La distribuzione normale

2. La distribuzione normale

La distribuzione normale ricopre un ruolo di particolare rilievo nel calcolo delle probabilità e nella statistica, in larga parte grazie al teorema limite centrale, uno dei teoremi fondamentali che fanno da ponte tra queste due discipline. In più, come avremo modo di osservare, la distribuzione normale possiede molte utili proprietà matematiche.La distribuzione normale è nota anche come distribuzione Gaussiana, in onore di Carl Friedrich Gauss, che è stato tra i primi a utilizzarla.

La distribuzione normale standardizzata

Una variabile casuale Z ha distribuzione normale standardizzata se la sua funzione di densità di probabilità g è data da

g(z) = exp(-z² / 2) / [(2)^1/2] per z appartenente a R.

$Esercizio teorico$ 1. Si mostri che la densità di probabilità della distribuzione normale standardizzata è una funzione di densità di probabilità valida verificando che

C = _R exp(-z² / 2)dz = (2)^1/2.

Suggerimento: Esprimere C² come integrale doppio su R² e convertirlo in coordinate polari.

$Esercizio teorico$ 2. Utilizzare semplici tecniche di studio di funzioni per disegnare la funzione di densità della distribuzione normale standardizzata. Mostrare in particolare che

g è simmetrica attorno a z = 0.
g è crescente per z < 0 e decrescente per z > 0.
La moda è a z = 0.
g è concava verso l'alto per z < -1 e per z > 1 e concava verso il basso per -1 < z < 1.
I punti di flesso di g sono a z = ±1.
g(z) 0 per z e per z -

3. Nell'esperimento variabile casuale, selezionare la distribuzione normale e mantenere le impostazioni predefinite. Osservare la forma e la posizione della funzione di densità della normale standardizzata. Effettuare 1000 replicazioni aggiornando la visualizzazione ogni 10 giri e osservare la convergenza della funzione di densità empirica a quella teorica.

La funzione di ripartizione normale standardizzata G e la funzione quantile G^-1 non possono essere espresse in forma chiusa in termini di funzioni elementari. Pertanto, valori approssimati di queste funzioni possono essere ottenuti dalla tavola della distribuzione normale standardizzata e dall'applet quantile.

$Esercizio teorico$ 4. Utilizzare la simmetria per mostrare che

G(-z) = 1 - G(z) per ogni z appartenente a R.
G^-1(p) = -G^-1(1 - p) per ogni p appartenente a (0, 1).
La mediana è 0.

5. Nell'applet quantile , selezionare la distribuzione normale standardizzata

Osservare la forma della funzione di densità e della funzione di ripartizione.
Trovare il primo e il terzo quartile.
Calcolare lo scarto interquartile.

6. Usare l' applet quantile per trovare i quantile dei seguenti ordine della distribuzione normale standardizzata:

p = 0.001, p = 0.999
p = 0.05, p = 0.95
p = 0.10, p = 0.90

La distribuzione normale generalizzata

La distribuzione normale generalizzata è la famiglia di posizione e scala associata alla distribuzione normale standardizzata. Pertanto le proprietà delle funzioni di densità e di ripartizione si ricavano semplicemente dai risultati generali presentati per le famiglie di poszione e scala.

$Esercizio teorico$ 7. Mostrare che la distribuzione normale con parametro di posizione µ appartenente a R e parametro di scala d > 0 ha funzione di densità di probabilità f data da

f(x) = exp[-(x - µ)² / (2d²)] / [(2)^1/2d], per x appartenente a R.

$Esercizio teorico$ 8. Disegnare la funzione di densità della normale con parametro di posizione µ e parametro di scala d. Mostrare in particolare che

f è simmetrica attorno a x = µ.
f è crescente x < µ e decrescente per x > µ.
La moda è a x = µ.
f è concava verso l'alto per x < µ - d e per x > µ + d e concava verso il basso per µ - d < x < µ + d.
I punti di flesso di f sono a x = µ ± d.
f(x) 0 per x e per x -

9. Nell'applet variabile casuale, selezionare la distribuzione normale. Modificare i parametri e osservare la forma e la posizione della funzione di densità. Scegliere dei parametri e replicare 1000 volte, aggiornando ogni 10 replicazioni e osservando la convergenza della densità empirica alla funzione di densità teorica.

Sia F la funzione di ripartizione della distribuzione normale con parametro di posizione µ e parametro di scala d, e come sopra, sia G la funzione di ripartizione della normale standardizzata.

$Esercizio teorico$ 10. Mostrare che

F(x) = G[(x - µ) / d] per x appartenente a R.
F^-1(p) = µ + d G^-1(p) per p appartenente a (0, 1).
La mediana è µ.

11. Nell'applet quantile, selezionare la distribuzione normale. Modificare i parametri e osservare la forma delle funzioni di densità e di ripartizione.

Momenti

Le più importanti proprietà della distribuzione normale si ottengo più facilmente utilizzando la funzione generatrice dei momenti.

$Esercizio teorico$ 12. Si abbia Z con distribuzione normale standardizzata. Mostrare che la funzione generatrice dei momenti di Z è data da

E[exp(tZ)] = exp(t² / 2) per t appartenente a R.

Suggerimento: Nell'integrale per E[exp(tZ)], completa il quadrato in z e osserva la funzione di densità di una normale.

$Esercizio teorico$ 13. Supponiamo che X abbia distribuzione normale con parametro di posizione µ e parametro di scala d. Usa il risultato dell'esercizio precedente per mostrare che la funzione generatric edei momenti di X è data da

E[exp(tX)] = exp(µt + d²t² / 2) per t appartenente a R.

Come la notazione stessa suggerisce, i parametri di posizione e scala sono anche, rispettivamente, la media e la deviazione standard

$Esercizio teorico$ 14. Supponiamo che X abbia distribuzione normale con parametro di posizione µ e parametro di scala d. Mostrare che

E(X) = µ
var(X) = d².

In generale, possiamo calcolare tutti i momenti centrati di X:

$Esercizio teorico$ 15. Supponiamo che X abbia distribuzione normale con parametro di posizione µ e parametro di scala d. Dimostrare che, per k = 1, 2, ...

E[(X - µ)^2k] = (2k)!d^2k / (k!2^k).
E[(X - µ)^{2k - 1}] = 0

16. Nella simulazione variabile casuale, seleziona la distribuzione normale. Modifica la media e la deviazione standard e osserva l'ampiezza e la posizione della barra media/deviazione standard. Coi parametri selezionati, simula 1000 replicazioni aggiornando ogni 10 giri e osserva la convergenza dei momenti empirici a quelli teorici.

L'esercizio seguente riporta la skewness e la curtosi della distribuzione normale.

$Esercizio teorico$ 17. Sia X distribuita normalmente con media µ e deviazione standard d. Mostrare che

skew(X) = 0.
kurt(X) = 3.

Trasformazioni

La famiglia di distribuzioni normali soddisfa due proprietà molto importanti: l'invarianza rispetto alle trasformazioni lineari e l'invarianza rispetto alla somma di variabili indipendenti. La prima proprietà è di fatto una conseguenza del fatto che la distribuzione normale è una famiglia di posizione e scala. Le dimostrazioni sono semplici se si utilizza la funzione generatrice dei momenti.

$Esercizio teorico$ 18. Sia X distribuita normalmente con media µ e varianza d². Se a e b sono costanti e a è diverso da zero, si dimostri che aX + b è distribuita normalmente con media aµ + b e varianza a²d².

$Esercizio teorico$ 19. Dimostrare i seguenti assunti:

Se X è distribuita normalmente con media µ e deviazione standard d, allora Z = (X - µ) / d è una normale standardizzata.
Se Z è una normale standardizzata e se µ e d > 0 sono costanti, allora X = µ + dZ ha distribuzione normale con media µ e deviazione standard d.

$Esercizio teorico$ 20. Sia X distribuita normalmente con media µ₁ e varianza d₁², Y distribuita normalmente con media µ₂ e varianza d₂², e siano X e Y indipendenti. Si dimostri che X + Y ha distribuzione normale con

E(X + Y) = µ₁ + µ₂.
var(X + Y) = d₁² + d₂².

Il risultato dell'esercizio precedente può essere generalizzato al caso in cui si sommano n variabili indipendenti e normali. Il risultato importante è che la somma è sempre normale; le formule per la media e la varianza valgono in generale per la somma di variabili casuali indipendenti.

$Esercizio teorico$ 21. Supponiamo che X abbia distribuzione normale con media µ e varianza d². Dimostra che questa distribuzione è una famiglia esponenziale a due parametri con parametri naturali µ / d² e -1 / 2d², e statistiche naturali X e X².

Esercizi numerici

$Esercizio teorico$ 22. Supponiamo che il volume di birra in una bottiglia di una certa marca sia distribuito normalmente con media 0.5 litri e deviazione standard 0.01 litri.

Trova la probabilità che la bottiglia contenga almeno 0.48 litri.
Trova il voume corrispondente al 95esimo percentile.

$Esercizio teorico$ 23. Una barra metallica è progettata per essere inserita in un foro circolare in una certa linea di produzione. Il raggio della barra è distribuito normalmente con media 1 cm e deviazione standard 0.002 cm; il raggio del foro è distribuito normalmente con media 1.01 cm e deviazione standard 0.003 cm. I processi produttivi per la barra e il foro sono indipendenti. Trova la probabilità che la barra sia troppo larga per il foro.

$Esercizio teorico$ 24. Il peso di una pesca proveniente da un certo frutteto è distribuito normalmente con media 8 once e deviazione standard di un oncia. Trova la probabilità che il peso complessivo di 5 pesche superi le 45 once.