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La teoria degli insiemi è fondamentale così per la probabilità come per quasi ogni altro ramo della matematica. Nella probabilità, la teoria degli insiemi è utilizzata come linguaggio per modellare e descrivere gli esperimenti.
Per iniziare, un insieme è, semplicemente, una collezione di oggetti; gli oggetti sono detti elementi dell'insieme. L'affermazione che s è un elemento dell'insieme S si scrive s S. (In questo progetto, per semplicità notazionale, useremo a volte solo la parola in.)
Se A e B sono insiemi, allora A è un sottinsieme di B se ogni elemento di A è anche un elemento di B:
A B se e solo se s A implica s B.
Per definizione, ogni insieme è completamente individuato dai suoi elementi. Pertanto, gi insiemi A e B sono uguali se hanno gli stessi elementi:
A = B se e solo se A B e B A.
Nella maggior parte delle applicazioni della teoria degli insiemi, tutti gli insiemi che si considerano sono sottinsiemi di un certo insieme universo. Al contrario, l'insieme vuoto, indicato con Ø, è un insieme privo di elementi.
1. Usa la definizione formale dell'implicazione per mostrare che l'insieme vuoto è un sottinsieme di ogni insieme A.
Un insieme si dice numerabile se può essere messo in corrispondenza uno a uno con un sottinsieme degli interi. Quindi, un insieme numerabile è un insieme, finito o infinito, che può essere "contato" con i numeri interi. Al contrario, l'insieme dei numeri reali non è numerabile. Il termine corrispondenza uno a uno è definito formalmente nel prossimo paragrafo su funzioni e variabili casuali.
Lo spazio campionario di un esperimento casuale è un insieme S che include tutti i possibili esiti dell'esperimento; lo spazio campionario ha la funzione di insieme universo nella modellazione dell'esperimento. Per gli esperimenti semplici, lo spazio campionario è esattamente l'insieme di tutti i possibili esiti. Più spesso, per gli esperimenti composti, lo spazio campionario è un insieme matematicamente trattabile che comprende tutti i possibili esiti e anche altri elementi. Per esempio, se l'esperimento consiste nel lanciare un dado a sei facce e registrare il risultato, lo spazio campionario è S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, cioè l'insieme dei possibili esiti. D'altra parte, se l'esperimento consiste nel catturare una cicala e misurare il suo peso corporeo (in milligrammi), possiamo prendere come spazio campionario S = [0, ), anche se la maggior parte degli elementi di questo insieme sono impossibili all'atto pratico.
Certi sottinsiemi dello spazio campionario di un esperimento sono detti eventi. Quindi, un evento è un insieme di esiti di un esperimento. Ogni volta che si esegue l'esperimento, un dato evento A si verifica, se l'esito dell'esperimento è un elemento di A, o non si verifica, se l'esito dell'esperimento non è un elemento di A. Intuitivamente, si può pensare all'evento come a un'affermazione significativa relativa all'esperimento.
Lo stesso spazio campionario S è un evento; per definizione si verifica sempre. All'estremo opposto, anche l'insieme vuoto Ø è un evento; per definizione, non si verifica mai. Più in generale, se A e B sono eventi dell'esperimento e A è sottinsieme di B, allora il verificarsi di A implica il verificarsi di B.
Di solito l'esito di un esperimento consiste in una o più misurazioni e pertanto lo spazio campionario è formato da tutte le possibili sequenze di misurazioni. Abbiamo pertanto bisogno di una notazione appropriata per costruire insiemi di sequenze.
Supponiamo in primo luogo di avere n insiemi S1, S2, ..., Sn. Il prodotto Cartesiano (che prende il nome da René Descartes) di S1, S2, ..., Sn indicato
S1 × S2 × ··· × Sn
è l'insieme di tutte le sequenze (ordinate) (s1, s2 , ..., sn) dove si è un elemento di Si per ogni i. Ricorda che due sequenze ordinate solo uguali se e solo se i loro elementi corrispondenti sono uguali:
(s1, s2 , ..., sn) = (t1, t2 , ..., tn) se e solo se si = ti per i = 1, 2, ....
Se abbiamo n esperimenti con spazi campionari S1, S2, ..., Sn, allora S1 × S2 × ··· × Sn è lo spazio campionario naturale per l'esperimento composto che consiste nell'eseguire gli n esperimenti in sequenza. Se Si = S per ogni i, allora l'insieme prodotto può essere scritto in forma compatta come
Sn = S × S × ··· × S (n fattori).
Quindi, se abbiamo un esperimento semplice con spazio campionario S, allora Sn è lo spazio campionario naturale per l'esperimento composto che consiste nel replicare n volte l'esperimento semplice. In particolare, R indicherà l'insieme di numeri reali tali che Rn è un spazio Euclideo a n dimensioni. In molti casi, lo spazio campionario di un esperimento casuale, e quindi gli eventi dell'esperimento, sono sottinsiemi di Rn per un dato n.
Supponiamo ora di avere una collezione infinita di insiemi S1, S2, ..., il prodotto Cartesiano di S1, S2, ..., indicato con
S1 × S2 × ···
è l'insieme di tutte le sequenze ordinate (s1, s2 , ...,) dove si è un elemento di Si per ogni i. Di nuovo, sue sequenze ordinate sono uguali se e solo se i loro elementi corrispondenti sono uguali. Se abbiamo una sequenza infinita di esperimenti con spazi campionari S1, S2, ..., allora S1 × S2 × ··· è o spazio campionario naturale per l'esperimento composto che consiste nell'effettuare gli esperimenti dati in sequenza. In particolare, lo spazio campionario dell'esperimento composto che consiste in infinite replicazioni di un esperimento semplice è S × S × ···. Questo è un caso particolare fondamentale, perché la teoria della probabilità è basata sull'idea di replicare un dato esperimento.
Siamo ora pronti per richiamare le operazioni fondamentali della teoria degli insiemi. Per un dato esperimento casuale, tali operazioni possono essere utilizzate per costruire nuovi eventi a partire da eventi dati. Per le seguenti definizioni, supponiamo che A e B siano sottinsiemi dell'insieme universo, che indicheremo con S.
L'unione di A e B è l'insieme ottenuto combinando gli elementi di A e di B.
A B = {s S: s A o s B}.
Se A e B sono eventi di un esperimento con spazio campionario S, allora l'unione di A e B è l'evento che si verifica se e solo se A si verifica o B si verifica.
L'intersezione di A e B è l'insieme di elementi comuni sia ad A che a B:
A B = {s S: s A e s B}.
Se A e B sono eventi di un esperimento con spazio campionario S, allora l'intersezione di A e B è l'evento che si verifica se e solo se A si verifica e B si verifica. Se l'intersezione degli insiemi A e B è vuoto, allora A e B si dicono disgiunti:
A B = Ø.
Se A e B sono disgiunti in un esperimento, allora sono incompatibili; non possono verificarsi entrambi contemporaneamente.
Il complementare di A è l'insieme degli elementi che non appartengono ad A ed è indicato con Ac:
Ac = {s S: s A}.
Se A è un evento di un esperimento con spazio campionario S, allora il complementare di A è l'evento che si verifica se e solo se A non si verifica.
2. Le operazioni sugli insiemi si rappresentano spesso con piccolo grafici schematici noti come diarammi di Venn, che prendono nome da John Venn. Nell'applet diagramma di Venn, seleziona ciascuna delle seguenti opzioni e osserva l'area ombreggiata del diagramma.
Nei seguenti problemi, A, B, e C sono sottinsiemi dell'insieme universo S.
3. Prova che A B A A B
4. Prova le leggi commutative:
5. Prova le leggi associative:
6. Prova le leggi distributive:
7. Prova le leggi di DeMorgan (che prendono nome da Agustus DeMorgan):
8. Prova che B Ac è l'evento che si verifica se e solo se B si verifica, mentre A no.
Quando A B, B Ac si scrive a volte come B - A. Quindi, S - A è la stessa cosa di Ac.
9. Prova che (A Bc) (B Ac) è l'evento che si verifica se e solo se uno, ma non entrambi gli eventi si verificano. Questo evento è detto differenza simmetrica e corrisponde all'exclusive or.
10. Mostra che (A B) (Ac Bc) è l'evento che si verifica se e solo se entrambi gli eventi si verificano o se nessuno dei due si verifica.
11. Prova che, in generale, a partire da due eventi dati A e B, si possono costruire 16 eventi distinti.
12. Nell'applet diagramma di Venn, osserva il diagramma di ciasuno dei 16 eventi che si possono costruire a partire da A e B. Osserva, in particolare, il diagramma degli eventi degli esercizi 8, 9 e 10.
13. Considera l'esperimento consistente nel lanciare due volte un dado e registrare i due punteggi. Sia A l'evento in cui il punteggio del primo dado è 1 e B l'evento in cui la somma dei punteggi è 7.
14. Nell'esperimento dei dadi, seleziona i dadi equilibrati e poni n = 2. Simula 100 replicazioni e conta il numero di volte in cui ciascun evento dell'esercizio precedente si verifica.
15. Considera l'esperimento che consiste nell'estrarre una carta da un mazzo ordinario. Il risultato si registra riportando la denominazione e il seme della carta estratta. Sia Q l'evento in cui la carta è una regina e H l'evento in cui la carta è di cuori.
16. Nell'esperimento delle carte, poni n = 1. Simula 100 replicazioni e conta il numero di volte in cui ciascun evento dell'esercizio precedente si verifica.
17. Ricorda che l'esperimento della moneta di Buffon consiste nel lanciare una moneta di raggio r 1/2 su un pavimento coperto da mattonelle quadrate di lato 1. Si registrano le coordinate del centro della moneta, relativamente ad assi che passano attraverso il centro del quadrato e paralleli ai lati. Sia A l'evento in cui la moneta non tocca i lati del quadrato
18. Nell'esperimento della moneta di Buffon, poni r = 1/4. Simula 100 replicazioni e conta il numero di volte in cui l'evento A dell'esercizio precedente si verifica.
19. Un esperimento consiste nel lanciare un paio di dadi finché la somma dei punteggi è 5 o 7. Registra il numero di lanci. Trova lo spazio campionario di questo esperimento.
20. Un esperimento consiste nel lanciare un paio di dadi finché la somma dei punteggi è 5 o 7. Registra il punteggio finale dei dadi. Sia A l'evento in cui la somma è 5 invece che 7.
21. L'esperimento dado-moneta consiste nel lanciare un dado e poi lanciare una moneta un numero di volte indicato dal dado. Registra la sequenza degli esiti del lancio della moneta. Sia A l'evento in cui si hanno esattamente due teste
22. Simula l'esperimento dado-moneta, con le impostazioni predefinite, 100 volte. Conta il numero di volte in cui si verifica A dell'esercizio precedente.
23. Nell'esperimento moneta-dado, abbiamo una moneta e due dadi, uno rosso e uno verde. Per prima cosa, lancia la moneta; se il risultato è testa lancia il dado rosso, se invece il risultato è croce, lancia il dado verde. Registra l'esito della moneta e il risultato del dado. Sia A l'evento in cui il punteggio dei dadi è almeno 4.
24. Replica l'esperimento moneta-dado, con le impostazioni predefinite, per 100 volte. Conta il numero di volte in cui l'evento A dell'esercizio precedente si verifica.
25. In un certo collegio, sono candidati alla camera dei deputati i signori 1, 2 e 3. Un consulente politico registra, età (in anni), sesso e candidato preferito, in un campione di 100 elettori. Assumi che un elettore debba avere almeno 18 anni. Definisci lo spazio campionario dell'esperimento.
26. Nell'esperimento di base della cicala, si cattura una cicala nella regione centrale del Tennessee e si registrano le seguenti misurazioni: peso corporeo (in grammi), lunghezza e larghezza delle ali e lunghezza del corpo (in millimetri), sesso e specie. I dati sulla cicala riguardano gli esiti di 104 replicazioni di questo esperimento.
27. Nell'esperimento semplice M&Ms, si acquista un sacchetto di M&Ms (di dimensione specificata) e si registrano i seguenti dati: il numero di pastiglie rosse, verdi, blu, gialle, arancio e marroni e il peso netto (in grammi). I dati M&M riportano il risultato di 30 replicazioni dell'esperimento.
28. Un sistema è formato da 5 componenti, indicate con 1, 2, 3, 4 e 5. Ogni componente è funzionante (indicato con 1) o difettoso (indicato con 0). Si registra la sequenza di stati dei componenti. Sia A l'evento in cui la maggior parte dei componenti funziona.
29. Due componenti, indicate con 1 e 2, sono messe in funzione finché non si guastano; si registra la sequenza dei tempi di guasto (in ore). Sia A l'evento in cui la componente 1 dura più di 1000 ore e sia B l'evento in cui la componente 1 dura più della componente 2.
Le operazioni di unione e intersezione possono essere facilmente generalizzate a una collezione finita o addirittura infinita di insiemi. Supponiamo che Aj sia un sottinsieme dell'insieme universo S per ogni j appartenente a un insieme non vuoto di indici J.
L'unione degli insiemi Aj, j J è l'insieme ottenuto combinando gli elementi degli insiemi dati:
j Aj = {s S: s Aj per qualche j}.
Se Aj, j J sono eventi di un esperimento con spazio campionario S, allora l'unione è l'evento che si verifica se e solo se almeno uno degli eventi dati si verifica.
L'intersezione degli insiemi Aj, j J è l'insieme di elementi comuni a tutti gli insiemi dati:
j Aj = {s S: s Aj per ogni j}.
Se Aj, j J sono eventi di un esperimento con spazio campionario S, allora l'interesezione è l'evento che si verifica se e solo se ogni evento della collezione si è verificato.
Gli insiemi Aj, j J sono mutualmente disgiunti se l'intersezione di due qualsiasi di questi insiemi è vuota:
Ai Aj = Ø per i j.
Se Aj, j J sono eventi di un esperimento casuale, ciò significa che sono mutualmente incompatibili; al più uno di tali eventi può verificarsi ad ogni replicazione dell'esperimento.
Gli insiemi Aj, j J costituiscono una partizione dell'insieme B se Aj, j J sono mutualmente disgiunti e
j Aj = B.
Nei seguenti problemi, Aj, j J e B sono sottinsiemi dell'insieme universo S.
30. Prova le leggi distributive generalizzate:
31. Prova le leggi di DeMorgan generalizzate:
32. Supponi che gli insiemi Aj, j J siano una partizione di S. Prova che, per ogni sottinsieme B, gli insiemi Aj B, j J, sono una partizione di B.
Vediamo ora che relazione sussiste tra le operazioni sugli insiemi e il prodotto Cartesiano. Supponiamo che S1 e S2 siano insiemi e che A1, B1 siano sottinsiemi di S1 mentre A2, B2 sono sottinsiemi di S2. Gli insiemi negli esercizi che seguono sono sottinsiemi di S1 × S2.
33. Dimostra che (A1 × A2) (B1 × B2) = (A1 B1) × (A2 B2).
34. Prova che
35. Mostra che
Queste ultime sezioni coprono argomenti più avanzati e possono essere omesse a una prima lettura.
Nella teoria della probabilità, così come in molte altre teorie matematiche, è spesso impossibile includere nella teoria tutti i sottinsiemi dell'insieme universo S. Esistono ad esempio molti esempi strani e patologici di sottinsiemi di R che non hanno alcun ruolo particolare nella matematica applicata. In ogni caso, desideriamo che la nostra collezione di sottinsiemi sia chiusa rispetto alle operazioni introdotte sopra. In particolare, si ha di solito bisogno che valga la seguente proprietà:
Ogni insieme che può essere costruito a partire da un numero di insiemi ammissibili usando le operazioni su insiemi dev'essere egli stesso ammissibile.
Ciò ci conduce a una definizione cruciale. Supponiamo che A sia una collezione di sottinsiemi di S. Allora A si dice sigma algebra se
36. Prova che Ø A.
37. Dimostra che, se Aj A per ogni j appartenente a un insieme numerabile di indici J, allora j Aj A. Suggerimento: Usa le leggi di DeMorgan.
In ogni esperimento casuale, assumiamo che la collezione di eventi formi una sigma algebra.
Sia {0, 1}S la collezione di tutti i sottinsiemi di S, detta insieme delle parti di S. Chiaramente, {0, 1}S è la più grande sigma algebra di S, e come abbiamo visto in precedenza, è spesso troppo grande per essere utilizzabile. La notazione insolita che useremo sarà spiegata nel prossimo paragrafo su funzioni e variabili casuali.
All'estremo opposto, la sigma algebra più piccola di S è indicata dal seguente esercizio.
38. Dimostra che {Ø, S} è una sigma algebra.
In molti casi, vogliamo costruire una sigma algebra che contenga alcuni insiemi fondamentali. L'esercizio seguente mostra come fare.
39. Supponi che Aj sia una sigma algebra di sottinsiemi di S per ogni j appartenente a un insieme numerabile di indici J. Dimostra che l'intersezione A riportata qui sotto è anch'essa una sigma algebra di sottinsiemi di S.
A = j Aj.
Supponi ora che B sia una collezione di sottinsiemi di S. Interpreta gli insiemi di B come insiemi semplici; ma in generale B non sarà una sigma algebra. La sigma algebra generata da B è l'interesezione di tutte le sigma algebre che contengono B, e, per l'esercizio precedente, è di fatto una sigma algebra:
sigma(B) = {A: A è una sigma algebra di sottinsiemi di S e B A}.
40. Mostra che sigma(B) è la sigma lagebra più piccola che contiene B:
41. Supponi che A sia un sottinsieme di S. Mostra che
sigma({A}) = {Ø, A, Ac, S}.
42. Supponi che A e B siano sottinsiemi di S. Trova i 16 (in generale distinti) insiemi di sigma({A, B}).
43. Supponi che A1, A2, ..., An siano sottinsiemi di S. Prova che esistono 2^(2n) (in generale distinti) insiemi nella sigma algebra generata dagli insiemi dati.
Parleremo adesso delle sigma algebre naturali che useremo per vari spazi campionari e altri insiemi nel corso di questo progetto.
Come notato in precedenza, gli insiemi prodotto hanno un ruolo chiave nella teoria della probabilità. Supponiamo quindi che S1, S2, ..., Sn siano insiemi e che Ai sia una sigma algebra di sottinsiemi di Si per ogni i. Per l'insieme prodotto
S = S1 × S2 × ··· × Sn,
usiamo la sigma algebra A generata dalla collezione di tutti gli insiemi prodotto della forma
A1 × A2 × ··· × An dove Ai Ai per ogni i.
Questa idea si può estendere a un prodotto infinito. Supponiamo che S1, S2, ... siano insiemi e che Ai sia una sigma algebra di sottinsiemi di Si per ogni i. Per l'insieme prodotto
S = S1 × S2 × ··· ,
usiamo la sigma algebra A generata dalla collezione di tutti gli insiemi prodotto della forma
A1 × A2 × ··· × An × Sn+1 × Sn+2 × ··· dove n è un intero positivo e Ai Ai per ogni i.
Combinando la costruzione del prodotto con le nostre osservazioni precedenti su R, nota che per Rn, utilizziamo la sigma algebra generata dalla collezione di tutti i prodotti degli intervalli. Questa è la sigma algera di Borel per Rn.