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2. Problema dell'ago di Buffon


L'esperimento dell'ago di Buffon è un esperimento casuale antico e ben noto, che prende nome dal Compte De Buffon. L'esperimento consiste nel far cadere un ago su un pavimento di assi di legno. L'evento di interesse è che l'ago vada a cadere su un'intercapedine tra un'asse e l'altra. Stranamente, la probabilità di questo evento conduce a una stima statistica del numero pi greco!

Assunzioni

Il primo passo consiste nel definire l'esperimento in termini matematici. Di nuovo, astraiamo gli oggetti fisici assumendo che le assi del pavimento siano identiche e di larghezza unitaria. Assumeremo inoltre che l'ago abbia lunghezza L < 1 cosicché non possa incorciare più di una fessura. Assumeremo infine che le intercapedini tra le assi siano segmenti di retta.

Lanciando l'ago, vogliamo registrare il suo orientamento rispetto alle fessure. Un modo per farlo è registrare l'angolo X che l'estremita superiore dell'ago forma con la retta che passa per il centro dell'ago parallela alle assi, e la distanza Y dal centro dell'ago all'intercapedine inferiore. Si tratta di variabili casuali semplice per l'esperimento, per cui lo spazio campionario è

S = (0, pi) × (0, 1) = {(x, y): 0 < x < pi , 0 < y < 1}

Il pavimento di Buffon

Di nuovo, l'assunzione che facciamo è di lanciare l'ago "a caso" sul pavimento. Quindi, un'assunzione matematica ragionevole può essere che il vettore aleatorio (X, Y) sia distribuito uniformemente sullo spazio campionario. Per definizione, ciò significa che

P[(X, Y) in A] = area(A) / area(S) per A sottinsieme S.

Simulazione 1. Esegui l' esperimento dell'ago di Buffon con le impostazioni predefinite e osserva gli esiti sullo spazio campionario. Osserva come i punti della dispersione sembrano riempire lo spazio campionario S in maniera uniforme.

La probabilità della caduta su una fessura

L'evento di interesse C è quello in cui l'ago cade su una fessura tra le assi.

Esercizio teorico 2. Usa la trigonometria per mostrare che C può essere scritto come segue in termini delle variabili angolo e distanza:

C = {Y < (L / 2)sin(X)} unione {Y > 1 - (L / 2)sin(X)}

Esercizio teorico 3. Usa l'analisi per mostrare che area(C) = 2L e quindi

P(C) = 2L / pi

Esercizio teorico 4. Usa quello che sai sulle rette per mostrare che P(C) in funzione di L, ha il grafico seguente:

Probabilità di cadere su una fessura

Esercizio teorico 5. Trova la probabilità che l'ago non cada su una fessura.

Le curve

y = (L / 2)sin(x), y = 1 - (L / 2)sin(x)

sono disegnate in blu nel grafico a dispersione, per cui l'evento C è l'unione delle regioni tra la curva inferiore e la curva superiore. Pertanto, l'ago cade su una fessura esattamente quando un punto cade nella regione.

Simulazione 6. Nell' Buffon, modifica la lunghezza dell'ago L con la barra a scorrimento e osserva come gli eventi C e Cc cambiano. Esegui l'esperimento con diversi valori di L e confronta l'esperimento fisico coi punti della dispersione. Osserva la convergenza della frequenza relativa di C alla probabilità di C.

La convergenza della frequenza relativa di un evento (al ripetersi dell'esperimento) alla probabilità dell'evento è un caso particolare della legge dei grandi numeri.

Esercizio teorico 7. Trova le probabilità dei seguenti eventi nell'esperimento dell'ago di Buffon. In ciascun caso, disegna l'eveno come sottinsieme dello spazio campionario.

  1. {0 < X < pi / 2, 0 < Y < 1 / 3}
  2. {1/4 < Y < 2 / 3}
  3. {X < Y}
  4. {X + Y < 2}

Stima di pi greco

Supponiamo di eseguire l'esperimento dell'ago di Buffon un numero molto elevato di volte. Per la legge dei grandi numeri, la proporzione degli incroci dev'essere prossima alla probabilità di incrociare una fessura. Più precisamente, indicheremo il numero di incroci nelle prime n prove con Nn. Nota che Nn è una variabile casuale per l'esperimento composito formato da n replicazioni dell'esperiemnto semplice. Quindi, se n è grande, dovremmo avere

Nn / n ~ 2L / pi e quindi pi ~ 2Ln / Nn.

Questa è la celebre stima di Buffon di π. Nella simulazione, tale stima è calcolata ad ogni ciclo ed è mostrata numericamente nella seconda tabella e visualmente nel grafico a barre.

Simulazione 8. Esegui l' esperimento dell'ago di Buffon con lunghezza dell'ago L = 0.3, 0.5, 0.7, e 1. In ciascun caso, osserva la stima di pi all'evolversi della simulazione.

Analizziamo più attentamente il problema della stima. Per ciascuna esecuzione j si ha la variabile indicatore

Ij = 1 se l'ago incrocia una fessura alla j-esima replicazione; Ij = 0 altrimenti

Queste variabili indicatrici sono indipendenti e identicamente distribuite, poiché stiamo assumendo replicazioni indipendenti dell'esperimento. Quindi, la sequenza forma un processo di prove Bernoulliane.

Esercizio teorico 9. Prova che il numero di incorci nelle prime n replicazioni dell'esperimento è

Nn = I1 + I2 + ··· + In.

Esercizio teorico 10. Usa il risultato dell'esercizio 9 per mostrare che il numero di incroci nelle prime n replicazioni ha distribuzione binomiale con parametri n e

p = 2L / pi

Esercizio teorico 11. Usa il risultato dell'esercizio 9 per mostrare che media e varianza del numero di incroci sono

  1. E(Nn) = 2Ln / pi
  2. var(Nn) = (2Ln / pi )(1 - 2L / pi)

Esercizio teorico 12. Usa la legge forte dei grandi numeri per mostrare che

  1. Nn / 2Ln tende a 1 / pi per n tende a infinito
  2. 2Ln / Nn goes to pi per n tende a infinito

Si hanno quindi due stimatori:

  1. Nn / 2Ln per 1 / pi.
  2. 2Ln / Nn per pi.

Proprietà

Lo stimatore (1) gode di molte importanti proprietà statistiche. In primo luogo, è corretto, poiché il valore atteso dello stimatore è pari al parametro:

Esercizio teorico 13. Usa l'esercizio 11 e le proprietà del valore atteso per mostrare che

E(Nn / 2Ln) = 1 / pi.

Poiché lo stimatore è corretto, la varianza coincide con l'errore quadratico medio:

var(Nn / 2Ln) = E[(Nn / 2Ln - 1 / pi)2]

Esercizio teorico 14. Usa l'esercizio 4 e le proprietà della varianza per mostrare che

var(Nn / 2Ln) = (pi - 2L) / (2L n pi2)

Esercizio teorico 15. Mostra che la varianza dell'esercizio 11 è funzione decrescente della lunghezza dell'ago L.

L'esercizio 15 mostra che lo stimatore (1) migliora all'aumentare della lunghezza dell'ago. Lo stimatore (2) è distorto e tende a sovrastimare pi:

Esercizio teorico 16. Usa la disuguaglianza di Jensen per provare che

E(2Ln / Nn) >= pi .

Anche lo stimatore (2) migliora all'aumentare della lunghezza dell'ago, ma non è facile dimostrarlo formalmente. In ogni caso, puoi vederlo empiricamente.

Simulazione 17. Nell'esperimento dell'ago di Buffon, poni la frequenza di aggiornamento a 100. Simula 5000 replicazioni, con L = 0.3, L = 0.5, L = 0.7, e L = 1. Osserva come sembra funzionare lo stimatore in ciascun caso.

Infine, dobbiamo notare che, all'atto pratico, l'esperimento dell'ago di Buffon non è un modo molto efficiente di approssimare pi. Seguendo Richard Durrett, la stima di pi con un'approssimazione di quattro posizioni decimali con L = 1 / 2 richiederebbe circa 100 milioni di lanci!

Simulazione 18. Simula l'esperimento dell'ago di Buffon con frequenza di aggiornamento 100 fino a che la stima di pi sembra consistentemente corretta alla seconda posizione decimale. Nota il numero di replicazioni necessarie. Prova con le lunghezze L = 0.3, L = 0.5, L = 0.7, e L = 1 e confronta i risultati.