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Al solito, iniziamo con l'introdurre un esperimento casuale definito su un certo spazio campionario e con misura di probabilità P. Nel modello statistico di base, abbiamo una variabile casuale osservabile X che assume valori in S. In generale, X può avere struttura complessa. Ad esempio, se l'esperimento consiste nell'estrarre n unità da una popolazione e registrare le varie misure di interesse, allora
X = (X1, X2, ..., Xn)
dove Xi è il vettore di misurazioni per l'i-esima unità. Il caso più importante si ha quando X1, X2, ..., Xn, sono indipendenti e identicamente distribuite. Si ha allora un campione casuale di dimensione n dalla distribuzione comune.
Nelle sezioni precedenti, abbiamo introdotto dei test sui parametri basandoci sulle statistiche naturali. In altri casi, tuttavia, si può avere interesse a test non parametrici, o può non esistere una statistica naturale da cui muovere. Serve pertanto un metodo generale per costruire statistiche test. Inoltre, non sappiamo ancora se i test che abbiamo finora presentato sono i migliori, nel senso di massimizzare la potenza per l'insieme di ipotesi alternative. In questo e nel prossimo paragrafo, ci occuperemo di entrambi questi aspetti. Le funzioni di verosimiglianza, simili a quelle usate nella stima di massima verosimiglianza, avranno un ruolo chiave.
Supponiamo che X abbiamo due possibili distribuzioni. Le ipotesi semplici sono
H0: X ha densità f0; H1: X ha densità f1.
Il test che costruiremo è basato sulla seguente idea: se si osserva x, allora la condizione f1(x) > f0(x) testimonia a favore dell'ipotesi alternativa; la diseguaglianza opposta, invece, testimonia contro l'ipotesi alternativa. Poniamo
L(x) = f0(x) / f1(x) per x appartenente a S.
La funzione L è la funzione del rapporto di verosimiglianza per l'ipotesi e L(X) è la statistica rapporto di verosimiglianza. Riprendendo la nostra osservazione precedente, osserviamo che valori piccoli di L sono prove a favore di H1. Sembra quindi ragionevole che il rapporto di verosimiglianza possa essere una buona statistica test, e che si debbano considerare test del seguente tipo, con k costante:
Rifiutare H0 se e solo se L(X) k.
1.
Prova che il livello di significatività del test è
r = P[L(X) k | H0].
Al solito, possiamo cercare di costruire un test scegliendo k tale che r sia un valore desiderato. Se X è discreta, ciò è possibile solo se r è un valore della funzione di ripartizione di L(X).
Un caso particolare di particolare importanza si ha quando la funzione di densità f(x | a) di X dipende da un parametro a che può assumere due valori. Lo spazio parametrico è quindi A = {a0, a1}. In questo caso, le ipotesi sono
H0: a = a0 contro H1: a = a1,
e la funzione rapporto di verosimiglianza è L(x) = f(x | a0) / f(x | a1).
L'esercizio seguente introduce il lemma di Neyman-Pearson, e dimostra che il test introdotto poc'anzi è il più potente. Sia
R = {x 
S: L(x) k}.
2.
Usa la definizione di L e quella di R per mostrare che
B | H0) k P(X
B | H1) per B 
R.
B | H0) 
k P(X
B | H1) per B Rc. 3.
Prova che, se A R,
allora
P(X R | H1) - P(X
B | H1)
(1 / k) [P(X
R | H0)
- P(X
B | H0)].
Suggerimento: Scrivi R = (R 
B) 
(R
Bc) e B = (B R) (B Rc).
Usa l'additività della probabilità e il risultato dell'esercizio 1.
4.
Considera i test con regioni di rifiuto R e B. Usa l'esercizio 3 per mostrare che, se la dimensione di B non è maggiore di quella di R, allora il test con regione di rifiuto R è più potente:
P(X R | H1) P(X
B | H1).
Il lemma di Neyman-Pearson è un risultato molto gradevole, ed è più utile di quanto possa inizialmente sembrare. In molti casi importanti, lo stesso test più potente funzione su un insieme di alternative, ed è quindi uniformemente più potente su questo insieme. Considereremo qui di seguito alcuni di questi casi particolari.
Supponi che X = (X1, X2, ..., Xn) sia un campione casuale della distribuzione esponenziale con parametro di scala b. Le variabili casuali possono rappresentare le durate di un campione di apparecchiature. Vogliamo sottoporre a test la seguente ipotesi semplice, dove b0 e b1 > 0 sono valori dati e distinti.
H0: b = b0 contro H1: b = b1.
5.
Prova che la statistica rapporto di verosimiglianza è
L(X) = (b1 / b0)n exp[(1 / b1 - 1 / b0)Y] dove Y = X1 + X2 + ··· + Xn.
Ricorda che Y ha distribuzione gamma con parametro di forma n e parametro di scala b. Indicheremo il quantile di ordine r di questa distribuzione con yr(n, b).
6.
Supponi che b1 > b0. Prova che il test più potente a livello r è
Rifiutare H0 se e solo se Y > y1 - r(n, b0).
7.
Supponi che b1 < b0. Prova che il test più potente a livello r è
Rifiutare H0 se e solo se Y < yr(n, b0).
Osserva che il test degli esercizi 6 e 7 non dipende dal valore di b1. Questo fatto, accoppiato alla monotonicità della funzione di potenza, può essere utilizzato per mostrare che i test sono uniformemente più potenti per i test monodirezionali consueti.
8.
Prova che il test degli esercizi 6 e 7 è uniformemente più potente per le ipotesi
H0: b b0 contro H1: b > b0.
9.
Prova che il test dell'esercizio 7 è uniformemente più potente per le ipotesi
H0: b b0 contro H1: b < b0.
Supponi che I = (I1, I2, ..., In) sia un campione casuale della distribuzione di Bernoulli con parametro p. Il campione può rappresentare il risultato di un lancio di una moneta ripetuto n volte, dove p indica la probabilità di ottenere testa. Vogliamo sottoporre a test l'ipotesi semplice
H0: p = p0 contro H1: p = p1,
dove p0 e p1, appartenenti a (0, 1), sono valori distinti e dati. Si sa che la probabilità di ottenere testa è p0 o p1.
10.
Prova che la statistica rapporto di verosimiglianza è
L(I) = [(1 - p0) / (1 - p1)]n {p0(1 - p1) / [p1(1 - p0)]}X dove X = I1 + I2 + ··· + In.
Ricorda che X ha distribuzione binomiale con parametri n e p. Indicheremo il quantile di ordine r di questa distribuzione con xr(n, p); poiché però la distribuzione è discreta, sono ammissibili solo alcuni valori di r.
11.
Supponi che p1 > p0. Mostra che il test più potente a livello r è
Rifiutare H0 se e solo se X
x1 - r(n, p0).
12.
Supponi che p1 < p0. Mostra che il test più potente a livello r è
Rifiutare H0 se e solo se X
xr(n, p0).
Nota, anche in questo caso, che i test degli esercizi 11 e 12 non dipendono dal valore di p1. Questo fatto, accoppiato alla monotonicità della funzione di potenza, può essere utilizzato per mostrare che i test sono uniformemente più potenti per i test monodirezionali consueti.
13.
Prova che il test dell'esercizio 11 è uniformemente più potente per le ipotesi
H0: p p0 contro H1: p > p0.
14.
Prova che il test dell'esercizio 12 è uniformemente più potente per le ipotesi
H0: p p0 contro H1: p < p0.
I test monodirezionali che abbiamo introdotto per il modello normale, per µ con d nota, per µ con d ignota e per d con µ ignota sono tutti uniformemente più potenti. D'altra parte, nessuno dei test bidirezionali è uniformemente più potente.
Supponiamo che X = (X1, X2, ..., Xn) sia un campione casuale proveniente o da una distribuzione di Poisson a parametro 1 o dalla distribuzione geometrica a parametro 1/2. Osserva che entrambe queste distribuzioni hanno valori interi non negativi, e entrambe hanno media 1. Vogliamo quindi sottoporre a test
15.
Prova che la statistica rapporto di verosimiglianza è
L(X) = 2n e-n 2Y / U dove Y = X1 + X2 + ··· + Xn e U = X1! X2! ··· Xn!.
16.
Mostra che i test più potenti hanno la forma seguente, con d costante.
Rifiutare H0 se e solo se ln(2) Y - ln(U) d.
La statistica rapporto di verosimiglianza può essere generalizzata al caso delle ipotesi composte. Supponiamo, di nuovo, che la densità f(x | a) della variabile dei dati X dipenda da un parametro a, a valori in A. Considera le seguenti ipotesi, dove A0 è sottinsieme di A:
H0: a
A0 contro H1: a
A - A0.
Definiamo
L(x) = max{f(x | a): a
A0}
/ max{f(x | a): a
A} per x
appartenente a S.
La funzione L è la funzione rapporto di verosimiglianza e L(X) è la statistica rapporto di verosimiglianza. Seguendo lo stesso ragionamento fatto poc'anzi, valori piccoli di L(x) rappresentano prove a favore dell'ipotesi alternativa.