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I problemi di Buffon sulla moneta e sull'ago sono considerati tra i primi problemi della probabilità geometrica. Il problema originale dell'ago è stato esteso in molte maniere, a partire da Simon Laplace, che ha considerato il caso del pavimento con mattonelle rettangolari. Modifiche del problema costituiscono argomenti di ricerca attivi tutt'oggi.
Il problema dell'ago di Buffon viene risolto per integrazione MonteCarlo. In generale, i metodi MonteCarlo usano il campionamento statistico per approssimare le soluzioni a problemi di difficile soluzione analitica. La teoria moderna dei metodi MonteCarlo inizia con Stanislaw Ulam, che ha utilizzato questi metodi su problemi associati alla costruzione della bomba all'idrogeno.
Ciascuno dei problemi geometrici che abbiamo considerato sono basati su variabili casuali con distribuzione uniforme continua. Il problema seguente mostra come simulare tali variabili; si tratta di un caso particolare del metodo di simulazione quantile.
1. Supponi che la variabile casuale U sia distribuita uniformemente sull'intervallo (0, 1) (cioè, U
è un numero casuale). Siano a e b numeri reali con a
< b. Prova che la variabile casuale W riportata sotto è distribuita uniformemente sull'intervallo (a, b).
W = a + (b - a)U
2. Mostra come simulare il centro della moneta (X, Y) nell'esperimento della moneta di Buffon utilizzando numeri casuali.
3. Mostra come simulare l'angolo X e la distanza Y nell'esperimento dell'ago di Buffon utilizzando numeri casuali.
Neil Weiss ha osservato che la nostra simulazione dell'esperimento dell'ago di Buffon è circolare, nel senso che il programma assume di conoscere pi (puoi vederlo come risultato dell'esercizio 3).
4. Prova a scrivere un algoritmo per il problema dell'ago di Buffon, senza assumere il valore di pi o di altri numeri trascendenti.
5. Nel problema di Bertrand con distanza uniforme, mostra come simulare D, A, X e Y utilizzando un numero casuale.
6. Nel problema di Bertrand con l'angolo uniforme, mostra come simulare D, A, X e Y
utilizzando un numero casuale.
1.6.
1 - (h - 2r)(w - 2r) / (hw), r <
min{h / 2, w / 2}
2.7.
)) 3.17.
Distanza uniforme
3.18.
Angolo uniforme
3.19.
Angolo uniforme
4.2. X
= U - 1/2, Y = V - 1/2, dove U e V sono numeri casuali.
4.3. X = U,
Y = V, dove U e V sono numeri casuali.
4.5. A =
arccos(D), X = 2D2 - 1, Y = 2D(1 -
D2)1/2, dove D è un numero casuale.
4.6.
A = U / 2, D = cos(A),
X = 2D2 - 1, Y = 2D(1 - D2)1/2,
dove U è un numero casuale.