8. Note conclusive


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Risposte agli esercizi del paragrafo 2

Risposta 2.13.

  1. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}2 .
  2. A = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)}
  3. B = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}
  4. A unione B = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}
  5. A intersezione B = {(1, 6)}
  6. Ac intersezione Bc = (Aunione B)c = {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}

Risposta 2.15. Indica i nomi delle carte con 1 (asso), 2-10, 11 (jack), 12 (regina), 13 (re) e i semi con 0 (fiori), 1 (quadri), 2 (cuori), 3 (picche).

  1. S = {1, 2, ..., 13} × {0, 1, 2, 3}.
  2. Q = {(12, 0), (12, 1), (12, 2), (12, 3)}
  3. H = {1, 2, ..., 13} × {2}
  4. Q unione H = {(y, z) in S: y = 12 o z = 2}
  5. Q intersezione H = {(12, 2}}
  6. Q intersezione Hc = {(12, 0), (12, 1}, (12, 3)}

Risposta 2.17.

  1. S = [-1/2, 1/2]2 .
  2. A = [-1/2 + r, 1/2 - r]2.
  3. Ac = {(x, y) in S: x < -1/2 + r o x > 1/2 - r o y < -1/2 + r o y > 1/2 + r}

Risposta 2.19. S = {1, 2, 3, ...}

Risposta 2.20.

  1. S = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1), (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}
  2. A = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}

Risposta 2.21. Sia 1 testa e 0 croce.

  1. S = {(i1, i2, ..., in): n in {1, 2, 3, 4, 5, 6}, ij in {0, 1} j = 1, ..., n}
  2. A = {11, 011, 101, 110, 0011, 0101, 0110, 1001, 1010, 1100,
    00011, 00101, 00110, 01001, 01010, 01100, 10001, 10010, 10100, 11000
    000011, 000101, 000110, 001001, 001010, 001100, 010001, 010010, 010100, 011000,
    100001, 100010, 100100, 101000, 110000}

Risposta 2.23. Sia 1 testa e 0 croce.

  1. S = {0, 1} × {1, 2, 3, 4, 5, 6}
  2. A = {0, 1} × {4, 5, 6}

Risposta 2.25. Per il sesso, sia 0 femmina e 1 maschio.

S = ({18, 19, ...} × {0, 1} × {1, 2, 3})100.

Risposta 2.26. Per il sesso, sia 0 femmina e 1 maschio. Per la specie, sia 1 la tredecula, 2 la tredecim e 3 la tredecassini.

  1. S = (0, infinito)4 × {0, 1} × {1, 2, 3}
  2. F = {(x1, x2, x3, x4, y, z) in S: y = 0}
  3. S104 dove S è dato in (a).

Risposta 2.27.

  1. S = {0, 1, 2, 3, ...}6 × (0, infinito).
  2. A = {(n1, n2, n3, n4, n5, n6, w) in S: n1 + n2 + n3 + n4 + n5 + n6 > 57}.
  3. S30 dove S è dato da (a).

Risposta 2.28.

  1. S = {0, 1}5.
  2. A = {(x1, x2, x3, x4, x5) in S: x1 + x2 + x3 + x4 + x5 <= 3}

Risposta 2.29.

  1. S = (0, infinito)2.
  2. A = (1000, infinito) × (0, infinito).
  3. B = {(x, y) in S: y > x}.
  4. A B = {(x, y) in S: x > 1000 or y > x}
  5. A intersezione B = {(x, y) in S: x > 1000 and y > x}
  6. A intersezione Bc = {(x, y) in S: x > 1000 and y <= x}

Risposte agli esercizi del paragrafo 3

Risposta 3.16.

  1. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}2.
  2. Y(x1, x2) = x1 + x2 for (x1, x2) in S.
  3. U(x1, x2) = min{x1, x2} for (x1, x2) in S.
  4. V(x1, x2) = max{x1, x2} for (x1, x2) in S.
  5. {X1 < 3, X2 > 4} = {(1, 5), (2, 5), (1, 6), (2, 6)}
  6. {Y = 7} = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}
  7. {U = V} = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}

Risposta 3.18. Denote the denominations by 1 (ace), 2-10, 11 (jack), 12 (queen), 13 (king) and the suits by 0 (clubs), 1 (diamonds), 2 (hearts), 3 (spades).

  1. S = {1, 2, ..., 13} × {0, 1, 2, 3}.
  2. U(x, y) = x if x < 10, U(x, y) = 10 otherwise.
  3. {U = 10} = {10, 11, 12, 13) × {0, 1, 2, 3}.

Risposta 3.20.

  1. S = [-1/2, 1/2]2 .
  2. Z(x, y) = (x2 + y2)1/2 for (x, y) in S.
  3. {X < Y} = {(x, y) in S: x < y}.
  4. {Z < 1/2} = {(x, y) in S: x2 + y2 < 1/4}

Risposta 3.22.

  1. S = {0, 1}3.
  2. X(i1, i2, i3) = i1 + i2 + i3 for (i1, i2, i3) in S.
  3. {X > 1} = {110, 101, 011, 111}

Risposta 3.23.

  1. S = (0, infinito)2.
  2. {X <1000} = {(x, y) in S: x < 1000}
  3. {X < Y} = {(x, y) in S: x < y}
  4. {X + Y > 2000} = {(x, y) in S: x + y > 2000}

Risposta 3.24.

  1. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}3.
  2. W(x1, x2, x3) = #{i: xi = 6} - 1.

Risposta 3.27. Sia 1 testa e 0 croce.

  1. S = {(i1, i2, ..., in): n in {1, 2, 3, 4, 5, 6}, ij in {0, 1} j = 1, ..., n}
  2. N(i1, i2, ..., in) = n for (i1, i2, ..., in) in S.
  3. X(i1, i2, ..., in) = i1 + ··· + in for (i1, i2, ..., in) in S.

Risposte agli esercizi del paragrafo 4

Risposta 4.20.

  1. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}2.
  2. Se i dadi sono equilibrati, ciascun esito in S deve avere la stessa probabilità.
  3. P(A) = 1 / 3
  4. P(B) = 5 / 36
  5. P(A intersezione B) = 2 / 36.,
  6. P(A unione B) = 5 / 12.
  7. P(B intersezione Ac) = 1 / 12.

Risposta 4.22. Sia D = {1, 2, ..., 13} × {0, 1, 2, 3} il mazzo di carte, con le denominazioni 1 (asso), 2-10, 11 (jack), 12 (regina), 13 (re) e i semi sono 0 (fiori), 1 (quadri), 2 (cuori), 3 (picche). 

  1. S = {(x1, x2): x1, x2 in D, x1 e x2 distinti} (2652 esiti).
  2. Poiché il mazzo è ben mischiato, ciascun esito di S deve avere la stessa probabilità.
  3. P(H1) = 1 / 4.
  4. P(H1 intersezione H2) = 1 / 17.
  5. P(H1c intersezione H2) = 13 / 68.
  6. P(H2) = 1 / 4.
  7. P(H1 unione H2) = 15 / 34.

Risposta 4.24.

  1. S = [-1/2, 1/2]2 .
  2. Poiché la moneta è lanciata "casualmente," nessuna regione di S dev'essere preferita a un'altra.
  3. P(A) = (1 - 2r)2.
  4. P(Ac) = 1 - (1 - 2r)2.

Risposta 4.26.

  1. A si veriica, ma non B. P(A intersezione Bc) = 7 / 30.
  2. A o B si verifica. P(A unione B) = 29 / 60.
  3. Uno degli eventi non si verifica. P[(A intersezione B)c] = 9 / 10.
  4. Nessun evento si verifica. P[(A unione B)c] = 31 / 60.
  5. Si verifica A o B non si verifica. P(A unione Bc) = 17 / 20.

Risposta 4.27.

  1. P(A unione B unione C) = 0.67.
  2. P[(A unione B unione C)c] = 0.33.
  3. P[(A intersezione Bc intersezione Cc) unione (Ac intersezione B intersezione Cc) unione (Ac intersezione Bc intersezione C)] = 0.45
  4. P[(A intersezione B intersezione Cc) unione (A intersezione Bc intersezione C) unione (Ac intersezione B intersezione C)] = 0.21

Risposta 4.28.

  1. S = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1), (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}
  2. Poiché i dadi sono equilibrati, ciascun esito di S dev'essere ugualmente probabile.
  3. P(A) = 2 / 5.

Risposta 4.29.

  1. S = {0, 1}3.
  2. Poiché le monete sono bilanciate, ciascun esito di S dev'essere ugualmente probabile.
  3. P(A) = 1 / 2.
  4. P(B) = 3 / 8.
  5. P(A intersezione B) = 1 / 4.
  6. P(A unione B) = 5 / 8
  7. P(Ac unione Bc) = 3 / 4.
  8. P(Ac intersezione Bc) = 3 / 8
  9. P(A unione Bc) = 7 / 8.

Risposta 4.30. Supponi che le palline siano numerate da 1 a 12, con le palline da 1 a 5 rosse, da 6 a 9 verdi, da 10 a 12 blu.

  1. S = {{x, y, z}: x, y, z in {1, 2, ..., 12}, x, y, z distinti} (220 esiti)
  2. P(A) = 3 / 44.
  3. P(B) = 3 / 11.

Risposta 4.31. Supponi che le palline siano numerate da 1 a 12, con le palline da 1 a 5 rosse, da 6 a 9 verdi, da 10 a 12 blu.

  1. S = {1, 2, ..., 12}3 (1728 esiti).
  2. P(A) = 1 / 8.
  3. P(B) = 5 / 24.

Risposta 4.33.

  1. P(R) = 13 / 30.
  2. P(T) = 19 / 30.
  3. P(W) = 9 / 30.
  4. P(R intersezione T) = 9 / 30.
  5. P(T intersezione Wc) = 11 / 30.

Risposta 4.34.

  1. P(W) = 37 / 104.
  2. P(F) = 59 / 104.
  3. P(T) = 44 / 104.
  4. P(W intersezione F) = 34 / 104.
  5. P(W unione T unione F) = 85 / 104.

Risposte agli esercizi del paragrafo 5

Risposta 5.5.

  1. P(A | B) = 2 / 5.
  2. P(B | A) = 3 / 10.
  3. P(Ac | B) = 3 / 5.
  4. P(Bc | A) = 7 / 10.
  5. P(Ac | Bc) = 31 / 45.

Risposta 5.6.

  1. P(X1 = 3 | Y = 6) = 1 / 5, P(X1 = 3) = 1 / 6, positivamente correlati.
  2. P(X1 = 3 | Y = 7) = 1 / 6, P(X1 = 3) = 1 / 6, indipendenti.
  3. P(X1 < 3 | Y > 7) = 1 / 15, P(X1 < 3) = 1 / 3, negativamente correlati.

Risposta 5.8.

  1. P(Q1) = 1 / 13, P(H1) = 1 / 4, P(Q1 | H1) = 1 / 13, P(H1 | Q1) = 1 / 4, indipendenti.
  2. P(Q1) = 1 / 13, P(Q2) = 1 / 13, P(Q1 | Q2) = 3 / 51, P(Q2 | Q1) = 3 / 51, negativamente correlati.
  3. P(Q2) = 1 / 13, P(H2) = 1 / 4, P(Q2 | H2) = 1 / 13, P(H2 | Q2) = 1 / 4, indipendenti.
  4. P(Q1) = 1 / 13, P(H2) = 1 / 4, P(Q1 | H2) = 1 / 13, P(H2 | Q1) = 1 / 4, indipendenti.

Risposta 5.10. Sia Hi l'evento in cui la carta i-esima è di cuori e Si l'evento in cui la carta i-esima è di picche.

  1. P(H1 intersezione H2 intersezione H3) = 11 / 850.
  2. P(H1 intersezione H2 intersezione S3) = 13 / 850.
  3. P(H1 intersezione S2 intersezione H3) = 13 / 850.

Risposta 5.12. Per un soggetto scelto a caso dalla popolazione, sia S l'evento in cui il soggetto fuma e D l'evento in cui il soggetto è ammalato.

  1. P(D intersezione S) = 0.036.
  2. P(S | D) = 0.45
  3. S e D sono positivamente correlati.

Risposta 5.13.

  1. P(A intersezione Bc)| C) = 1 / 4.
  2. P(A unione B | C) = 7 / 12.
  3. P(Ac intersezione Bc | C) = 5 / 12.

Risposta 5.14.

  1. P(A intersezione B) = 1 / 4.
  2. P(A unione B) = 7 / 12.
  3. P(B unione Ac) = 3 / 4.
  4. P(B | A) = 1 / 2.

Risposta 5.15. Sia R il numero di pastiglie rosse e W il peso.

P(R >= 10 | W >= 48) = 10 / 23.

Risposta 5.16. Sia M l'evento in cui la cicala è maschio, U l'evento in cui la cicala è treducla, e W il peso corporeo.

  1. P(W >= 0.25 | M) = 2 / 45.
  2. P(W >= 0.25 | U) = 7 / 44.

Risposta 5.17. La distribuzione condizionata di (X1, X2) dato Y = 7 è uniforme su {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}.

Risposta 5.18.

  1. P(X > 30) = 2 / 3.
  2. P(X > 45 | X > 30) = 1 / 2.
  3. Dato X > 30, X è uniformemente distribuito su (30, 60).

Risposta 5.19.

  1. P(Y > 0 | X < Y) = 3 / 4.
  2. Dato (X, Y) in [-1/2 + r, 1/2 - r]2, (X, Y) è uniformemente distribuito su [-1/2 + r, 1/2 - r]2.

Risposta 5.23. Sia X il punteggio dei dadi e H l'evento in cui tutti i lanci sono testa.

  1. P(H) = 21 / 128.
  2. P(X = i | H) = (64 / 63)(1 / 2i) for i = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Risposta 5.25. Sia U la probabilità di testa per la moneta estratta a caso, e H l'evento in cui esce testa.

  1. P(H) = 41 / 72
  2. P(U = 1 / 2 | H) = 15 / 41, P(U = 1 / 3 | H) = 8 / 41, P(U = 1 | H) = 18 / 41

Risposta 5.26. Sia X il punteggio del dado H l'evento in cui esce testa.

  1. P(X = i) = 5 / 24 per i = 1, 6; P(X = i) = 7 / 48 per i = 2, 3, 4, 5.
  2. P(H | X = 4) = 3 / 7, P(T | X = 4) = 4 / 7.

Risposta 5.28. Sia X la linea di produzione dell'unità selezionata, e D l'evento in cui l'unità è difettosa.

  1. P(D) = 0.037.
  2. P(X = 1 | D) = 0.541, P(X = 2 | D) = 0.405, P(X = 3 | D) = 0.054

Risposta 5.29.

  1. 3.75% della popolazione è daltonica
  2. 93.3% dei daltonici sono maschi.

Risposta 5.30. Sia Ri l'evento in cui la pallina i-esima è rossa e Gi l'evento in cui la pallina i-esima è verde.

  1. P(R1 intersezione R2 intersezione G3) = 4 / 35.
  2. P(R2) = 3 / 5.
  3. P(R1 | R2) = 2 / 3.

Risposta 5.31. Sia G l'evento in cui la pallina è verde e U1 l'evento in cui si seleziona l'urna 1.

  1. P(G) = 9 / 20.
  2. P(U1 | G) = 2 / 3.

Risposta 5.32. Sia G1 l'evento in cui la pallina dell'urna 1 è verde e G2 l'evento in cui la pallina dell'urna 2 è verde.

  1. P(G2) = 9 / 25.
  2. P(G1 | G2) = 2 / 3.

Risposte agli esercizi del paragrafo 6

Risposta 6.1.

  1. P(Q1) = P(Q2) = 1 / 13, P(Q2 | Q1) = P(Q1 | Q2) = 1 / 17. Q1, Q2 sono negativamente correlati.
  2. P(H1) = P(H2) = 1 / 4, P(H2 | H1) = P(H1 | H2) = 4 / 17. H1, H2 sono negativamente correlati.
  3. P(Q1) = P(Q1 | H1) = 1 / 13, P(H1) = P(H1 | Q1) = 1 / 4. Q1, H1 sono indipendenti.
  4. P(Q2) = P(Q2 | H2) = 1 / 13, P(H2) = P(H2 | Q2) = 1 / 4. Q2, H2 sono indipendenti.
  5. P(Q1) = P(Q1 | H2) = 1 / 13, P(H2) = P(H2 | Q1) = 1 / 4. Q1, H2 sono indipendenti.
  6. P(Q2) = P(Q2 | H1) = 1 / 13, P(H1) = P(H1 | Q2) = 1 / 4. Q2, H1 sono indipendenti.

Risposta 6.5. Devono esserci 9 dirigenti donna.

Risposta 6.11. A, B, C sono indipendenti se e solo se

  1. P(A intersezione B) = P(A)P(B).
  2. P(A intersezione C) = P(A)P(C).
  3. P(B intersezione C) = P(B)P(C).
  4. P(A intersezione B intersezione C) = P(A)P(B)P(C).

Risposta 6.12. A, B, C, D sono indipendenti se e solo se

  1. P(A intersezione B) = P(A)P(B).
  2. P(A intersezione C) = P(A)P(C).
  3. P(A intersezione D) = P(A)P(D).
  4. P(B intersezione C) = P(B)P(C).
  5. P(B intersezione D) = P(B)P(D).
  6. P(C intersezione D) = P(C)P(D).
  7. P(A intersezione B intersezione C) = P(A)P(B)P(C).
  8. P(A intersezione B intersezione D) = P(A)P(B)P(D).
  9. P(A intersezione C intersezione D) = P(A)P(C)P(D).
  10. P(B intersezione C intersezione D) = P(B)P(C)P(D).
  11. P(A intersezione B intersezione C intersezione D) = P(A)P(B)P(C)P(D).

Risposta 6.13.

  1. P(A unione B unione C) = 0.93.
  2. P(Ac intersezione Bc intersezione Cc) = 0.07.
  3. P[(A intersezione Bc intersezione Cc) unione (Ac intersezione B intersezione Cc) unione (Ac intersezione Bc intersezione C)] = 0.220.
  4. P[(A intersezione B intersezione Cc) unione (A intersezione Bc intersezione C) unione (Ac intersezione B intersezione C)] = 0.430.

Risposta 6.17.

  1. P[(A intersection B) unione C] = 3 / 8.
  2. P[A unione Bc unione C] = 7 / 8.
  3. P[(Ac intersection Bc) unione Cc] = 5 / 6.

Risposta 6.18. 1/16

Risposta 6.21. Sia A l'evento in cui esce almeno un sei.

P(A) = 1 - (5 / 6)5 ~ 0.5981.

Risposta 6.22. Sia A l'evento in cui esce almeno un doppio sei.

P(A) = 1 - (35 / 36)10 ~ 0.2455

Risposta 6.23.

  1. P(X = 0) = 32 / 243
  2. P(X = 1) = 80 / 243
  3. P(X = 2) = 80 / 243
  4. P(X = 3) = 40 / 243
  5. P(X = 4) = 10 / 243
  6. P(X = 5) = 1 / 243

Risposta 6.27.

  1. P(X < Y) = 11 / 12.
  2. P(X > 20, Y > 20) = 8 / 27.

Risposta 6.32. Sia F in cui esce un punteggio somma di 4 prima di un punteggio somma di 7.

P(F) = 1 / 3.

Risposta 6.37.

  1. R = 0.504
  2. R = 0.902
  3. R = 0.994

Risposta 6.38.

R = (p1 + p2 - p1 p2)(p4 + p5 - p4 p5)p3 + (p1 p4 + p2 p5 - p1 p2 p4 p5)(1 - p3)

Risposta 6.39. Sia L l'evento in cui la situazione è di basso stress e W l'evento in cui il sistema funziona

  1. P(W) = 0.9917
  2. P(L | W) = 0.504

Risposta 6.42. Sia A l'evento in cui la donna è incinta e Ti l'evento in cui il test i-esimo è positivo.

P(A | T1 intersezione T2c intersezione T3) = 0.834.

Risposta 6.43.

  1. sensitività 1 - (1 - a)3, specificità b3.
  2. sensitività 3a2(1 - a) + a3, specificità b3 + 3b2(1 - b).
  3. sensitività a3, specificità 1 - (1 - b)3.

Risposta 6.44. Sia C l'evento in cui l'imputato è condannato e G l'evento in cui l'imputato è colpevole.

  1. P(C) = 0.51458
  2. P(G | C) = 0.99996

Risposta 6.55. 11 / 12.

Risposte agli esercizi del paragrafo 7

Risposta 7.25. Sia Hn l'evento in cui il lancio n-esimo risulta testa, e Tn l'evento in cui il lancio n-esimo risulta croce.

  1. P(lim supn Hn) = 1, P(lim supn Tn) = 1 se 0 < a 1.
  2. P(lim supn Hn) = 0, P(lim supn Tn) = 1 se a > 0.