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Al solito, inziamo con l'introdurre un esperimento casuale definito su un certo spazio campionario e con misura di probabilità P. In questo paragrafo, presenteremo due casi "misti" per la distribuzione di una variabile casuale: il caso in cui la distribuzione è in parte discreta e in parte continua e il caso in cui la variabile ha sia coordinate discrete che coordinate continue.
Supponi che X sia una variabile casuale relativa all'esperimento, a valori in un sottinsieme S di Rn. X ha distribuzione di tipo misto se S può essere partizionato in sottinsiemi D e C con le seguenti proprietà:
Quindi parte della distribuzione di X è concentrata su punti di un insieme discreto D; il resto è ripartito in maniera continua su C.
Sia p = P(X D), cosicché 0 < p < 1. Possiamo definire su D una funzione di densità discreta parziale.
1. Sia g(x) = P(X = x) per x appartenente a D. Prova che
Di solito, anche la parte continua della distribuzione è descritta da una funzione di densità parziale. Supponiamo quindi che esista una funzione non negativa h su C tale che
P(X A) = A h(x)dx per A C.
2. Prova che C h(x)dx = 1 - p.
la distribuzione di X è individuata completamente dalle densità parziali g e h. In primo luogo, estendiamo le funzioni g e h a S nella maniera consueta: g(x) = 0 per x appartenente a C; h(x) = 0 per x appartenente a D.
3. Supponi che A S. Prova che
P(X A) = x in A g(x) + A h(x)dx.
Le distribuzioni condizionate su D e C sono, rispettivamente, solamente discreta e solamente continua.
4. Dimostra che la distribuzione condizionata di X dato X D è discreta con funzione di densità
f(x | X D) = g(x) / p per x D.
5. Dimostra che la distribuzione condizionata di X dato X C è continua con funzione di densità
f(x | X C) = h(x) / (1 - p) per x C.
La distribuzione di X è pertanto un ibrido tra distibuzione discreta e continua. Le distribuzioni miste sono studiate in maniera più generale nel paragrafo sulle distribuzioni condizionate.
6. Supponi che X abbia probabilità 1/2 distribuita uniformemente su {1, 2, ..., 8} e probabilità 1/2 distribuita uniformemente sull'intervallo (0, 10). Trova P(X > 6).
7. Supponi che (X, Y) abbia probabilità 1/3 distribuita uniformemente su {0, 1, 2}2 e probabilità 2/3 distribuita uniformemente su (0, 2)2. Trova P(Y > X).
Le distribuzioni di tipo misto si presentano in maniera naturale quando una variabile casuale con distribuzione continua viene in qualche modo troncata. Per esempio, supponiamo che T sia la durata di un congegno e abbia funzione di densità f(t) per t > 0. Nel contesto di un test inerente la rottura di un congegno, non possiamo aspettare all'infinito, per cui possiamo scegliere una costante positiva a e registrare la seguente variabile casuale:
U = T se T < a; U = a se T a.
8. Prova che U ha distribuzione mista; in particolare mostra che, con la notazione di cui sopra,
9. Supponi che la durata T di un congegno (in unità di 1000 ore) abbia distribuzione esponenziale f(t) = exp(-t), t > 0. Il test per il dispositivo deve avere termine dopo 2000 ore; si registra la durata troncata U. Trova
Supponiamo che X abbia distribuzione continua su R, con funzione di densità f. La variabile viene troncata a a e b (a < b) per creare una nuova variabile Y definita come segue:
Y = a se X a; Y = X se a < X < b; Y = b se X b.
10. Mostra che Y ha distribuzione mista. In particolare, prova che
Supponiamo che X e Y siano variabili casuali relative al nostro esperimento, e che X abbia distribuzione discreta a valori in un insieme numerabile S mentre Y ha distribuzione continua su un sottinsieme T di Rn. Allora (X, Y) ha distribuzione continua su qualche sottinsieme di S × T.
11. Dimostra che P[(X, Y) = (x, y)] = 0 per x appartenente a S, y appartenente a T.
Di solito, (X, Y) ha funzione di densità f su S × T nel senso seguente:
P[(X, Y) A × B] = x in A B f(x, y)dy per A S e B T,
12. Più in generale, per C S × T e x S, sia C(x) = {y T: (x, y) C}. Dimostra che
P[(X, Y) C] = x in S C(x) f(x, y)dy.
Tecnicamente, f è la densità di (X, Y) rispetto a una misura di conteggio su S e a una misura n-dimensionale su T.
I vettori casuali con coordinate miste si presentano spesso nei problemi applicati. Per esempio, i dati sulla cicala contengono 4 variabili continue e 2 variabili discrete. I dati M&M contengono 6 variabili discrete e 1 variabile continua. I vettori con coordinate miste si presentano anche quando si casualizza un parametro discreto per una distribuzione continua, o un parametro continuo per una distribuzione discreta.
13. Sia f(1, y) = 1/3 per 0 < y < 1, f(2, y) = 1/6 per 0 < y < 2, f(3, y) = 1/9 per 0 < y < 3.
14. Sia f(p, k) = 6 C(3, k) pk + 1(1 - p)4 - k per k {0, 1, 2, 3} e p (0, 1).
Come vedremo nel paragrafo sulle distribuzioni condizionate, la distribuzione dell'esercizio precedente serve a modellare il seguente esperimento: si seleziona una probabilità aleatoria V e poi si lancia tre volte una moneta con questa probabilità di testa; X è il numero di teste.
15. Sui dati M&M, sia N il numero totale di pastiglie e W il peso netto (in grammi). Costruisci una densità empirica per (N, W).