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Supponi che S e T siano insiemi. Una funzione f da S a T è una regola che fa corrisponedere a ciascun s appartenente a S un unico elemento f(s) appartenente a T. Più precisamente, ma anche più pedantemente, una funzione f può essere vista come un sottinsieme dell'insieme prodotto S × T con la proprietà per che ciascun elemento s di S, esiste un unico elemento (s, t) appartenente a f; si scrive pertanto
t = f(s).
L'insieme S è il dominio di f e l'insieme T è il codominio di f. Il supporto di f è l'insieme dei valori della funzione:
range(f) = {t T: t = f(s) per qualche s S}.
Se il supporto di f è T, allora si dice che f mappa S su T (invece che semplicemente in). Quindi, se f è su, allora per ogni t appartenente a T esiste s appartenente a S tale che f(s) = t. Infine, si dice che f è iniettiva se a elementi distinti del dominio corrispondono elementi distinti del codominio.
f(u) = f(v) implica u = v for u, v in S.
Gli insiemi S e T sono in corrispondenza biunivoca se esiste una funzione uno a uno f da S su T. In questo caso, possiamo definire l'inversa di f ome la funzione da T su S data da
f -1(t) = s dove s è l'unico elemento di S con f(s) = t.
Supponi che g sia una funzione da R in S e f una funzione da S in T. La composizione di f con g è la funzione da R in T definita da
f ° g(r) = f[g(r)] per r appartenente a R.
1. Prova che la composizione non è commutativa:
2. Supponi che h sia una funzione da R in S, g una funzione da S in T, e f una funzione da T in U. Mostra che la composizione è associativa:
f ° (g ° h) = (f ° g) ° h.
3. Supponi che f sia una funzione biiettiva da S su T. Mostra che f -1 ° f e f ° f -1 sono le funzioni identità su S e T, rispettivamente:
4. Prova che una corrispondenza biunivoca definisce una relazione di equivalenza su insiemi non vuoti:
Supponiamo di avere un esperimento casuale con spazio campionario S. Una funzione da S in un altro insieme T è detta variabile casuale (a valori in T). La probabilità ha le sue convenzioni notazionali, spesso diverse da quelle degli altri rami della matematica. In questo caso, le variabili casuali si indicano di solito con lettere maiuscole dell'ultima parte dell'alfabeto.
Intuitivamente, puoi immaginare una variabile casuale X come una misura di interesse nel contesto dell'esperimento casuale. Una variabile casuale X è casuale nel senso che il suo valore dipende dall'esito dell'esperimento, il quale non può essere previsto con certezza prima di effettuare l'esperimento stesso. Ogni volta che si effettua l'esperimento, si verifica un esito s appartenente a S e una data variabile casuale X assume il valore X(s). In generale vedremo che la notazione probabilistica omette il riferimento allo spazio campionario.
Spesso, una variabile casuale X assume valori in un sottinsieme T Rk per qualche dato k. Se k > 1 allora
X = (X1, X2, ..., Xk)
dove Xi è una variabile casuale a valori reali per ogni i. In questo caso, X si dice vettore aleatorio, per sottolineare il suo carattere multidimensionale. Una variabile casuale può avere anche struttura più complessa. Per esempio, se l'esperimento consiste nel selezionare n unità da una popolazione e registrare varie misurazioni reali per ogni unità, allora l'esito dell'esperimento è un vettore i cui elementi sono a loro volta vettori:
X = (X1, X2, ..., Xn)
dove Xi è il vettore di misurazioni sull'i-esima unità. Esistono altre possibilità; una variabile casuale può essere una sequenza infinita, o può avere come valori insiemi. Esempi specifici sono riportati negli esercizi numerici più avanti. In ogni casi, il punto chiave è semplicemente che la variabile casuale è una funzione dallo spazio campionario S in un altro insieme T.
Supponi che f sia una funzione da S in T. Se B T, l'immagine inversa di B sotto f è il sottinsieme di S formato dagli elementi che mappano su B:
f -1(B) = {s S: f(s) B}.
Se X è una variabile casuale a valori in T per un esperimento con spazio campionario S allora utilizziamo la notazione
{X B}= {s S: X(s) B}.
per l'immagine inversa. Osserva che si tratta di un evento (un sottinsieme dello spazio campionario). A parole, un'affermazione su una variabile casuale definisce un evento.
Le immagini inverse conservano tutte le operazioni sugli insiemi. Negli esercizi seguenti, f è una funzione da S in T. Inoltre, B, C sono sottinsiemi di T, e
4. Mostra che f -1(Bc) = [f -1(B)]c.
5.
Mostra che f -1[j
in J
6.
Mostra che f -1[j
in J
7. Mostra che se B C allora f -1(B) f -1(C).
8. Mostra che se B e C sono disgiunti, allora lo sono anche f -1(B), f -1(C).
Ovviamente, questi risultati si applicano anche alle variabili casuali, varia solo la notazione.
9. Supponi che X sia una variabile casuale a valori in T, per un esperimento casuale con spazio campionario S. Prova che i risultati degli esercizi 4-9 possono essere espressi come segue:
Supponiamo, di nuovo, di avere un esperimento casuale con spazio campionario S. L'esito stesso dell'esperimento può essere visto come una variabile casuale. Sia X la funzione identità su S:
X(s) = s per s appartenente a S.
Allora, ovviamente, X è una variabile casuale, e gli eventi che possono essere definiti in termini di X sono semplicemente gli eventi originali dell'esperimento:
{X A} = A per A S.
Se Y è un'altra variabile casuale dell'esperimento, che assume valori in un insieme T, allora Y è funzione di X. Ovvero esiste una funzione g da S in T tale che Y è la composizione di g con X:
Y = g(X) cioè, Y(s) = g(X(s)) per s appartenente a S.
Possiamo indicare X come variabile esito e Y come variabile derivata. In molti problemi di teoria della probabilità, l'oggetto di interesse è la variabile casuale X. Il fatto che X sia la variabile esito o una variabile derivata è spesso irrilevante.
Per ogni evento A, esiste una semplice variabile casuale I detta variabile indicatore di A, il cui valore ci indica se A si è verificato o no:
I(s) = 1 per s A; I(s) = 0 per s Ac.
o più semplicemente, I = 1 se A si verifica e I = 0 se A non si verifica.
10. Prova, di converso, che ogni variabile casuale I che assume i valori 0 o 1 e la variabile indicatore dell'evento
A = {I = 1} = {s S: I(s) = 1}.
11. Supponi che I sia la variabile indicatore di un evento A. Mostra che 1 - I è la variabile indicatore di Ac.
12. Supponi che A e B siano eventi con variabili indicatore IA e IB, rispettivamente. Prova che
A B se e solo se IA IB.
13. Supponi che
{Aj: j
J} sia una collezione di eventi, indicizzata da un insieme non vuoto J. Sia Ij la variabile indicatore di Aj per ogni
j J, e sia I la variabile indicatore dell'intersezione
I = j in J Ij = min{Ij: j J}.
14. Supponi che
{Aj: j
J} sia una collezione di eventi, indicizzata da un insieme non vuoto J. Sia Ij la variabile indicatore di Aj per ogni
j J, e sia I la variabile indicatore dell'unione
I = 1 - j in J (1 - Ij) = max{Ij: j J}.
15. Supponi che A e B siano eventi di un esperimento casuale con variabili indicatore IA e IB. Esprimi, in termini di IA e IB, la variabile indicatore di ognuno dei 16 eventi che possono essere costruiti a partire da A e B
16. Considera l'esperimento consistente nel lanciare due volte un dado equilibrato e registrare la sequenza di punteggi (X1, X2). Sia Y la somma dei punteggi, U il minimo dei due punteggi, V il massimo dei due punteggi.
17. Nell'esperimento dei dadi, poni n = 2 e simula 100 replicazioni. Per ciascuna di esse, calcola il valore di ciascuna delle variabili aleatorie dell'esercizio precedente.
18. Considera l'esperimento delle carte consistente nell'estrarre una carta da un mazzo standard e registrare X = (Y, Z) dove Y è la denominazione e Z il seme. Supponiamo di assegnare valore alle carte come segue: un asso vale 1, una figura 10 e negli altri casi il valore è il numero della carta. Sia U il valore della carta.
19. Nell'esperimento delle carte, poni n = 1 e simula 100 replicazioni. Per ciascuna di esse, calcola il valore della variabile casuale U dell'esercizio precedente.
20. Ricorda che l'esperimento della moneta di Buffon consiste nel lanciare una moneta di raggio r 1/2 su un pavimento coperto da mattonelle quadrate di lato 1. Si registrano le coordinate (X, Y) del centro della moneta, relativamente ad assi che passano attraverso il centro del quadrato e paralleli ai lati. Sia Z la distanza tra il centro della moneta e il centro del quadrato.
21. Replica l'esperimento della moneta di Buffon 100 volte, con r = 0.2. Per ciascuna replicazione, calcola il valore di ciascuna delle variabili casuali dell'esercizio precedente.
22. Un esperimento consiste nel lanciare tre monete bilanciate e registrare (I1, I2, I3), dove Ij è una variabile indicatore che assume valore 1 se e solo se per la j-esima moneta esce testa. Sia X il numero complessivo di teste.
23. Un esperimento consiste nel far lavorare due apparecchi, indicati con a e b, finché non si guastano. Si registra la sequenza
24.
Supponiamo di lanciare tre dadi equilibrati e di registrare la sequenza dei punteggi
25. Nell'esperimento M&M, si acquista un pacchetto di M&Ms di un certo peso e si registrano le seguenti misure: numero di pastiglie rosse, verdi, blu, gialle, arancio e marroni e il peso netto (in grammi). I dati M&M riportano il risultato di 30 replicazioni di questo esperimento. Sia N il numero totale di pastiglie. Calcola N per ciascun pacchetto dei dati.
26. L'esperimento della cicala consiste nel catturare una cicala nella regione centrale del Tennessee e registrare le seguenti misurazioni: peso corporeo (in grammi), lunghezza e larghezza delle ali e lunghezza del corpo (in millimetri), sesso e specie. I dati sulla cicala riportano il risultato di 104 replicazioni di questo esperimento. Sia V il rapporto tra lunghezza e larghezza delle ali. Calcola V per ciascuna cicala.
27. Nell'esperimento dado-moneta, si lancia un dado e poi si lancia una moneta il numero di volte indicato dal dado. Supponiamo di registrare la seuqenza di punteggi delle monete (0 per croce, 1 per testa). Inoltre, sia N il punteggio del dado e X il numero di teste.
28. Simula l'esperimento dado-moneta 10 volte. Per ciascuna replicazione, riporta il valore delle variabili casuali I, N, e X dell'esercizio precedente.
Queste ultime due sezioni trattano argomenti più avanzati e possono essere omesse alla prima lettura.
Ricorda che di solito un insieme è definito unitamente a una sigma algebra di sottinsiemi ammissibili. Supponiamo che S e T siano insiemi con sigma algebre, rispettivamente, A e B. Se f è funzione da S in T, allora un requisito naturale è che l'immagine inversa di ogni sottinsieme ammissibile di T sia un sottinsieme ammissibile di S. Formalmente f si dice misurabile se
f -1(B) A per ogni B B.
Tutte le funzioni che usiamo nel corso di questo progetto sono ipotizzate essere misurabili rispetto alle appropriate sigma algebre. In particolare, se S è lo spazio campionario di un esperimento, allora la collezione di eventi A è una sigma algebra di sottinsiemi di S. Se T è un insieme con sigma algebra B, allora, tecnicamente, una variabile casuale X a valori in T è una funzione misurabile da S in T. Questo requisito assicura che ogni affermazione ammissibile riguardo a X è un evento valido.
29. Supponi che R, S, T siano insiemi con sigma algebre, rispettivamente, A, B, e C. Dimostra che, se f è una funzione misurabile da R in S e g è una funzione misurabile da S in T allora g ° f è una funzione misurabile da R in T.
30. Supponiamo che f sia una funzione da S in T, e che B sia una sigma algebra di sottinsiemi di T. Prova che la collezione seguente è una sigma algebra di sottinsiemi di S, detta sigma algebra generata da f:
sigma(f) = {f -1(B): B B}.
In particolare, se S è lo spazio campionario di un esperimento e X è una variabile casuale a valori in T, allora la sigma algebra generata da X è la collezione di tutti gli eventi che possono essere espressi in termini di X.
sigma(X) = {{X B}: B B}.
Più in generale, supponiamo che Tj sia un insieme con sigma algebra Bj per ogni j appartenente a un insieme non vuoto di indici J, e che fj sia una funzione da S in Tj per ogni j. La sigma algebra generata da questa collezione di funzioni è
sigma{fj: j J} = sigma{fj-1(Bj) : j J e Bj Bj}.
Quindi, se S è lo spazio campionario di un esperimento e Xj è una variabile casuale per ogni j appartenente a J, allora, intuitivamente, la sigma algebra generata da {Xj :j J} è la collezione di eventi che possono essere espressi in termini delle variabili casuali date.
La maggior parte degli insiemi che si incontrano nelle applicazioni pratiche della teoria della probabilità sono non umerabili o sottinsiemi di Rn per qualche n, o, più in generale, sottinsiemi del prodotto di una quantità numerabile di insiemi di questi tipi. In questa sezione, analizziamo alcuni di questi casi particolari.
31. Supponi che S sia numerabile e che sia data la sigma algebra di tutti i sottinsiemi (l'insieme delle parti). Dimostra che ogni funzione da S è misurabile.
Ricorda che l'insieme dei numeri reali R ha come sigma algera quella generata dalla collezione di intervalli. Tutte le funzioni elementari da R a R sono misurabili. Le funzioni elementari comprendono le funzioni algebriche (polinomi e funzioni razionali), le funzioni trascendentali i base (esponenziale, logaritmo, trigonometriche) e le funzioni costruite a partire da esse.
Supponiamo che S1, S2, ..., Sn siano insiemi e che Ai sia una sigma algebra di sottinsiemi di Si per ogni i. Ricorda che per l'insieme prodotto
S1 × S2 × ··· × Sn,
usiamo la sigma algebra A generata dalla collezione di tutti gli insiemi prodotto della forma
A1 × A2 × ··· × An dove Ai Ai per ogni i.
Se f è funzione da S in T1 × T2 × ··· × Tn, allora f = (f1, ..., fn), dove fi è l'i-esima funzione coordinata, che mappa S in Ti. Come ci si può aspettare, f è misurabile se e solo se fi è misurabile per ogni i.