)ds se X ha distribuzione continua.

Nel contesto del teorema di Bayes, g è la densità a priori di X e g(· | y) è la densità a posteriori di X dato Y = y.

Intuitivamente, X e Y dovrebbero essere indipendenti se e solo se le distribuzioni condizionate sono uguali alle corrispondenti distribuzioni non condizionate.

Esercizio teorico 8. Prova che le seguenti condizioni sono equivalenti:

  1. X e Y sono indipendenti.
  2. h(y | x) = h(y) per ogni x in S e y in T.
  3. g(x | y) = g(x) per ogni x in S e y in T.

In molti casi le distribuzioni condizionate si presentano quando uno dei parametri della distribuzione viene randomizzato. Nota questa situazione in alcuni degli esercizi che seguono.

Esercizi numerici

Esercizio teorico 9. Supponi di lanciare due dadi equilibrati e di registrare la sequenza dei punteggi (X1, X2). Siano U = min{X1, X2} e V = max{X1, X2} rispettivamente il minimo e il massimo dei punteggi.

  1. Trova la densità condizionata di U dato V = v per ogni v in {1, 2, ..., 6}
  2. Trova la densità condizionata di V dato U = u per ogni u in {1, 2, ..., 6}

Esercizio teorico 10. Nell'esperimento dado-moneta si lancia un dado equilibrato e poi si lancia una moneta bilanciata il numero di volte indicato dal dado. Sia N il punteggio del dado e X il numero di teste.

  1. Trova la densità congiunta di (N, X).
  2. Trova la densità di X.
  3. Trova la densità condizionata di N dato X = k per ogni k.

Simulazione 11. Nell'esperimento dado-moneta, seleziona dado e moneta equilibrati.

  1. Simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10. Confronta la funzione di densità empirica di X con la densità teorica riportata nell'esercizio precedente.
  2. Simula 200 replicazioni, aggiornando ogni volta. Calcola la funzione di densità condizionata empirica di N dato X = k per ogni k, e confrontala con la funzione di densità dell'esercizio precedente.

Esercizio teorico 12. Nell'esperimento moneta-dado, si lancia una moneta bilanciata. Se esce croce, si lancia un dado equilibrato; se esce testa si lancia un dado piatto uno-sei (le facce 1 e 6 hanno probabilità 1/4 e le facce 2, 3, 4 e 5 hanno probabilità 1/8). Sia I il punteggio della moneta (0 croce e 1 testa) e X il punteggio del dado.

  1. Trova la densità congiunta di (I, X).
  2. Trova la densitàì di X.
  3. Trova la densità condizionata di I dato X = x per ogni x appartenente a {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Simulazione 13. Nell'esperimento moneta-dado, seleziona le impostazioni dell'esercizio precedente.

  1. Simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10. Confronta la funzione di densità empirica di X con la densità teorica riportata nell'esercizio precedente.
  2. Simula 200 replicazioni, aggiornando ogni volta. Calcola la funzione di densità condizionata empirica di N dato X = 2, e confrontala con la funzione di densità dell'esercizio precedente.

Esercizio teorico 14. Supponi che una scatola contenga 12 monete: 5 sono bilanciate, 4 sono sbilanciate con probabilità di testa 1/3 e 3 hanno due teste. Si estrae a caso una moneta e la si lancia due volte. Sia V la probabilità di testa della moneta selezionata, e X il numero di teste.

  1. Trova la funzione di densità congiunta di (V, X).
  2. Trova la funzione di densità di X.
  3. Trova la densità condizionata di V dato X = k per k = 0, 1, 2.

Esercizio teorico 15. Supponi che in una scatola vi siano 5 lampadine, indicate con numeri da 1 a 5. La durata di una lampadina n (in mesi) ha distribuzione esponenziale con parametro di velocità n. Si estrae a caso una lampadina e la si mette alla prova

  1. Trova la probabilità che la lampadina estratta duri più di un mese.
  2. Sapendo che la lampadina dura più di un mese, trova la densità condizionata del numero della lampadina.

Esercizio teorico 16. Supponi che N abbia distribuzione di Poisson con parametro 1, e dato N = n, X abbia distribuzione binomiale con parametri n e p.

  1. Trova la densità congiunta di (N, X).
  2. Trova la densità di X.
  3. Trova la densità condizionata di N dato X = k.

Esercizio teorico 17. Supponi che X sia distribuito uniformemente su {1, 2, 3}, e dato X = i, Y sia distribuito uniformemente sull'intervallo (0, i).

  1. Trova la densità congiunta di (X, Y).
  2. Trova la densità di Y.
  3. Trova la densità condizionata di X dato Y = y per y appartenenete a (0, 3).

Esercizio teorico 18. Supponi che (X, Y) abbia funzione di densità f(x, y) = x + y per 0 < x < 1, 0 < y < 1.

  1. Trova la densità condizionata di X dato Y = y
  2. Trova la densità condizionata di Y dato X = x.
  3. X e Y sono indipendenti?

Esercizio teorico 19. Supponi che (X, Y) abbia funzione di densità f(x, y) = 2(x + y) for 0 < x < y < 1.

  1. Trova la densità condizionata di X dato Y = y
  2. Trova la densità condizionata di Y dato X = x.
  3. X e Y sono indipendenti?

Esercizio teorico 20. Supponi che (X, Y) abbia funzione di densità f(x, y) = 15 x2y per 0 < x < y < 1.

  1. Trova la densità condizionata di X dato Y = y
  2. Trova la densità condizionata di Y dato X = x.
  3. X e Y sono indipendenti?

Esercizio teorico 21. Supponi che (X, Y) abbia funzione di densità f(x, y) = 6 x2y per 0 < x < 1, 0 < y < 1.

  1. Trova la densità condizionata di X dato Y = y
  2. Trova la densità condizionata di Y dato X = x.
  3. X e Y sono indipendenti?

Esercizio teorico 22. Supponi che V abbia densità g(p) = 6p(1 - p) per 0 < p < 1. Dato V = p, si lancia tre volte una moneta con probabilità di testa p. Sia X il numero di teste.

  1. Trova la densità congiunta di (V, X).
  2. Trova la densità di X.
  3. Trova la densità condizionata di V dato X = k per k = 0, 1, 2, 3. Disegnali sugli stessi assi.

Confronta l'esercizio 22 con l'esercizio 14. Nell'esercizio 22, si scegli di fatto una moneta da una scatola che contiene infiniti tipi di monete.

Esercizio teorico 23. Supponi che X si distribuita uniformemente su (0, 1), e che dato X = x, Y sia distribuita uniformemente su (0, x).

  1. Trova la densità congiunta di (X, Y).
  2. Trova la densità di Y.
  3. Trova la densità condizionata di X dato Y = y appartenente a (0, 1).

Distribuzioni uniformi multivariate

Le distribuzioni uniformi multivariate costituiscono un'interpretazione geometrica di alcuni dei concetti presentati in questo paragrafo. Ricordiamo prima di tutto che la misura standard su Rn è

mn(A) = A 1dx per A sottinsieme Rn.

In particolare, m1 è la misura di lunghezza su R, m2 è la misura di area su R2 e m3 è la misura di volume su R3.

Supponiamo ora che X assuma valori in Rj, che Y assuma valori in Rk e che (X, Y) sia distribuito uniformemente su R sottinsieme Rj + k dove mj + k(R) è positivo e finito. Quindi, per definizione, la funzione di densità congiunta di (X, Y) è

f(x, y) = 1 / mj + k(R) per (x, y) in R (e f(x, y) = 0 altrimenti).

Esercizio teorico 24. Mostra che la distribuzione condizionata di Y dato X = x è distribuita uniformemente sulla sezione incrociata

{y in Rk: (x, y) inR}.

Esercizio teorico 25. Mostra che la distribuzione condizionata di X dato Y = y è distribuita uniformemente sulla sezione incrociata

{x in Rj: (x, y) inR}.

Nell'ultimo paragrafo sulle distribuzioni congiunte, abbiamo visto che anche se (X, Y) è distribuito uniformemente, le distribuzioni marginali di X e Y non sono in genere uniformi. Ma, come abbiamo visto, le distribuzioni condizionate sono sempre uniformi.

Esercizio teorico 26. Supponi che (X, Y) sia distribuito uniformemente sul quadrato R = [-6, 6]2.

  1. Trova la densità condizionata di Y dato X = x in(-6, 6).
  2. Trova la densità condizionata di X dato Y = y in (-6, 6).
  3. Prova che X e Y sono indipendenti.

Simulazione 27. Nell'esperimento uniforme bivariato, seleziona quadrato dal menu a tendina. Simula 5000 replicazioni, aggiornando ogni 10. Osserva i punti della dispersione e i grafici delle distribuzioni marginali. Interpreta i risultati nel contesto della discussione precedente.

Esercizio teorico 28. Supponi che (X, Y) sia distribuito uniformemente sul triangolo R = {(x, y): -6 < y < x < 6} sottinsieme R2.

  1. Trova la densità condizionata di Y dato X = x in(-6, 6).
  2. Trova la densità condizionata di X dato Y = y in(-6, 6).
  3. Prova che X e Y sono dipendenti.

Simulazione 29. Nell'esperimento uniforme bivariato, seleziona triangolo dal menu a tendina. Simula 5000 replicazioni, aggiornando ogni 10. Osserva i punti della dispersione e i grafici delle distribuzioni marginali. Interpreta i risultati nel contesto della discussione precedente.

Esercizio teorico 30. Supponi che (X, Y) sia distribuito uniformemente sul cerchio R = {(x, y): x2 + y2 < 36}.

  1. Trova la densità condizionata di Y dato X = x in(-6, 6).
  2. Trova la densità condizionata di X dato Y = y in (-6, 6).
  3. Prova che X e Y sono dipendenti.

Simulazione 31. Nell'esperimento uniforme bivariato, seleziona cerchio dal menu a tendina. Simula 5000 replicazioni, aggiornando ogni 10. Osserva i punti della dispersione e i grafici delle distribuzioni marginali. Interpreta i risultati nel contesto della discussione precedente.

Esercizio teorico 32. Supponi che (X, Y, Z) sia distribuito uniformemente su R = {(x, y, z): 0 < x < y < z} sottinsieme R3.

  1. Trova la densità condizionata di ciascuna coppia di variabili data una terza variabile.
  2. Trova la densità condizionata di ciascuna variabile dati i valori delle altre due.

Distribuzioni mistura

Coi nostri soliti insiemi S e T, supponiamo che Px sia una misura di probabilità su T per ogni x in S. Supponiamo inoltre che g sia una funzione di densità di probabilità su S. Possiamo ottenere una nuova misura di probabilità su T ponderando (o miscelando) le distribuzioni date sulla base di g.

Esercizio teorico 33. Supponiamo in primo luogo che S sia numerabile, e che g sia una funzione di densità di probabilità discreta su S. Prova che la P definita sotto è una misura di probabilità su T:

P(B) = sommatoriax in S g(x) Px(B) per B T.

Esercizio teorico 34. Nel contesto dell'esercizio precedente, supponi che Px sia una distribuzione discreta (rispettivamente continua) con funzione di densità hx per ogni x appartenente a S. Prova che anche P è discreta (rispettivamente continua) con funzione di densità h data da

h(y) = sommatoriax appartenente a S g(x) hx(y) per y appartenente a T.

Esercizio teorico 35. Supponi ora che S sia un sottinsieme di Rn e che g sia una funzione di densità di probabilità continua su S. Mostra che la P definita sotto è una misura di probabilità su T:

P(B) = S g(x)Px(B)dx per B T.

Esercizio teorico 36. Nel contesto dell'esercizio precedente, supponi che Px sia una distribuzione discreta (rispettivamente continua) con funzione di densità hx per ogni x appartenente a S. Prova che anche P è discreta (rispettivamente continua) con funzione di densità h data da

h(y) = S g(x) hx(y) dx per y appartenente a T.

In entrambi i casi, la distribuzione P è detta mistura delle distribuzioni Px, x in S, con densità di mistura g.

Si può avere una mistura di distriubuzioni senza avere variabili casuali definite su uno spazio di probabilità comune. In ogni caso, le misture sono intimamente legate alle distribuzioni condizionate. Per tornare al nostro ambiente di riferimento, supponiamo che X e Y siano variabili casuali relative a un esperimento a valori, rispettivamente, in S e T. Supponiamo che X abbia distribuzione discreta oppure continua, con densità g. L'esercizio seguente è semplicemente una diversa versione del teorema delle probabilità totali.

Esercizio teorico 37. Prova che la distribuzione di Y è una mistura delle distribuzioni condizionate di Y dato X = x, in x appartenente a S, con densità di mistura g.

Esercizio teorico 38. Supponi che X sia una variabile casuale a valori in S Rn, con ditribuzione mista discreta e continua. Prova che la distribuzione di X è una mistura di una distribuzione discreta e una continua, nel senso definito sopra.

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