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5. La distribuzione t

In questo paragrafo studieremo una distribuzione di particolare importanza in statistica, che si presenta in particolare nello studio della versione standardizzata della media campionaria quando la distribuzione sottostante è normale.

La funzione di densità t

Si abbia una variabile casuale Z con distribuzione normale standardizzata, e una V con distribuzione chi-quadro con n gradi di libertà, e si supponga che queste due variabili casuali siano indipendenti. Sia

T = Z / (V / n)^1/2.

Nell'esercizio seguente, si dovrà mostrare che T ha funzione di densità di probabilità

f(t) = C(n) (1 + t² / n)^{-(n + 1)/2} per t appartenente a R

dove la costante di normalizzazione C(n) è data da

C(n) = gam[(n + 1) / 2] / [(n)^1/2 gam(n / 2)].

1. Dimostrare che T ha la funzione di densità riportata sopra percorrendo i seguenti passi.

1. Mostrare in primo luogo che la distribuzione condizionata di T dato V = v è normale con media 0 e varianza n / v.
2. Usare (a) per trovare la distribuzione congiunta di (T, V).
3. Integrare la densità congiunta in (b) rispetto a v per trovare la densità di T.

La distribuzione di T è detta distribuzione t di Student con n gradi di libertà. La distribuzione è definita per ogni n > 0, ma in pratica si considerano interessanti solo i valori interi positivi di n. Questa distribuzione fu introdotta da William Gosset, che pubblicava sotto lo pseudonimo di Student. Oltre a riportare la dimostrazione, l'esercizio 1 rappresenta anche una maniera interessante di vedere la distribuzione t: essa si presenta quando la varianza di una distribuzione a media 0 è in qualche modo casualizzata.

2. Nell'applet variabile casuale, seleziona la distribuzione t di Student. Modifica n e osserva la forma della funzione di densità di probabilità. Poni n = 5 e simula 1000 replicazioni con frequenza di aggiornamento 10. Osserva la convergenza della funzione di densità empirica a quella teorica.

3. Traccia il grafico della funzione di densità t definita nell'esercizio 1. Mostra in particolare che

1. f(t) è simmetrica attorno t = 0.
2. f(t) è crescente per t < 0 e decrescente per t > 0
3. f(t) 0 per t e per t -
4. f(t) è concava verso l'alto per t < -a_n e t > a_n; f(t) e concava verso il basso per -a_n < t < a_n, con a_n = [n / (n + 2)]^1/2.

Dall'esercizio 3, segue che la distribuzione t è unimodale, con moda 0.

4. La distribuzione t con 1 grado di libertà è detta distribuzione di Cauchy, in onore di Augustin Cauchy. Mostra che la sua funzione di densità è

f(t) = 1 / [(1 + t²)], t appartenente a R.

La funzione di ripartizione e la funzione quantile non sono esprimibili in forma chiusa tramite le funzioni elementari. Valori approssimati di queste funzioni di possono ottenere dalla tavola della distribuzione chi-quadro e dall'applet quantile.

5. Nell'applet quantile, seleziona la distribuzione di Student. Modifica i gradi di libertà e osserva la forma della funzione di densità e della funzione di ripartizione. Trova, in ciascuno dei casi seguenti, la mediana, il primo e il terzo quartile e lo scarto interquartile.

1. n = 1
2. n = 2
3. n = 5
4. n = 10

Momenti

Sia T t-distribuita con n gradi di libertà. La rappresentazione data nell'esercizio 1 può essere utilizzata per trovare media, varianza e gli altri momenti di T.

6. Dimostrare che

1. E(T) = 0 se n > 1.
2. E(T) non esiste se 0 < n 1.

In particolare la distribuzione di Cauchy non ha valore atteso.

7. Si dimostri che

1. var(T) = n / (n - 2) se n > 2.
2. var(T) = se 1 < n 2.
3. var(T) non esiste se 0 < n 1.

8. Nell'applet varaibile casuale, seleziona la distribuzione t di Student. Modifica n e osserva la posizione e la dimensione della barra media/deviazione standard. Per i seguenti valori di n, esegui 1000 replicazioni con frequenza di aggiornamento 10. Confronta il comportamento dei momenti empirici coi risultati teorici ottenuti negli esercizi 5 e 6.

1. n = 3.
2. n = 2.
3. n = 1.

9. Dimostrare che

1. E(T^k) = 0 se k è dispari e n > k.
2. E(T^k) = gam[(k + 1) / 2]{gam[(n - k) / 2]}^k/2 / [gam(1 / 2)gam(n / 2)] se k è pari e n > k.
3. E(T^k) = if 0 < n k.

Approssimazione alla normale

Avrai probabilmente notato che, almeno qualitativamente, la funzione di densità della distribuzione t di Student è molto simile a quella della normale standardizzata. La somiglianza è anche quantitativa:

10. Usa un teorema limite fondamentale dell'analisi per mostrare che, dato t,

f(t) exp(-t² / 2) / (2)^1/2 per n .

Nota che la funzione di destra è la funzione di densità di probabilità della distribuzione normale standardizzata.

11. Mostra, coi dati dell'esercizio 1, che, usando la legge forte dei grandi numeri

1. V / n 1 per n ,
2. T Z per n ,

La distribuzione t ha code più spesse, e di conseguenza è più appuntita in confronto alla normale standardizzata.

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