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5. Test nel modello normale bivariato

In questo paragrafo, studieremo il test di ipotesi nel modello normale a due campioni e nel modello normale bivariato. Questa paragrafo è parallelo a quello sulla stima del modello normale bivariato nel capitolo sulla stima intervallare.

Il modello normale a due campioni

Supponiamo in primo luogo che X = (X₁, X₂, ..., X_n1) sia un campione casuale di dimensione n₁ della distribuzione normale con media µ₁ e varianza d₁² e che Y = (Y₁, Y₂, ..., Y_n2) sia un campione casuale di dimensione n₂ della distribuzione normale con media µ₂ e varianza d₂². Supponiamo inoltre che i campioni X e Y siano indipendenti.

Questa situazione si verifica di frequente quando le variabili casuali rappresentano delle misurazioni di interesse sulle unità della popolazione, e i campioni corrispondono a due diversi trattamenti. Per esempio, possiamo essere interessati alla pressione sanguigna di una certa popolazione di pazienti. Il vettore X registra la pressione sanguigna di un campione di controllo, mentre il vettore Y registra la pressione sanguigna di un campione trattato con un nuovo farmaco. Similmente, possiamo essere interessati al rendimento di una piantagione di grano. Il vettore X registrerebbe allora il rendimento di un appezzamento trattato con un tipo di fertilizzante, mentre il vettore Y quello di un appezzamento trattato con un altro tipo di fertilizzante.

Di solito, si è interessati a un confronto tra i parametri (media o varianza) per le due distribuzioni. In questo paragrafo, impareremo a costruire test per il rapporto tra varianze e per la differenza tra le medie. Analogamente a quanto abbiamo già visto per le procedure di stima, la costruzione del test è diversa a seconda che i parametri siano noti oppure no. Di nuovo, gli elementi fondamentali nella costruzione dei test sono le medie campionarie, le varianze campionarie e le proprietà di queste statistiche quando la distribuzione è normale. Useremo la seguente notazioni:

1. M₁ = (1 / n₁)_{i = 1, ..., n1} X_i.
2. W₁² = (1 / n₁)_{i = 1, ..., n1} (X_i - µ₁)².
3. S₁² = [1 / (n₁ - 1)]_{i = 1, ..., n1} (X_i - M₁)².
4. M₂ = (1 / n₂)_{i = 1, ..., n2} X_i.
5. W₂² = (1 / n₂)_{i = 1, ..., n2} (X_i - µ₂)².
6. S₂² = [1 / (n₂ - 1)]_{i = 1, ..., n2} (X_i - M₂)².

Test per d₂² / d₁² con µ₁ e µ₂ noti

Consideriamo in primo luogo considereremo il test per il rapporto tra varianze d₂² / d₁² quando le medie µ₁ e µ₂ sono note. Ovviamente questa assunzione è spesso irrealistica. La statistica test è

F₀ = (W₁² / W₂²)a₀ dove a₀ > 0.

1. Mostra che se d₂² / d₁² = a₀ allora F₀ ha distribuzione F con n₁ gradi di libertà al numeratore e n₂ gradi di libertà al denominatore.

Per p appartenente a (0, 1) e per m > 0 e k >0, sia f_{m, n, p} il quantile di ordine p della distribuzione F con m gradi di libertà al numeratore e n gradi di libertà al denominatore.

2. Mostra che i seguenti test hanno livello di significatività r:

1. Rifiutare H₀: d₂² / d₁² = a₀ contro H₁: d₂² / d₁² a₀ se e solo se F₀ > f_{n1, n2, 1 - r/2} o F₀ < f_n1, n₂, a/2_{1, n2, a/2}.
2. Rifiutare H₀: d₂² / d₁² a₀ contro H₁: d₂² / d₁² > a₀ se e solo se F₀ < f_{n1, n2, r}.
3. Rifiutare H₀: d₂² / d₁² a₀ contro H₁: d₂² / d₁² < a₀ se e solo se F₀ > f_{n1, n2, 1 - r}.

3. Per ciascuno dei test dell'esercizio 2, prova che non rifiutiamo H₀ a livello di significatività r se e solo se a₀ appartiene al corrispondente al intervallo di confidenza al livello 1 - r.

Test per d₂² / d₁² con µ₁ e µ₂ ignoti

Consideriamo ora il test per il rapporto tra le varianze d₂² / d₁² sotto l'assunzione, più realistica che le medie µ₁ e µ₂ siano ignote. In questo caso, la statistica test è

F₀ = (S₁² / S₂²)a₀ dove a₀ > 0.

4. Mostra che se d₂² / d₁² = a₀ allora F₀ ha distribuzione F con n₁ - 1 gradi di libertà al numeratore e n₂ - 1 gradi di libertà al denominatore.

5. Mostra che i seguenti test hanno livello di significatività r:

1. Rifiutare H₀: d₂² / d₁² = a₀ contro H₁: d₂² / d₁² a₀ se e solo se F₀ > f_{n1 - 1, n2 - 1, 1 - r/2} o F₀ < f_{n1 - 1, n2 - 1, r/2}.
2. Rifiutare H₀: d₂² / d₁² a₀ contro H₁: d₂² / d₁² > a₀ se e solo se F₀ < f_{n1 - 1, n2 - 1, r}.
3. Rifiutare H₀: d₂² / d₁² a₀ contro H₁: d₂² / d₁² < a₀ se e solo se F₀ > f_{n1 - 1, n2 - 1, 1 - r}.

6. Per ciascuno dei test dell'esercizio 5, prova che non rifiutiamo H₀ a livello di significatività r se e solo se a₀ appartiene al corrispondente al intervallo di confidenza al livello 1 - r.

Test per µ₂ - µ₁ con d₁ e d₂ noti

Consideriamo ora il problema della stima della differenza tra medie µ₂ - µ₁ sotto l'assunzione che le deviazioni standard d₁ e d₂ siano note. Al solito, questa assunzione è spesso irrealistica. La statistica test è

Z₀ = [(M₂ - M₁) - a₀] / (d₁² / n₁ + d₂² / n₂)^1/2.

7. Mostra che Z₀ ha distribuzione normale con media a₀ - (µ₂ - µ₁) e varianza 1.

Al solito, indichiamo con z_p il quantile di ordine p della distribuzione normale standardizzata. Per dati valori di p, i valori z_p possono essere ricavti dall'applet quantile.

8. Mostra che i seguenti test hanno livello di significatività r:

1. Rifiutare H₀: µ₂ - µ₁ = a₀ contro H₁: µ₂ - µ₁ a₀ se e solo se Z₀ > z_{1 - r / 2} o Z₀ < -z_{1 - r / 2}.
2. Rifiutare H₀: µ₂ - µ₁ a₀ contro H₁: µ₂ - µ₁ > a₀ se e solo se Z₀ > z_{1 - r}.
3. Rifiutare H₀: µ₂ - µ₁ a₀ contro H₁: µ₂ - µ₁ < a₀ se e solo se Z₀ < -z_{1 - r}.

9. Per ciascuno dei test dell'esercizio 8, prova che non rifiutiamo H₀ a livello di significatività r se e solo se a₀ appartiene al corrispondente al intervallo di confidenza al livello 1 - r.

Test per µ₂ - µ₁ con d₁ e d₂ ignoti

Consideriamo infine i test per la differenza tra le medie sotto l'assunzione, più realistica, che le deviazioni standard d₁ e d₂ siano ignote ma uguali:

d₁ = d₂ = d.

Questa assunzione è ragionevole se la variabilità nella misurazione delle variabili non cambia quando si applicano diversi trattamenti alle unità della popolazione. Ricorda che la stima raggruppata della varianza comune d² è

S² = [(n₁ - 1)S₁² + (n₂ - 1)S₂²] / (n₁ + n₂ - 2).

La statistica test che utilizzeremo è

T₀ = [(M₂ - M₁) - a₀] / [S (1 / n₁ + 1 / n₂)^1/2].

10. Prova che, se µ₂ - µ₁ = a₀, allora T₀ ha distribuzione t con n = n₁ + n₂ - 2 gradi di libertà.

Al solito, per k > 0 e p appartenente a (0, 1) sia t_{k, p} il quantile di ordine p della distribuzione t con k gradi di libertà. Per dati valori di k e p, i valori t_{k, p} si ottengono dall'applet quantile.

11. Mostra che i seguenti test hanno livello di significatività r:

1. Rifiutare H₀: µ₂ - µ₁ = a₀ contro H₁: µ₂ - µ₁ a₀ se e solo se T₀ > t_{n, 1 - r / 2} o T₀ < -t_{n, 1 - r / 2}.
2. Rifiutare H₀: µ₂ - µ₁ a₀ contro H₁: µ₂ - µ₁ > a₀ se e solo se T₀ > t_{n, 1 - r}.
3. Rifiutare H₀: µ₂ - µ₁ a₀ contro H₁: µ₂ - µ₁ < a₀ se e solo se T₀ < -t_{n, 1 - r}.

12. Per ciascuno dei test dell'esercizio 11, prova che non rifiutiamo H₀ a livello di significatività r se e solo se a₀ appartiene al corrispondente al intervallo di confidenza al livello 1 - r.

Test nel modello normale bivariato

Consideriamo adesso un modello simile a quello normale a due campioni, ma molto più semplice. Supponiamo che

(X₁, Y₁), (X₂, Y₂), ..., (X_n, Y_n)

sia un campione casuale di dimensione n della distribuzione normale bivariata con

E(X) = µ₁, E(Y) = µ₂, var(X) = d₁², var(Y) = d₂², cov(X, Y) = d_1,2.

Quindi, invece che una coppia di campioni, abbiamo un campione di coppie. Questo tipo di modello si presenta di frequente negli esperimenti prima e dopo, in cui si registra una misura di interesse su un campione di n unità della popolazione prima e dopo un certo trattamento. Per esempio, possiamo registrare la pressione sanguigna su un campione di n pazienti prima e dopo la somministrazione di un certo farmaco.

13. Mostra che Y₁ - X₁, Y₂ - X₂, ..., Y_n - X_n è un campione casuale di dimensione n dalla distribuzione normale con media µ₂ - µ₁ e varianza d² = d₁² + d₂² - 2d_1,2.

Le differenze quindi seguono il modello normale a un campione che abbiamo già esaminato. In particolare, per i test per µ₂ - µ₁, controlla il paragrafo sul test per la media nel modello normale, per i test per d², quello sui test per la varianza nel modello normale.

Esercizi numerici

14. Si sta sviluppando un nuovo farmaco per ridurre un certo componente del sangue. Un campione di 36 pazienti riceve un placebo, mentre a 49 pazienti è somministrato il farmaco. Le statistiche (in mg) sono m₁ = 87, s₁ = 4, m₂ = 63, s₂ = 6. Esegui i seguenti test al livello di significatività del 10%:

1. H₀: d₁ = d₂ contro H₁: d₁ d₂.
2. H₀: µ₁ µ₂ contro H₁: µ₁ > µ₂ (assumendo d₁ = d₂).
3. Basandoti su (b), il farmaco ti sembra efficace?

15. Un'azienda afferma che un composto erboristico incrementa l'intelligenza. Si sottopone a 25 soggetti un test standard per quoziente di intelligenza prima e dopo aver assunto il composto. Le statistiche sono m₁ = 105, s₁ = 13, m₂ = 110, s₂ = 17, s₁₂ = 190. Al livello di significatività del 10%, credi a quanto afferma l'azienda?

16. Sui dati di Fisher sugli iris, considera la variabile lunghezza del petalo per i campioni di iris Versicolor e Virginica. Esegui i seguenti test al livello di significatività del 10%:

1. H₀: d₁ = d₂ contro H₁: d₁ d₂.
2. H₀: µ₁ µ₂ contro H₁: µ₁ > µ₂ (assumendo d₁ = d₂).

17. Un'industria ha due macchine che producono una barra circolare il cui diametro (in cm) è importante. Un campione di 100 barre prodotte dalla prima macchina ha media 10.3 e deviazione standard 1.2, metre un campione di 100 barre prodotte dalla seconda macchina ha media 9.8 e deviazione standard 1.6.

1. H₀: d₁ = d₂ contro H₁: d₁ d₂.
2. H₀: µ₁ = µ₂ contro H₁: µ₁ µ₂ (assumendo d₁ = d₂).

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