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4. Triangoli aleatori

Termini del problema

Supponiamo di spezzare un bastoncino in due punti: qual è la probabilità che i tre pezzi formino un triangolo?

Esercizio teorico 1. Prova a indovinare senza guardare più avanti.

Simulazione 2. Replica l'esperimento del triangolo 50 volte. Non preoccuparti delle altre informazioni riportate nell'applet, nota solamente quando i pezzi formano un triangolo. Vuoi rivedere la tua risposta all'esercizio 1?

Formulazione matematica

Al solito, il primo passo è di formalizzare l'esperimento casuale. Consideriamo la lunghezza del bastoncino come unità di misura, in modo da poter identificare il bastoncino con l'intervallo [0, 1]. Per rompere il bastoncino in tre pezzi basta scegliere due punti. Sia quindi X il primo punto e Y il secondo. Notiamo che X e Y sono variabili casuali e quindi lo spazio campionario del nostro esperimento è

S = [0, 1]2.

Ora, per rappresentare il fatto che i punti sono selezionati a caso, assumiamo, come nei paragrafi precedenti, che X e Y siano indipendenti e distribuite uniformemente su [0, 1].

Esercizio teorico 3. Prova che (X, Y) è distribuito uniformemente su S = [0, 1]2.

Quindi, P(A) = area(A) / area(S) = area (A) per A S.

La probabilità del triangolo

Esercizio teorico 4. Spiega perché i tre pezzi formano un triangolo se e solo se valgono le disuguaglianze triangolari: la somma delle lunghezze di due qualunque dei pezzi dev'essere maggiore della lunghezza del terzo.

Esercizio teorico 5. Prova che l'evento in cui i tre pezzi formano un triangolo è T = T1 unione T2 dove

  1. T1 = {(x, y) in S: y > 1/2, x < 1/2, y - x < 1/2}
  2. T2 = {(x, y) in S: x > 1/2, y < 1/2, x - y < 1/2}

Un grafico dell'evento T è riportato qui sotto:

L'evento in cui i tre pezzi formano un triangolo

Esercizio teorico 6. Prova che P(T) = 1/4.

Quanto ti sei avvicinato nell'esercizio 1? Il valore di probabilità relativamente basso dell'esercizio 6 è abbastanza sorprendente.

Simulazione 7. Replica l'esperimento del triangolo 1000 volte, aggiornando ogni 10 replicazioni. Osserva la convergenza della probabilità empirica di Tc al valore teorico.

Triangoli di tipi diversi

Calcoliamo ora la probabilità che i pezzi formino un triangolo di un dato tipo. Ricorda che in un triangolo acutangolo tutti e tre gli angoli misurano meno di 90°, mentre un triangolo ottusangolo ha uno e un solo angolo maggiore di 90°. Un triangolo rettangolo, ovviamente, ha un angolo di 90°.

Esercizio teorico 8. Supponi che un triangolo abbia lati di lunghezza a, b e c, dove c è il valore maggiore. Ricorda (o prova) che il triangolo è

  1. acutangolo se e solo se c2 < a2 + b2.
  2. ottusangolo se e solo se c2 > a2 + b2.
  3. rettangolo se e solo se c2 = a2 + b2.

La parte (c), ovviamente, è il celebre teorema di Pitagora, che prende nome dal celebre matematico greco Pitagora.

Esercizio teorico 9. Prova che le equazioni del triangolo rettangolo per i pezzi sono

  1. (y - x)2 = x2 + (1 - y)2 in T1.
  2. (1 - y)2 = x2 + (y - x)2 in T1.
  3. x2 = (y - x)2 + (1 - y)2 in T1.
  4. (x - y)2 = y2 + (1 - x)2 in T2.
  5. (1 - x)2 = y2 + (x - y)2 in T2
  6. y2 = (x - y)2 + (1 - x)2 in T2.

L'evento in cui i pezzi formano un triangolo acutangolo o ottusangolo

Esercizio teorico 10. Sia R l'evento in cui i pezzi formano un triangolo rettangolo. Prova che

P(R) = 0.

Esercizio teorico 11. Prova che l'evento in cui i pezzi formano un triangolo acutangolo è A = A1 unione A2 dove

  1. A1 è la regione racchiusa tra le curve (a), (b) e (c) dell'esercizio 7.
  2. A2 è la regione racchiusa tra le curve (d), (e) e (f) dell'esercizio 7.

Esercizio teorico 12. Prova che l'evento in cui i pezzi formano un triangolo ottusangolo è B = B1 unione B2 unione B3 unioneB4 unione B5 unione B6 dove

  1. B1, B2, B3 sono le regioni dentro T1 e fuori dalle curve (a), (b) e (c) dell'esercizio 7, rispettivamente.
  2. B4, B5, B6 sono le regioni dentro T2 e fuori dalle curve (d), (e) e (f) dell'esercizio 7, rispettivamente.

Esercizio teorico 13. Prova che

  1. P(B1) = integrale[0, 1/2] [x(1 - 2x) / (2 - 2x)]dx = 3 / 8 - ln(2) / 2.
  2. P(B2) = integrale[0, 1/2] [x(1 - 2x) / (2 - 2x)]dx = 3 / 8 - ln(2) / 2.
  3. P(B3) = integrale[1/2, 1] [y + 1 / (2y) - 3 / 2]dy = 3 / 8 - ln(2) / 2.

Esercizio teorico 14. Spiega con la simmetria che

P(B) = 9 / 4 - 3 ln(2) ~ 0.1706

Puoi anche spiegare perché P(Bi) dev'essere lo stesso per ogni i, anche se B1 e B2 (per esempio) non sono congruenti.

Esercizio teorico 15. Prova che

P(A) = 3 ln(2) - 2 ~ 0.07944.

Simulazione 16. Replica l'esperimento del triangolo 1000 volte, aggiornando ogni 10. Osserva a convergenza delle probabilità empiriche ai loro valori teorici.

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