1. Prova che i seguenti test hanno livello di significativtà r:
Laboratorio virtuale > Test di ipotesi > 1 2 3 [4] 5 6 7
Supponiamo che I1, I2, ..., In sia un campione casuale della distribuzione di Bernoulli con parametro ignoto p appartenente a (0, 1). Si tratta pertanto di variabili indicatore indipendenti che assume valori 1 e 0 con probabilità rispettivamente p e 1 - p. Di solito, questo modello si presenta in uno dei seguenti contesti:
In questo paragrafo, impareremo a costruire test di ipotesi per il parametro p. Questo paragrafo è parallelo a quello sulla stima del modello di Bernoulli nel capitolo sulla stima intervallare.
Lo spazio parametrico è {p: 0 < p < 1}, e ogni ipotesi definisce sottinsiemi di questo spazio. Ricorda che
N = I1 + I2 + ··· + In
ha distribuzione binomiale con parametri n e p e ha media e varianza
E(N) = np, var(N) = np(1 - p).
Inoltre, N è sufficiente per p, per cui è naturale costruire una statistica test a partire da N. Per r appartenente a (0, 1), sia br(n, p) il quantile di ordine r della distribuzione binomiale con parametri n e p. Poiché la distribuzione binomiale è discreta, si possono considerare solo alcuni specifici quantili.
1. Prova che i seguenti test hanno livello di significativtà r:
p0 se e solo se N
< br/2(n, p0) o N > b1
- r/2(n, p0).
p0
contro H1: p > p0 se e solo se N
> b1 - r(n, p0).
p0
contro H1: p < p0 se e solo se N
< br(n, p0).Se n è grande, la distribuzione di N è approssimativamente normale, per il teorema limite centrale. Pertanto, un test normale approssimato può essere costruito utilizzando la statistica test
Z0 = (N - np0) / [np0(1 - p0)]1/2.
Nota che Z0 è lo standard score di N sotto l'ipotesi nulla. Al solito, per r appartenente a (0, 1), sia zr il quantile di ordine r della distribuzione normale standardizzata.
2. Mostra che, se n
è grande, i seguenti test hanno livello di significatività approssimato r:
p0 se e solo se Z0
> z1 - r/2 o Z0 < -z1
- r/2. p0
contro H1: p > p0 se e solo se Z0
> z1 - r. p0
contro H1: p < p0 se e solo se Z0
< -z1 - r.
3. Nell'
esperimento del test della proporzione, poni H0: p = p0,
n = 10, livello di significatività 0.1, e p0 = 0.5.
4.
Nell'
esperimento del test della proporzione, ripeti l'esercizio precedente per n = 20.
5. Nell'
esperimento del test della proporzione, poni H0: p p0, n = 15, livello di significatività
0.05, e p0 = 0.3.
6.
Nell'
esperimento del test della proporzione, ripeti l'esercizio precedente per n = 30.
7. Nell'
esperimento del test della proporzione, poni H0: p p0, n = 20, livello di significatività
0.01, e p0 = 0.6.
8.
Nell'
esperimento del test della proporzione, ripeti l'esercizio precedente per n = 50.
Supponiamo ora di avere un semplice esperimento casuale con una variabile casuale di interesse X. Assumiamo che X abbia distribuzione continua. Sia p0 un dato numero appartenente a (0, 1), e sia m il quantile di ordine p0 della distribuzione di X. Quindi, per definizione,
p0 = P(X < m).
Supponi che m sia ignoto, e che vogliamo costruire test di ipotesi per m. Per un dato valore m0 da testare, sia
p = P(X < m0).
9. Mostra che
Al solito, ripetiamo n volte l'esperimento per generare un campione casuale di dimensione n estratto dalla distribuzione di X:
X1, X2, ..., Xn.
Sia Ii la variabile indicatore dell'evento {Xi < m0} for i = 1, 2, ..., n.
10. Dimostra che I1,
I2, ..., In è un campione casuale di dimensione n
dalla distribuzione di Bernoulli con parametro p.
Sulla base degli esercizi 9 e 10, i test per il quantile ignoto m possono essere trasformati in test per il parametro di Bernoulli p, e quindi i test ricavati in precedenza sono utilizzabili a questo proposito. Questa procedura è detta test sul segno, poiché, alla fine, si registra solo il segno di Xi - m0 per ogni i. Questa procedura è anche un esempio di test non parametrico, poiché non si fanno assunzioni sulla distribuzione di X (a parte la continuità). In particolare, non dobbiamo assumere che la distribuzione di X appartenga a una particolare famiglia parametrica.
Il caso particolare più importante di test sul segno è il caso in cui p0 = 1/2; ovvero il test sul segno della mediana. Se si sa che la distribuzione di X è simmetrica, media e mediana coincidono. In questo casi, i test per il segno della mediana e della media coincidono.
11. Nell'esperimento del test del segno, selelziona la distribuzione normale con media 0 e deviaizone standard 2. Poni la dimensione campionaria a 10 e il livello di significatività a 0.1. Per ciascuno dei 9 valori di m0, simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10.
12. Nell'esperimento del test del segno, seleziona la distribuzione uniforme sull'intervallo [0, 5] e poni la dimensione campionaria a 20 e il livello di significatività a 0.05. Per ciascuno dei 9 valori di m0, simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10.
13.
Nell'esperimento del test del segno, seleziona la distribuzione gamma con parametro di forma a = 2 e parametro di scala r
= 1 . Poni la dimensione campionaria a 30 e il livello di significatività a 0.025. Per ciascuno dei 9 valori di m0, simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10.
14. Su un campione di 1000 elettori in un cero collegio, 427 preferiscono il candidato X. Al livello 0.1, questo è sufficiente per concludere che più del 40% degli elettori preferiscono X?
15. Si lancia una moenta 500 volte e si ottengono 302 teste. Sottoponi a test, allo 0.05, il fatto che la moneta sia squilibrata.
16. Si testa un campione di 400 chip di memoria e si osserva che 30 sono difettosi. Sottoponi a test, al livello 0.05, il fatto che la proporzione dei chip difettosi sia inferiore allo 0.1.
17. Si somministra un nuovo farmaco a 50 pazienti, ed esso si rivela efficace in 42 casi. Sottoponi a test, allo 0.1, il fatto che il tasso di successo del nuovo farmaco sia superiore a 0.8.
18.
Sui dati M&M, sottoponi a test le seguenti ipotesi alternative al livello di significatività 0.1:
19.
Sui dati M&M, esegui un test per valutare se il peso mediano è superiore a 47.9 grammi, al livello 0.1.
20.
Esegui, sui dati di Fisher sugli iris, i seguenti test, al livello 0.1: