D) < 1.Laboratorio virtuale > Distribuzioni > 1 2 [3] 4 5 6 7 8 9
Al solito, inziamo con l'introdurre un esperimento casuale definito su un certo spazio campionario e con misura di probabilità P. In questo paragrafo, presenteremo due casi "misti" per la distribuzione di una variabile casuale: il caso in cui la distribuzione è in parte discreta e in parte continua e il caso in cui la variabile ha sia coordinate discrete che coordinate continue.
Supponi che X sia una variabile casuale relativa all'esperimento, a valori in un sottinsieme S di Rn. X ha distribuzione di tipo misto se S può essere partizionato in sottinsiemi D e C con le seguenti proprietà:
D) < 1.Quindi parte della distribuzione di X è concentrata su punti di un insieme discreto D; il resto è ripartito in maniera continua su C.
Sia p = P(X
D), cosicché 0 < p < 1. Possiamo definire su D
una funzione di densità discreta parziale.
1.
Sia g(x) = P(X = x) per x
appartenente a D. Prova che
0 per x
appartenente a D.
x
in D g(x) = p. A)
= x
in A g(x) per A 
D.Di solito, anche la parte continua della distribuzione è descritta da una funzione di densità parziale. Supponiamo quindi che esista una funzione non negativa h su C tale che
P(X A)
= 
A
h(x)dx per A
C.
2.
Prova che C
h(x)dx = 1 - p.
la distribuzione di X è individuata completamente dalle densità parziali g e h. In primo luogo, estendiamo le funzioni g e h a S nella maniera consueta: g(x) = 0 per x appartenente a C; h(x) = 0 per x appartenente a D.
3.
Supponi che A
S. Prova che
P(X A)
= x
in A g(x) + A
h(x)dx.
Le distribuzioni condizionate su D e C sono, rispettivamente, solamente discreta e solamente continua.
4.
Dimostra che la distribuzione condizionata di X dato X
D è discreta con funzione di densità
f(x | X
D) = g(x) / p per x
D.
5.
Dimostra che la distribuzione condizionata di X dato X
C è continua con funzione di densità
f(x | X
C) = h(x) / (1 - p) per x
C.
La distribuzione di X è pertanto un ibrido tra distibuzione discreta e continua. Le distribuzioni miste sono studiate in maniera più generale nel paragrafo sulle distribuzioni condizionate.
6. Supponi che X
abbia probabilità 1/2 distribuita uniformemente su {1, 2, ..., 8} e
probabilità 1/2 distribuita uniformemente sull'intervallo (0, 10). Trova P(X
> 6).
7.
Supponi che (X, Y) abbia probabilità 1/3 distribuita uniformemente su
{0, 1, 2}2 e probabilità 2/3 distribuita uniformemente su (0, 2)2.
Trova P(Y > X).
Le distribuzioni di tipo misto si presentano in maniera naturale quando una variabile casuale con distribuzione continua viene in qualche modo troncata. Per esempio, supponiamo che T sia la durata di un congegno e abbia funzione di densità f(t) per t > 0. Nel contesto di un test inerente la rottura di un congegno, non possiamo aspettare all'infinito, per cui possiamo scegliere una costante positiva a e registrare la seguente variabile casuale:
U = T se T < a; U = a se T
a.
8.
Prova che U ha distribuzione mista; in particolare mostra che, con la notazione di cui sopra,
{t:
t > a} f(t)dt. 9.
Supponi che la durata T di un congegno (in unità di 1000 ore) abbia distribuzione esponenziale f(t) = exp(-t), t > 0. Il test per il dispositivo deve avere termine dopo 2000 ore; si registra la durata troncata U. Trova
Supponiamo che X abbia distribuzione continua su R, con funzione di densità f. La variabile viene troncata a a e b (a < b) per creare una nuova variabile Y definita come segue:
Y = a se X 
a;
Y = X se a < X < b; Y = b
se X b.
10.
Mostra che Y ha distribuzione mista. In particolare, prova che
{x:
x < a} f(x)dx, g(b) = {x:
x > b} f(x)dx.Supponiamo che X e Y siano variabili casuali relative al nostro esperimento, e che X abbia distribuzione discreta a valori in un insieme numerabile S mentre Y ha distribuzione continua su un sottinsieme T di Rn. Allora (X, Y) ha distribuzione continua su qualche sottinsieme di S × T.
11.
Dimostra che P[(X, Y) = (x, y)] = 0 per x
appartenente a S, y appartenente a T.
Di solito, (X, Y) ha funzione di densità f su S × T nel senso seguente:
P[(X, Y)
A × B] = x
in A B
f(x, y)dy per A
S e B
T,
12.
Più in generale, per C
S × T e x
S, sia C(x) = {y
T: (x, y)
C}. Dimostra che
P[(X, Y)
C] = x
in S C(x)
f(x, y)dy.
Tecnicamente, f è la densità di (X, Y) rispetto a una misura di conteggio su S e a una misura n-dimensionale su T.
I vettori casuali con coordinate miste si presentano spesso nei problemi applicati. Per esempio, i dati sulla cicala contengono 4 variabili continue e 2 variabili discrete. I dati M&M contengono 6 variabili discrete e 1 variabile continua. I vettori con coordinate miste si presentano anche quando si casualizza un parametro discreto per una distribuzione continua, o un parametro continuo per una distribuzione discreta.
13.
Sia f(1, y) = 1/3 per 0 < y < 1, f(2, y)
= 1/6 per 0 < y < 2, f(3, y) = 1/9 per 0 < y
< 3.
14.
Sia f(p, k) = 6 C(3,
k) pk + 1(1 - p)4 - k per k
{0, 1, 2, 3} e p
(0, 1).
Come vedremo nel paragrafo sulle distribuzioni condizionate, la distribuzione dell'esercizio precedente serve a modellare il seguente esperimento: si seleziona una probabilità aleatoria V e poi si lancia tre volte una moneta con questa probabilità di testa; X è il numero di teste.
15. Sui dati M&M, sia N il numero totale di pastiglie e W il peso netto (in grammi). Costruisci una densità empirica per (N, W).