i
= 1, ..., n Xi.Laboratorio virtuale > Campioni casuali > 1 2 3 4 5 [6] 7 8 9
Supponiamo che (X1, X2, ..., Xn) sia un campione casuale estratto da una distribuzione normale con media µ e deviazione standard d. In questo paragrafo, enunceremo alcune proprietà speciali di media campionaria, varianza campionaria e altre importanti statistiche.
Richiamiamo in primo luogo la definizione di media campionaria
M = (1 / n)i
= 1, ..., n Xi.
La distribuzione M segue dalle proprietà delle variabili normali indipendenti:
1.
Prova che M è distribuita normalmente con media µ e varianza d2 / n.
2.
Mostra che Z = (M - µ) / (d / n1/2) ha distribuzione normale standardizzata.
La variabile standardizzata Z si incontrerà in diversi casi, più avanti.
Ricorda che, µ è noto, uno stimatore naturale della varianza d2 è
W2 = (1 / n)i
= 1, ..., n (Xi - µ)2.
Anche se l'ipotesi che µ sia noto è di solito irrealistica, W2 è semplice da analizzare e sarà usato in alcune dimostrazioni più avanti.
3.
Mostra che nW2 / d2 ha distribuzione chi-quadro con n gradi di libertà.
4.
Usa il risultato dell'esercizio precedente per mostrare che
Ricorda che la varianza campionaria è definita come
S2 = [1 / (n - 1)]i
= 1, ..., n (Xi - M)2.
Il prossimo gruppo di esercizi dimostra che la media campionaria M e la varianza campionaria S2 sono indipendenti. Notiamo in primo luogo un fatto semplice ma interessante, che vale per campioni casuali provenienti da ogni distribuzione e non solo per la normale.
5.
Usa le proprietà della covarianza per dimostrae che, per ogni i, M e Xi - M sono incorrelati:
La nostra analisi fa perno sulla media campionaria M e sul vettore di scarti dalla media campionaria:
Y = (X1 - M, X2 - M, ..., Xn - 1 - M).
6.
Prova che
Xn - M = -i
= 1, ..., n - 1 (Xi - M).
e dimosra quindi che S2 può essere scritto con funzione di Y.
7.
Dimostra che M e il vettore Y hanno distribuzione normale multivariata congiunta.
8.
Usa il risultato dell'esercizio precedente per mostrare che M e il vettore Y
sono indipendenti.
9.
Dimostra infine che M e S2 sono indipendenti.
Possiamo ora determinare la distribuzione della varianza campionaria S2.
10.
Prova che nW2 / d2 = (n - 1)S2
/ d2 + Z2 dove W2 e Z
sono quelli introdotti in precedenza.
Suggerimento: Nella sommatoria del membro di sinistra aggiungi e sottrai M ed espandi.
11.
Dimostra che (n - 1) S2 / d2 ha distribuzione chi-quadro con n - 1 gradi di libertà.
Suggerimento: Usa il risultato dell'esercizio precedente, l'indipendenza e le funzioni generatrici dei momenti.
12.
Usa il risultato dell'esercizio precedente per mostrare che
Ovviamente si tratta di casi particolari di quelli ottenuti in precedenza.
La prossima serie di esercizi individuerà òa distribuzione di
T = (M - µ) / (S / n1/2).
13.
Dimostra che T = Z / [V / (n - 1)]1/2, dove Z
è quella introdtta in precedenza e V = (n - 1) S2 / d2.
14.
Usa i risultati ottenuti per mostrare che T ha distribuzione t con n - 1 gradi di libertà.
La variabile T ha un ruolo fondamentale nella costruzione di intervalli di conidenza e nell'esecuzione di test di ipotesi su µ.