1. Mostra che E(Z)
= 0 (vettore di zeri in Rn).Laboratorio virtuale > Distribuzioni notevoli > 1 2 3 4 5 6 7 [8] 9 10 11 12 13 14 15
La distribuzione normale multivariata è una naturale generalizzazione della distribuzione normale bivariata. La forma analitica è molto compatta ed elegante se si utilizzano le matrici di valori attesi e covarianze, e sarebbe di converso terribilmente complessa senza l'uso di esse. Pertanto questo paragrafo presuppone la conoscenza dell'algebra lineare a livello intermedio.
Si abbiano Z1, Z2, ..., Zn, indipendenti e ciascuna avente distribuzione normale standardizzata. Il vettore aleatorio Z = (Z1, Z2, ..., Zn) è detto avere distribuzione normale satndardizzata in n-dimensioni.
1. Mostra che E(Z)
= 0 (vettore di zeri in Rn).
2. Dimostra che VC(Z)
= I (matrice identità di dimensione n × n).
3. Mostra che Z
ha funzione di densità
g(z) = [1 / (2
)n/2] exp(-zTz
/ 2) per z appartenente a Rn.
4. Dimostra che Z
ha funzione generatrice dei momenti
E[exp(tTZ)] = exp(tTt / 2) per t appartenente a Rn.
Supponiamo ora che Z abbia distribuzione normale satndardizzata in n-dimensioni. Sia µ un vettore in Rn e sia A una matrice n × n invertibile. Si dice allora che il vettore aleatorio X = µ + AZ. ha distribuzione normale in n-dimensioni..
5. Mostra che E(X)
= µ.
6. Mostrare che VC(X)
= AAT e che questa matrice è invertibile e quindi definita positiva.
7. Sia V
= VC(X) = AAT. Usa il teorema di cambiamento di variabile multivariato per dimostrare che X
ha funzione di densità
f(x) = {1 / [(2
8. Dimostrare che X
ha funzione generatrice de momenti
E[exp(tTX)] = exp(tTµ + tTVt / 2) per t appartenente a Rn.
Si osservi che la matrice A che si incontra nella trasformazione non è unica, mentre ovviamente lo è la matrice di varianze e covarianze V. In generale, data una matrice definita positiva V, esistono più matrici invertibili A tali che AAT = V. Tuttavia, un teorema dell'algebra lineare afferma che esiste una sola matrice triangolare bassa L che soddisfa questa relazione.
9. Trova la matrice triangolare bassa L nel caso della distribuzione normale bivariata.
La distribuzione normale multivariata è invariante a due importanti famiglie di trasformazioni: le trasformazioni affini con una matrice invertibile e la creazione di sottosequenze.
10. Sia X
distribuita normalmente in n-dimensioni. Siano inoltre a
appartenente a Rn e B matrice n × n invertibile. Dimostrare che Y = a
+ BX ha distribuzione normale multivariata. Trovare il vettore delle medie e la matrice di varianze e covarianze di Y.
11. Sia X
distribuita normalmente in n-dimensioni. Mostrare che ogni permutazione delle coordinate di X ha anch'essa distribuzione normale in n-dimensioni. Trovare il vettore delle medie e la matrice di varianze e covaraizne. Suggerimento:
Permutare le coordinate di X equivale a moltiplicare X
per una matrice di permutazione--una matrice di 0 e 1 in cui ogni riga e colonna presenta un solo 1.
12. Sia X
= (X1, X2, ..., Xn) distribuita normalmente in n-dimensioni. Mostra che, se k < n, W
= (X1, X2, ..., Xk) ha distribuzione normale in k-dimensioni. Trova il vettore delle medie e la matrice di varianze e covarianze.
13. Usa i risultati degli esercizi 11 e 12 per dimostrare che, se X = (X1,
X2, ..., Xn) ha distribuzione normale in n-dimensioni e se i1, i2, ..., ik
sono indici distinti, allora W = (Xi1,
Xi2, ..., Xik) ha distribuzione normale in k-dimensioni.
14. Supponi che X
abbia distribuzione normale in n-dimensioni, che a appartenga a
Rn,
e che B sia una matrice m × n a righe linearmente indipendeti (per cui m 
n). Dimostra che Y = a + BX
ha distribuzione normale in m-dimensioni. Suggerimento: esiste una matrice invertibile C di dimensioni n × n in cui le prime m righe sono le righe di B. Usa poi i risultati degli esercizi 10 e 12.
Osserva che i risultati degli esercizi 10, 11, 12 e 13 sono casi particolari del risultato dell'esercizio 14.
15. Supponi che X
abbia distribuzione normale in n-dimensioni, che Y abbia distribuzione normale in m-dimensioni e che X e Y
siano indipendenti. Mostrare che (X, Y) ha distribuzione normale in n + m-dimensioni. Trova il vettore delle medie e la matrice di varianze e covarianze.
16. Supponi X
sia un vettore casuale in Rn, che Y
sia un vettore casuale in Rm e che (X,
Y) abbia distribuzione normale in n + m-dimensioni. Dimostra che X e Y sono indipendenti se e solo se cov(X, Y)
= 0.