1. Si mostri che X
è distribuita normalmente con media µ1 e deviazione standard d1.Laboratorio virtuale > Distribuzioni notevoli > 1 2 3 4 5 6 [7] 8 9 10 11 12 13 14 15
Suppobiamo che U e V siano variabili casuali indipendenti, entrambe con distribuzione normale . Ci serviremo dei 5 parametri seguenti:
µ1 e µ2 appartenenti a R, d1 e d2 > 0, e p appartenente a [-1, 1].
Siano ora X e Y due nuove variabili casuali definite da
La distribuzione congiunta di (X, Y) è detta distribuzione normale bivariata con parametri µ1, µ2, d1, d2 e p.
Si utilizzino, per i seguenti esercizi, le proprietà di valore atteso, varianza, covarianza, e della distribuzione normale.
1. Si mostri che X
è distribuita normalmente con media µ1 e deviazione standard d1.
2. Si mostri che Y
è distribuita normalmente con media µ2 e deviazione standard d2.
3. Si mostri che cor(X,
Y) = p.
4. Si mostri che X
e Y sono indipendenti se e solo se cor(X, Y) = 0.
5. Nell'applet normale bivariata, modifica le deviazioni standard di X Y con le barre a scorrimento. Osserva il cambiamento di forma delle funzioni di densità di probabilità. Modifica la correlazione e osserva che le funzioni di densità non cambiano.
6. Nell'applet normale bivariata, poni la deviazione standard di X a 1.5 e quella di Y a 0.5. Per ciascuno dei seguenti valori di correlazione, simula 2000 replicazioni con aggiornamento ogni 10. Osserva lo scatter di punti di (X,
Y) e verifica la convergenza della funzione di densità empirica a quella teorica: p = 0, p = 0.5,
p = -0.5, p = 0.7, p = -0.7, p = 0.9,
p = -0.9.
Ora utilizzeremo la tecnica del cambiamento di variabile per trovare la funzione di densità di probabilità congiunta di (X, Y).
7. Mostrare che la trasformazione inversa è data da
8. Mostrare che il Jacobiano della trasformazione dell'esercizio precedente è
d(u, v) / d(x, y) = 1 / [d1d2(1 - p2)1/2].
Osserva che il Jacobiano è una costante: questo perché la trasformazione è lineare.
9. Usa i risultati degli esercizi precedenti, l'indipendenza di U e V, e la tecnica di cambiamento di variabile per mostrare che la densità congiunta di (X, Y) è
f(x, y) = C exp[Q(x, y)]
dove la costante di normalizzazione C e la forma quadratica Q sono date da
d1d2(1
- p2)1/2]Se c è costante, l'insieme di punti {(x, y), appartenenti a R2:f(x, y) = c} è detto curva di livello di f (ovvero punti con la stessa densità di probabilità).
10. Si mostri
11. Nell'applet normale bivariata, poni la deviazione standard di X a 2 e quella di Y a 1. Per ognuno dei seguenti valori di correlazione, simula 2000 replicazioni con aggiornamento ogni 10 e osserva la nube di punti nello scatterplot
(X, Y): p = 0, p = 0.5, p = -0.5,
p = 0.7, p = -0.7, p = 0.9, p = -0.9.
L'esercizio seguente mostra che la distribuzione normale bivariata è riproduttiva sotto trasformazioni affini.
12. Siano
W = a1X + b1Y + c1
e Z = a2X + b2Y + c2.
Usa la formula del cambiamento di variabile per dimostrare che (W, Z) ha distribuzione normale bivariata. Trova le medie, le varianze e la correlazione.
13. Dimostrare che la distribuzione condizionata di Y dato X = x è normale con media e varianza
14. Usa la rappresentazione di X e Y in termini delle variabili standardizzate U e V per dimostrare che
Y = µ2 + d2 p (X - µ1) / d1 + d2 (1 - p2)1 / 2 V.
Presentiamo ora un'ulteriore "dimostrazione" del risultato dell'esercizio 13 (ricorda che X sono V sono indipendenti).
15. Nell'applet normale bivariata, poni la deviazione standard di X a 1.5, quella di Y a 0.5, e la correlazione a 0.7.
Il seguente problema è un ottimo esercizio per impratichirsi con l'uso del cambiamento di variabile e sarà utile quando si parlerà di simulazione di variabili normali.
16. Siano U e V variabili casuali indipendenti con distribuzione normale standardizzata. Definisci le coordinate polari (R, T) per (U, V)
attraverso le equazioni
U = R cos(T), V = R sin(T) dove R
> 0 e 0 < T < 2.
Dimostra che
).I risultati presentati in questo paragrafo hanno analoghi diretti per il caso più generale della distribuzione normale multivariata.