1. Mostra che la distribuzione che-quadro con n gradi di libertà ha funzione di densitàLaboratorio virtuale > Distribuzioni notevoli > 1 2 3 [4] 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
In questa sezione studieremo una distribuzione di particolare utilità in statistica, che si impiega nello studio della varianza campionaria quando la distribuzione sottostante è normale e nel test per la bontà di adattamento.
Per n > 0, la distribuzione gamma con parametro di forma k = n / 2 e parametro di scala 2 è detta distribuzione chi-square con n gradi di libertà.
1. Mostra che la distribuzione che-quadro con n gradi di libertà ha funzione di densità
f(x) = xn/2 - 1exp(-x / 2) / [2n/2 gam(n / 2)] per x > 0.
2. Nell'applet
variabile casuale, seleziona la distribuzione chi-quadro. Modifica n e osserva la forma della funzione di densità. Poni n = 5, e replica la simulazione 1000 volte, con frequenza di aggiornamento di 10, e osserva la convergenza della funzione di densità empirica a quella teorica.
3. Mostra che la distribuzione chi-quadro con 2 gradi di libertà è una distribuzione esponenziale con parametro di scala 2.
4. Disegna la funzione di densità della distribuzione gamma in ciascuno dei seguenti casi:
La funzione di ripartizione e al funzione quantile non sono esprimibili in forma chiusa tramite le funzioni elementari. Valori approssimati di queste funzioni di possono ottenere dalla tavola della distribuzione chi-quadro e dall'applet quantile.
5. Nell'applet quantile
, seleziona la distribzuione chi-quadro. Modifica i gradi di libertà e osserva la forma della funzione di densità e della funzione di riaprtizione. In ognuno dei seguenti casi trova la mediana, il primo e il terzo quartile e lo scarto interquartile.
Media, varianza, momenti, e funzione generatrice dei momenti della distribuzione chi-quadro possono essere ricavate dai risultati ottenuti per la distribuzione gamma. Nei seguenti esercizi, si supponga che X abbia distribuzione chi-quadro con n gradi di libertà.
6. Mostra che
7.
Si mostri che
E(Xk) = 2k gam(n/2 + k) / gam(n/2).
8. Dimostrare che
E[exp(tX)] = (1 - 2t)-n/2 per t < 1/2.
9. Nell'applet variabile casuale, scegliere la distribuzione chi-quadro. Modificare n
con la barra di scorrimento e osservare la forma e la posizione della barra media/deviazione standard.
Con n = 4, simulare 1000 replicazioni con frequenza di aggiornamento 10 e osservare la convergenza dei momenti empirici a quelli teorici.
10. Sia Z una variabile casuale normale standardizzata. Usa le tecniche di cambiamento di variabile per dimostrare che U = Z2 ha distribuzione chi-quadro con un grado di libertà.
11. Usa le proprietà della funzione generatrice dei momenti della distribuzione gamma per mostrare che, se X ha distribuzione chi-quadro con m gradi di libertà, Y ha distribuzione chi-quadro con n gradi di libertà, e X e Y sono indipendenti, allora X + Y ha distribuzione chi-quadro con m + n gradi di libertà.
12. Siano Z1, Z2, ..., Zn variabili casuali
indipendenti con distribuzione normale standardizzata (ovvero, un
campione casuale di dimensione n della distribuzione normale standardizzata). Si usino i risultati dei due esercizi precedenti per dimostrare che
V = Z12 + Z22 + ··· + Zn2
ha distribuzione chi-quadro con n gradi di libertà.
Il risultato di questo esercizio spiega perché la distribuzione chi-quadro sia distinta dalle altre distribuzioni gamma. La somma di variabili casuali normali indipendenti si osserva spesso in statistica. D'altra parte, l'esercizio seguente mostra che ogni variabili casuale con distribuzione gamma può essere trasformata in una variabile con distribuzione chi-quadro.
13. Sia X
gamma-distribuita con parametro di forma k e parametro di scala b.
Si dimostri che Y = 2X / b ha distribuzione chi-quadro con 2k gradi di libertà.
14. Supponi che un proiettile sia lanciato verso un bersaglio che si trova all'origine di un sistema di coordinate Cartesiano, con unità di misura espressa in metri. Il proiettile colpisce il punto (X, Y), dove X e Y sono indipendenti e normalmente distribuite con media 0 e varianza 100. Il proiettile distrugge il bersaglio se colpisce a meno di 20 metri dal bersaglio. Trova la probabilità di questo evento.
Dal teorema limite centrale, e dai risultati precedentemente ottenuti per la distribuzione gamma, segue che, se n è sufficientemente grande, la distribuzione chi-quadro con n gradi di libertà può essere approssimata dalla distribuzione normale con media n e varianza 2n. Più precisamente, se X ha distribuzione chi-quadro con n gradi di libertà, allora la distribuzione della variabile standardizzata
(X - n) / (2n)1/2,
converge alla normale standardizzata per n che tende a infinito:
15. Nell'applet variabile casuale, seleziona la distribuzione chi-quadro. Inizia con n = 1 e fai crescere n. Osserva la forma della funzione di densità. Simula 1000 replicazioni (frequenza di aggiornamento 10) con n = 20 e osserva la convergenza della funzione di densità empirica a quella teorica.
16. Supponi che X abbia distribuzione chi-quadro con n = 18 gradi di libertà. In ciascuno dei casi seguenti, calcola e confronta il valore esatto, ottenuto utilizzando l' applet quantile, e l'approssimazione alla normale.