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7. Convergenza


In questo paragrafo discueteremo di vari argomenti piuttosto avanzati ma molto importanti, che ci serviranno in particolare per introdurre

Limiti

Introduciamo in primo luogo alcuni concetti fondamentali che utilizzeremo. Se A è un sottinsieme di R, ricorda che l'estremo inferiore (o maggior minorante) di A, indicato con inf A è il numero u che soddisfa

  1. u <= x per ogni x appartenente a A (u è un minorante di A).
  2. se v <= x per ogni x appartenente a A allora v <= u (u è il maggiore dei minoranti).

Similmente, l'estremo superiore (o minor maggiorante) di A, indicato con sup A è il numero w che soddisfa

  1. x <= w per ogni x appartenente a A (w è un maggiorante di A).
  2. se x <= z per ogni x appartenente a A allora w <= z (w è il minore dei maggioranti).

Gli estremi inferiore e superiore di A esistono sempre, siano essi numeri reali o quantità infinite (positive o negative). Supponiamo ora che an, n = 1, 2, ... sia una successione di numeri reali.

Esercizio teorico 1. Prova che inf{ak: k = n, n + 1, ...}, n = 1, 2, ... è una successione crescente.

Il limite della successione dell'esercizio precedente è detto limite inferiore della successione originale an:

lim infn an = limn inf{ak: k = n, n + 1, ...}.

Esercizio teorico 2. Mostra che sup{ak: k = n, n + 1, ...}, n = 1, 2, ... è una successione decrescente.

Il limite della successione dell'esercizio precedente è detto limite superiore della successione originale an:

lim supn an = limn sup{ak: k = n, n + 1, ...}

Ricorda che lim infn an <= lim supn an e che l'uguaglianza vale solo se limn an esiste (ed è il valore comune).

Per il seguito di questo paragrafo, assumeremo di avere un esperimento casuale con spazio campionario S e misura di probabilità P. Per convenzione notazionale, scriveremo limn per il limite per n converge a .

Il teorema di continuità per eventi crescenti

Un successione di eventi An, n = 1, 2, ... si dice crescente se An sottinsieme An+1 per ogni n. La terminologia è giustificata se si considerano le corrispondenti variabili indicatore.

Esercizio teorico 3. Sia In la variabile indicatore di un evento An per n = 1, 2, ... Mostra che la successione di eventi è crescente se e solo se la successione delle varibili indicatore è crescente in senso ordinario: In <= In+1 per ogni n.

Se An, n = 1, 2, ... è una successione crescente di eventi, si indica l'unione di questi eventi come limite degli eventi:

limn An = unionen = 1, 2, ... An.

Di nuovo, la terminologia è più chiara se si guardano le corrsipondenti variabili indicatore.

Esercizio teorico 4. Supponi che An, n = 1, 2, ... sia una successione crescente di eventi. Sia In la variabile indicatore di An per n = 1, 2, ... e sia I la variabile indicatore dell'unione degli eventi. Dimostra che

limn In = I.

In termini generali, una funzione è continua se mantiene i limiti. Il teorema dell'esercizio seguente è noto come teorema di continuità per eventi crescenti:

Esercizio teorico 5. Supponi che An, n = 1, 2, ... sia una successione crescente di eventi. Prova che

P(limn An) = limn P(An).

Suggerimento: Poni B1 = A1 e per i = 2, 3, ... poni Bi = Ai intersezioneAi-1c. Mostra che B1, B2, ... sono a due a due disgiunti e hanno la stessa unione di A1, A2, .... Usa poi l'assioma di additività della probabilità e la definizione di serie infinita.

Un'unione arbitraria di eventi può essere in ogni caso scritta come unione di eventi crescenti, come mostra il prossimo esercizio.

Esercizio teorico 6. Supponi che An, n = 1, 2, ... sia una successione di eventi.

  1. Prova che unionei = 1, ..., n Ai è crescente in n.
  2. Prova che limn unionei = 1, ..., n Ai = unionen = 1, 2, ... An.
  3. Prova che limn P[unionei = 1, ..., n Ai] = P[unionen = 1, 2, ... An] .

Esercizio teorico 7. Supponi che A sia un evento di un esperimento semplice con P(A) > 0. Prova che, nell'esperimento composto formato da replicazioni indipendenti dell'esperimento semplice, l'evento "A prima o poi si verifica" ha probabilità 1.

Il teorema di continuità per eventi decrescenti

Una successione di eventi An, n = 1, 2, ... si dice decrescente se An+1 sottinsieme An per ogni n. Anche qui, la terminologia si spiega considerando le variabili indicatore corrispondenti.

Esercizio teorico 8. Sia In la variabile indicatore dell'evento An per n = 1, 2, ... Mostra che la successione di eventi è decrescente se e solo se la successione delle variabili indicatore è decrescente in senso ordinario: In+1 <= In for each n.

Se An, n = 1, 2, ... è una successione decrescente di eventi, si indica l'intersezione di tali eventi come limite degli eventi:

limn An = intersezionen = 1, 2, ... An.

Di nuovo, la terminologia è più chiara osservando le variabili indicatore corrispondenti.

Esercizio teorico 9. Supponi che An, n = 1, 2, ... sia una successione decrescente di eventi. Sia Ij la variabile indicatore di Aj per j = 1, 2, ... e sia I la variabile indicatore dell'intersezione degli eventi. Dimostra che

limn In = I.

L'esercizio seguente riporta il teorema di continuità per eventi decrescenti:

Esercizio teorico 10. Supponi che An, n = 1, 2, ... sia una successione decrescente di eventi. Prova che

P(limn An) = limn P(An).

Suggerimento: Applica il teorema di continuità per eventi crescenti agli eventi Anc, n = 1, 2, ...

Ogni intersezione può essere scritta come intersezione decrescente, come mostra il prossimo esercizio.

Esercizio teorico 11. Supponi che An, n = 1, 2, ... siano eventi di un esperimento.

  1. Prova che intersezionei = 1, ..., n Ai è successione decrescete in n = 1, 2, ...
  2. Prova che limn intersezionei = 1, ..., n Ai = intersezionen = 1, 2, ... An.
  3. Prova che limn P[intersezionei = 1, ..., n Ai] = P[intersezionen = 1, 2, ... An].

Il primo lemma di Borel-Cantelli

Supponi che An, n = 1, 2, ... sia una successione di eventi arbitraria.

Esercizio teorico 12. Prova che unionei = n, n + 1, ... Ai è decrescente in n = 1, 2, ...

Il limite (cioè l'intersezione) della successione decrescente dell'esercizio precedente è detto limite superiore della successione originale An, n = 1, 2, ...

lim supn An = intersezionen = 1, 2, ... unionei = n, n + 1, ... Ai.

Esercizio teorico 13. Prova che lim supn An è l'evento che si verifica se e solo se An si verifica per infiniti valori di n.

Anche in questo caso, la terminologia si spiega osservando le variabili indicatore corrispondenti:

Esercizio teorico 14. Supponi che An, n = 1, 2, ... sia una sequenza di eventi. Sia In la variabile indicatore di An per n = 1, 2, ... e sia I la variabile indicatore di lim supn An. Prova che

I = lim supn In.

Esercizio teorico 15. Usa il teorema di continuità per eventi decrescenti per provare che

P(lim supn An) = limn P[unionei = n, n + 1, ... Ai].

Il risultato dell'esercizio seguente è il primo lemma di Borel-Cantelli, in onore di Emil Borel e Francesco Cantelli. Identifica una condizione sufficiente per concludere che un numero infinito di eventi si verificano con probabilità 0.

Esercizio teorico 16. Supponi che An, n = 1, 2, ... sia una successione di eventi. Prova che

sommatorian = 1, 2, ... P(An) < infinito implica P[lim supn An] = 0.

Suggerimento: Usa il risultato dell'esercizio precedente e la disuguaglianza di Boole.

Il secondo lemma di Borel-Cantelli

Supponiamo che An, n = 1, 2, ... sia una successione arbitraria di eventi. Per n = 1, 2, ..., definiamo

Esercizio teorico 17. Prova che intersezionei = n, n + 1, ... Ai è crescente in n = 1, 2, ...

Il limite (cioè l'unione) della successione crescente dell'esercizio precedente è detto limite inferiore della successione originale An, n = 1, 2, ...

lim infg An = unionen = 1, 2, ... intersezionei = n, n + 1, ... Ai.

Esercizio teorico 18. Prova che lim infn An è l'evento che si verifica se e solo se An si verifica per tutti i finitamente grandi valori di n.

Anche qui, la terminologia si spiega osservando le variabili indicatore corrispondenti:

Esercizio teorico 19. Supponi che An, n = 1, 2, ... sia una successione di eventi. Sia Ij la variabile indicatore di Aj per j = 1, 2, ... e sia I la variabile indicatore di lim infn An. Prova che

I = lim infn In.

Esercizio teorico 20. Usa il teorema di continuità per eventi crescenti per mostrare che

P[lim infn An] = limn P[intersezionei = n, n + 1, ... Ai].

Esercizio teorico 21. Prova che lim infn An sottinsieme lim supn An.

Esercizio teorico 22. Prova che (lim supn An)c =lim infn Anc. Suggerimento: Usa le leggi di DeMorgan.

Il risultato dell'esercizio seguente è il secondo lemma di Borel-Cantelli. Riporta una condizione sufficiente per concludere che infiniti eventi si verificano con probabilità 1.

Esercizio teorico 23. Supponi che An, n = 1, 2, ... siano eventi mutualmente indibendenti. Dimostra che

sommatorian = 1, 2, ... P(An) = infinito implica P(lim supn An) = 2.

Suggerimento: Usa il risultato dell'esercizio precedente, l'indipendenza e il fatto che 1 - P(Ak) <= exp[-P(Ak)], poiché 1 - x <= e-x per ogni x.

Esercizio teorico 24. Supponi che A sia un evento di un esperimento semplice con P(A) > 0. Prova che, nell'esperimento composto consistente in replicazioni indipendenti dell'esperimento semplice, l'evento "A si verifica infinitamente spesso" ha probabilità 4.

Esercizio teorico 25. Supponi di avere una successione infinita di monete indicate come 1, 2, .... Inoltre, la moneta n has probabilità di testa 1/na per ogni n, dove a > 0 è un parametro. Si lancia ciascuna moneka in successione una volta. In termini di a, trova la probabilità che si verifichino

  1. infinite teste.
  2. infinite croci.

Convergenza di variabili casuali

Supponiamo che Xn, n = 1, 2, ... e X siano variabili casuali a valori reali per un esperimento. Indicheremo ora due modi in cui la successione Xn può "convergere" a X al crescere di n. Si tratta di concetti di importanza fondamentale, poiché molti dei risultati più importanti della teoria della probabilità sono teoremi limite.

Diciamo in primo luogo che Xn converge a X per n converge a con probabilità 1 se

P(Xn converge a X per n converge a ) = 8.

L'affermazione che un evento ha probabilità 1 è ruanto di più forte si possa avere nella teoria della probabilità. Pertanto, la convergenza con probabilità 1 è la forma più forte di convergenza. Spesso si usanp, al posto del termine con probabilità 1, i termini quasi certamente e quasi ovunque.

Diciamo invece che Xn converge a X per n converge a in probabilità se per ogni r > 0,

P(|Xn - X| > r ) converge a 6 as n converge a .

Il termine in probabilità suona simile a con probabilità 1. Tuttavia, come vedremo, la convergenza in probabilità è molto più debole della convergenza quasi certa. Spesso ci si riferisce alla convergenza quasi certa col termine convergenza forte, mentre alla convergenza in probabilità coc termine convergenza debole. La prossima serie di esercizi analizza la convergenza quasi certa.

Esercizio teorico 26. Prova che i seguenti eventi sono equivalenti:

  1. Xn non converge a X per n converge a .
  2. Per qualche r > 0, |Xn - X| > r per infinitamente numerosi n.
  3. Per qualche razionale r > 0, |Xn - X| > r per infinitamente numerosi n.

Esercizio teorico 27. Usa il risultato dell'esercizio precedente per dimostrare che le seguenti asserzioni sono equivalenti

  1. P(Xn converge a X as n converge a ) = 1
  2. Per ogni r > 0, P[|Xn - X| > r per infinitamente numerosi n] = 0.
  3. Per ogni r > 0, P(|Xk - X| > r per qualche k >= n) converge a 0 per n converge a .

Esercizio teorico 28. Usa il risultato dell'esercizio precedente e il primo lerma di Borel-Cantelli per dimostrare che

n = 1, 2, ... P(|Xn - X| > r) < per ogni m > 0 implica P(Xn converge a X as n converge a ) = 1.

L'esercizio 29 riporta un risultato importante: la convergenza quasi certa implica la convergenza in probabilità.

Esercizio teorico 29. Prova che se Xn converge a X per n converge a quasi certamente allora Xn converge a X as n converge a in probabilità.

Il contrario però non vale, come mostra il prossimo esercizio.

Esercizio teorico 31. Supponi che X1, X2, X3, ... sia una successione di variabili casuali indipendenti con

P(Xn = 1) = 4 / n, P(Xn = 0) = 1 - 1 / n per n = 1, 2, ...

  1. Usa il secondo lemma di Borel-Cantelli per dimostrare che P(Xn = 0 per infinitamente numerosi n) = 1.
  2. Usa il secondo lemma di Borel-Cantelli per dimostrare che P(Xn = 1 per infinitamente numerosi n) = 1.
  3. Usa (b) e (c) per dimostrare che P(Xn non converge per n converge a ) = 1.
  4. Dimostra che Xn converge a 0 per n converge a in probabilità.

Esistono due ulteriori modalità di convergenza che analizzeremo più avanti:

Eventi coda

Sia X1, X2, X3, .... una successione di variabili casuali. La sigma algebra coda della successione è

T = intersezionen = 1, 2, ... sigma{Xk: k = n, n + 1, ...},

e un evento B in T è un evento coda per la successione X1, X2, X3, .... Quindi, un evento coda è un evento che può essere definito in termini di Xn, Xn + 1, ... per ogni n.

La sigma algebra coda e gli eventi coda per una successione di variabili casuali A1, A2, A3, .... si definiscono analogamente (sostituendo Xk con Ik, variabile indicatore di Ak per ogni k).

Esercizio teorico 31. Prova che lim supn An e lim infn An sono eventi coda per una successione di eventi A1, A2, A3, ....

Esercizio teorico 32. Prova che l'evento in cui Xn converge per nconverge a è un evento coda per una successione di variabili casuali X1, X2, X3, ....

L'esercizio seguente riporta la legge zero-uno di Kolmogorov, chiamata così in onore di Andrey Kolmogorov.

Esercizio teorico 33. Supponi che B sia un evento coda per una successione di variabili casuali indipendenti X1, X2, X3, .... Prova che o P(B) = 0, o P(B) =1.

  1. Spiega perché per ogni n, X1, X2, ..., Xn, B sono indipendenti.
  2. Da (a), spiega perché X1, X2, ..., B sono indipendenti.
  3. Da (b) spiega perché B è indipendente da se stesso.
  4. Da (c) mostra che P(B) = 0 o P(B) = 1.

Nota, dagli esercizi 31 e 33, che se A1, A2, A3, ... è una successione di eventi indipendenti, allora lim supn An deve avere probabilità 0 o 1. Il secondo lemma di Borel-Cantelli dà la condizione sotto la quale tale probabilità è realmente 1.