8. Note conclusive
2.13.
- S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}2 .
- A = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)}
- B = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}
- A B = {(1,
1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2),
(6, 1)}
- A B
= {(1, 6)}
- Ac
Bc = (A
B)c = {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 6), (3,
1), (3, 2), (3, 3), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 4), (4, 5), (4, 6),
(5, 1), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6,
6)}
2.15. Indica i nomi delle carte con 1 (asso), 2-10, 11 (jack), 12 (regina), 13 (re) e i semi con 0 (fiori), 1 (quadri), 2 (cuori), 3 (picche).
- S = {1, 2, ..., 13} × {0, 1, 2, 3}.
- Q = {(12, 0), (12, 1), (12, 2), (12, 3)}
- H = {1, 2, ..., 13} × {2}
- Q H = {(y,
z) S: y = 12
o z = 2}
- Q H
= {(12, 2}}
- Q Hc
= {(12, 0), (12, 1}, (12, 3)}
2.17.
- S = [-1/2, 1/2]2 .
- A = [-1/2 + r, 1/2 - r]2.
- Ac = {(x, y)
S: x < -1/2 + r o x > 1/2 - r o y
< -1/2 + r o y > 1/2 + r}
2.19. S
= {1, 2, 3, ...}
2.20.
- S = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1), (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4,
3), (5, 2), (6, 1)}
- A = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}
2.21. Sia 1 testa e 0 croce.
- S = {(i1, i2, ..., in):
n {1, 2, 3, 4, 5, 6}, ij
{0, 1} j
= 1, ..., n}
- A = {11, 011, 101, 110, 0011, 0101, 0110, 1001, 1010, 1100,
00011, 00101, 00110, 01001, 01010, 01100, 10001, 10010, 10100, 11000
000011, 000101, 000110, 001001, 001010, 001100, 010001, 010010, 010100,
011000,
100001, 100010, 100100, 101000, 110000}
2.23. Sia 1 testa e 0 croce.
- S = {0, 1} × {1, 2, 3, 4, 5, 6}
- A = {0, 1} × {4, 5, 6}
2.25. Per il sesso, sia 0 femmina e 1 maschio.
S = ({18, 19, ...} × {0, 1} × {1, 2, 3})100.
2.26.
Per il sesso, sia 0 femmina e 1 maschio. Per la specie, sia 1 la tredecula, 2 la tredecim e 3 la tredecassini.
- S = (0, )4
× {0, 1} × {1, 2, 3}
- F = {(x1, x2, x3,
x4, y, z)
S: y = 0}
- S104 dove S è dato in (a).
2.27.
- S = {0, 1, 2, 3, ...}6 × (0, ).
- A = {(n1, n2, n3,
n4, n5, n6, w)
S: n1 + n2 + n3
+ n4 + n5 + n6 >
57}.
- S30 dove S è dato da (a).
2.28.
- S = {0, 1}5.
- A = {(x1, x2, x3,
x4, x5)
S: x1 + x2 + x3
+ x4 + x5
3}
2.29.
- S = (0, )2.
- A = (1000, )
× (0, ).
- B = {(x, y)
S: y > x}.
- A B = {(x, y)
S: x > 1000 or y > x}
- A B
= {(x, y) S: x
> 1000 and y > x}
- A Bc
= {(x, y) S: x
> 1000 and y x}
3.16.
- S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}2.
- Y(x1, x2) = x1
+ x2 for (x1, x2)
S.
- U(x1, x2) = min{x1,
x2} for (x1, x2)
S.
- V(x1, x2) = max{x1,
x2} for (x1, x2)
S.
- {X1 < 3, X2 > 4} = {(1,
5), (2, 5), (1, 6), (2, 6)}
- {Y = 7} = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}
- {U = V} = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}
3.18. Denote the
denominations by 1 (ace), 2-10, 11 (jack), 12 (queen), 13 (king) and the suits
by 0 (clubs), 1 (diamonds), 2 (hearts), 3 (spades).
- S = {1, 2, ..., 13} × {0, 1, 2, 3}.
- U(x, y) = x if x < 10, U(x,
y) = 10 otherwise.
- {U = 10} = {10, 11, 12, 13) × {0, 1, 2, 3}.
3.20.
- S = [-1/2, 1/2]2 .
- Z(x, y) = (x2 + y2)1/2
for (x, y)
S.
- {X < Y} = {(x, y)
S: x < y}.
- {Z < 1/2} = {(x, y)
S: x2 + y2 < 1/4}
3.22.
- S = {0, 1}3.
- X(i1, i2, i3)
= i1 + i2 + i3 for (i1,
i2, i3)
S.
- {X > 1} = {110, 101, 011, 111}
3.23.
- S = (0, )2.
- {X <1000} = {(x, y)
S: x < 1000}
- {X < Y} = {(x, y)
S: x < y}
- {X + Y > 2000} = {(x, y)
S: x + y > 2000}
3.24.
- S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}3.
- W(x1, x2, x3)
= #{i: xi = 6} - 1.
3.27. Sia 1 testa e 0 croce.
- S = {(i1, i2, ..., in):
n {1, 2, 3, 4, 5, 6}, ij
{0, 1} j
= 1, ..., n}
- N(i1, i2, ..., in)
= n for (i1, i2, ..., in)
S.
- X(i1, i2, ..., in)
= i1 + ··· + in for (i1,
i2, ..., in)
S.
4.20.
- S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}2.
- Se i dadi sono equilibrati, ciascun esito in S deve avere la stessa probabilità.
- P(A) = 1 / 3
- P(B) = 5 / 36
- P(A B) =
2 / 36.,
- P(A B)
= 5 / 12.
- P(B Ac)
= 1 / 12.
4.22. Sia D
= {1, 2, ..., 13} × {0, 1, 2, 3} il mazzo di carte, con le denominazioni 1 (asso), 2-10, 11 (jack), 12 (regina), 13 (re) e i semi sono 0 (fiori), 1 (quadri), 2 (cuori), 3 (picche).
- S = {(x1, x2): x1,
x2 in D, x1 e x2
distinti} (2652 esiti).
- Poiché il mazzo è ben mischiato, ciascun esito di S deve avere la stessa probabilità.
- P(H1) = 1 / 4.
- P(H1
H2) = 1 / 17.
- P(H1c
H2) = 13 / 68.
- P(H2) = 1 / 4.
- P(H1
H2) = 15 / 34.
4.24.
- S = [-1/2, 1/2]2 .
- Poiché la moneta è lanciata "casualmente," nessuna regione di S
dev'essere preferita a un'altra.
- P(A) = (1 - 2r)2.
- P(Ac) = 1 - (1 - 2r)2.
4.26.
- A si veriica, ma non B. P(A
Bc) = 7 / 30.
- A o B si verifica. P(A
B) = 29 / 60.
- Uno degli eventi non si verifica. P[(A
B)c] = 9 / 10.
- Nessun evento si verifica. P[(A
B)c] = 31 / 60.
- Si verifica A o B non si verifica. P(A
Bc) = 17 /
20.
4.27.
- P(A B
C) = 0.67.
- P[(A B
C)c]
= 0.33.
- P[(A Bc
Cc)
(Ac B
Cc)
(Ac Bc
C)] = 0.45
- P[(A B
Cc)
(A Bc
C)
(Ac B
C)] = 0.21
4.28.
- S = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1), (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4,
3), (5, 2), (6, 1)}
- Poiché i dadi sono equilibrati, ciascun esito di S dev'essere ugualmente probabile.
- P(A) = 2 / 5.
4.29.
- S = {0, 1}3.
- Poiché le monete sono bilanciate, ciascun esito di S dev'essere ugualmente probabile.
- P(A) = 1 / 2.
- P(B) = 3 / 8.
- P(A B)
= 1 / 4.
- P(A B)
= 5 / 8
- P(Ac
Bc) = 3 / 4.
- P(Ac
Bc) = 3 / 8
- P(A
Bc) = 7 / 8.
4.30. Supponi che le palline siano numerate da 1 a 12, con le palline da 1 a 5 rosse, da 6 a 9 verdi, da 10 a 12 blu.
- S = {{x, y, z}: x, y, z
{1, 2, ..., 12}, x, y, z distinti} (220 esiti)
- P(A) = 3 / 44.
- P(B) = 3 / 11.
4.31. Supponi che le palline siano numerate da 1 a 12, con le palline da 1 a 5 rosse, da 6 a 9 verdi, da 10 a 12 blu.
- S = {1, 2, ..., 12}3 (1728 esiti).
- P(A) = 1 / 8.
- P(B) = 5 / 24.
4.33.
- P(R) = 13 / 30.
- P(T) = 19 / 30.
- P(W) = 9 / 30.
- P(R T)
= 9 / 30.
- P(T
Wc) = 11 / 30.
4.34.
- P(W) = 37 / 104.
- P(F) = 59 / 104.
- P(T) = 44 / 104.
- P(W
F) = 34 / 104.
- P(W
T
F) = 85 / 104.
5.5.
- P(A | B) = 2 / 5.
- P(B | A) = 3 / 10.
- P(Ac | B) = 3 / 5.
- P(Bc | A) = 7 / 10.
- P(Ac | Bc) = 31 / 45.
5.6.
- P(X1 = 3 | Y = 6) = 1 / 5, P(X1
= 3) = 1 / 6, positivamente correlati.
- P(X1 = 3 | Y = 7) = 1 / 6, P(X1
= 3) = 1 / 6, indipendenti.
- P(X1 < 3 | Y > 7) = 1 / 15, P(X1
< 3) = 1 / 3, negativamente correlati.
5.8.
- P(Q1) = 1 / 13, P(H1) =
1 / 4, P(Q1 | H1) = 1 / 13, P(H1
| Q1) = 1 / 4, indipendenti.
- P(Q1) = 1 / 13, P(Q2) =
1 / 13, P(Q1 | Q2) = 3 / 51, P(Q2
| Q1) = 3 / 51, negativamente correlati.
- P(Q2) = 1 / 13, P(H2) =
1 / 4, P(Q2 | H2) = 1 / 13, P(H2
| Q2) = 1 / 4, indipendenti.
- P(Q1) = 1 / 13, P(H2) =
1 / 4, P(Q1 | H2) = 1 / 13, P(H2
| Q1) = 1 / 4, indipendenti.
5.10. Sia Hi
l'evento in cui la carta i-esima è di cuori e Si l'evento in cui la carta i-esima è di picche.
- P(H1
H2
H3) = 11 / 850.
- P(H1
H2
S3) = 13 / 850.
- P(H1
S2
H3) = 13 / 850.
5.12. Per un soggetto scelto a caso dalla popolazione, sia S l'evento in cui il soggetto fuma e D l'evento in cui il soggetto è ammalato.
- P(D S) =
0.036.
- P(S | D) = 0.45
- S e D sono positivamente correlati.
5.13.
- P(A Bc)|
C) = 1 / 4.
- P(A
B | C) = 7 / 12.
- P(Ac
Bc | C) = 5 / 12.
5.14.
- P(A B) =
1 / 4.
- P(A
B) = 7 / 12.
- P(B
Ac) = 3 / 4.
- P(B | A) = 1 / 2.
5.15. Sia R
il numero di pastiglie rosse e W il peso.
P(R 10 | W
48) = 10 / 23.
5.16.
Sia M l'evento in cui la cicala è maschio, U l'evento in cui la cicala è treducla, e W il peso corporeo.
- P(W 0.25 | M)
= 2 / 45.
- P(W 0.25 | U)
= 7 / 44.
5.17. La distribuzione condizionata di (X1, X2) dato Y
= 7 è uniforme su {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}.
5.18.
- P(X > 30) = 2 / 3.
- P(X > 45 | X > 30) = 1 / 2.
- Dato X > 30, X è uniformemente distribuito su (30, 60).
5.19.
- P(Y > 0 | X < Y) = 3 / 4.
- Dato (X, Y)
[-1/2 + r, 1/2 - r]2, (X, Y) è uniformemente distribuito su [-1/2 + r, 1/2 - r]2.
5.23. Sia X
il punteggio dei dadi e H l'evento in cui tutti i lanci sono testa.
- P(H) = 21 / 128.
- P(X = i | H) = (64 / 63)(1 / 2i)
for i = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
5.25. Sia U
la probabilità di testa per la moneta estratta a caso, e H l'evento in cui esce testa.
- P(H) = 41 / 72
- P(U = 1 / 2 | H) = 15 / 41, P(U = 1 / 3
| H) = 8 / 41, P(U = 1 | H) = 18 / 41
5.26. Sia X
il punteggio del dado H l'evento in cui esce testa.
- P(X = i) = 5 / 24 per i = 1, 6; P(X
= i) = 7 / 48 per i = 2, 3, 4, 5.
- P(H | X = 4) = 3 / 7, P(T | X =
4) = 4 / 7.
5.28. Sia X
la linea di produzione dell'unità selezionata, e D l'evento in cui l'unità è difettosa.
- P(D) = 0.037.
- P(X = 1 | D) = 0.541, P(X = 2 | D)
= 0.405, P(X = 3 | D) = 0.054
5.29.
- 3.75% della popolazione è daltonica
- 93.3% dei daltonici sono maschi.
5.30. Sia Ri
l'evento in cui la pallina i-esima è rossa e Gi l'evento in cui la pallina i-esima è verde.
- P(R1
R2
G3) = 4 / 35.
- P(R2) = 3 / 5.
- P(R1 | R2) = 2 / 3.
5.31. Sia G
l'evento in cui la pallina è verde e U1 l'evento in cui si seleziona l'urna 1.
- P(G) = 9 / 20.
- P(U1 | G) = 2 / 3.
5.32.
Sia G1 l'evento in cui la pallina dell'urna 1 è verde e G2 l'evento in cui la pallina dell'urna 2 è verde.
- P(G2) = 9 / 25.
- P(G1 | G2) = 2 / 3.
6.1.
- P(Q1) = P(Q2) = 1 / 13, P(Q2
| Q1) = P(Q1 | Q2)
= 1 / 17. Q1, Q2 sono negativamente correlati.
- P(H1) = P(H2) = 1 / 4, P(H2
| H1) = P(H1 | H2)
= 4 / 17. H1, H2 sono negativamente correlati.
- P(Q1) = P(Q1 | H1)
= 1 / 13, P(H1) = P(H1 | Q1)
= 1 / 4. Q1, H1 sono indipendenti.
- P(Q2) = P(Q2 | H2)
= 1 / 13, P(H2) = P(H2 | Q2)
= 1 / 4. Q2, H2 sono indipendenti.
- P(Q1) = P(Q1 | H2)
= 1 / 13, P(H2) = P(H2 | Q1)
= 1 / 4. Q1, H2 sono indipendenti.
- P(Q2) = P(Q2 | H1)
= 1 / 13, P(H1) = P(H1 | Q2)
= 1 / 4. Q2, H1 sono indipendenti.
6.5. Devono esserci 9 dirigenti donna.
6.11.
A, B, C sono indipendenti se e solo se
- P(A
B) = P(A)P(B).
- P(A
C) = P(A)P(C).
- P(B C) =
P(B)P(C).
- P(A
B
C) = P(A)P(B)P(C).
6.12. A,
B, C, D sono indipendenti se e solo se
- P(A
B) = P(A)P(B).
- P(A
C) = P(A)P(C).
- P(A
D) = P(A)P(D).
- P(B C) =
P(B)P(C).
- P(B
D) = P(B)P(D).
- P(C
D) = P(C)P(D).
- P(A
B
C) = P(A)P(B)P(C).
- P(A
B
D) = P(A)P(B)P(D).
- P(A
C
D) = P(A)P(C)P(D).
- P(B
C
D) = P(B)P(C)P(D).
- P(A B
C
D) = P(A)P(B)P(C)P(D).
6.13.
- P(A
B
C) = 0.93.
- P(Ac
Bc
Cc) = 0.07.
- P[(A
Bc
Cc)
(Ac
B
Cc)
(Ac
Bc
C)] = 0.220.
- P[(A
B Cc)
(A
Bc
C)
(Ac
B
C)] = 0.430.
6.17.
- P[(A B)
C] = 3 / 8.
- P[A Bc
C]
= 7 / 8.
- P[(Ac
Bc)
Cc] = 5 / 6.
6.18.
1/16
6.21.
Sia A l'evento in cui esce almeno un sei.
P(A) = 1 - (5 / 6)5 ~ 0.5981.
6.22. Sia A
l'evento in cui esce almeno un doppio sei.
P(A) = 1 - (35 / 36)10 ~ 0.2455
6.23.
- P(X = 0) = 32 / 243
- P(X = 1) = 80 / 243
- P(X = 2) = 80 / 243
- P(X = 3) = 40 / 243
- P(X = 4) = 10 / 243
- P(X = 5) = 1 / 243
6.27.
- P(X < Y) = 11 / 12.
- P(X > 20, Y > 20) = 8 / 27.
6.32. Sia F
in cui esce un punteggio somma di 4 prima di un punteggio somma di 7.
P(F) = 1 / 3.
6.37.
- R = 0.504
- R = 0.902
- R = 0.994
6.38.
R = (p1 + p2 - p1 p2)(p4
+ p5 - p4 p5)p3
+ (p1 p4 + p2 p5
- p1 p2 p4 p5)(1
- p3)
6.39. Sia L
l'evento in cui la situazione è di basso stress e W l'evento in cui il sistema funziona
- P(W) = 0.9917
- P(L | W) = 0.504
6.42. Sia A
l'evento in cui la donna è incinta e Ti l'evento in cui il test i-esimo è positivo.
P(A | T1
T2c
T3) = 0.834.
6.43.
- sensitività 1 - (1 - a)3, specificità b3.
- sensitività 3a2(1 - a) + a3,
specificità b3 + 3b2(1 - b).
- sensitività a3, specificità 1 - (1 - b)3.
6.44. Sia C
l'evento in cui l'imputato è condannato e G l'evento in cui l'imputato è colpevole.
- P(C) = 0.51458
- P(G | C) = 0.99996
6.55. 11 / 12.
7.25.
Sia Hn l'evento in cui il lancio n-esimo risulta testa, e Tn
l'evento in cui il lancio n-esimo risulta croce.
- P(lim supn Hn) = 1, P(lim
supn Tn) = 1 se 0 < a
1.
- P(lim supn Hn) = 0, P(lim
supn Tn) = 1 se a > 0.