Laboratorio virtuale > Distribuzioni notevoli > 1 2 3 4 5 [6] 7 8 9 10 11 12 13 14 15

6. La distribuzione F

In questa sezione studieremo una distribuzione particolarmente utile quando si ha a che fare con rapporti di somme di quadrati provenienti da una distribuzione normale.

La funzione di densità F

Supponiamo che U e V siano indipendenti e abbiano entrambi distribuzione chi-quadro con, rispettivamente, m e n gradi di libertà. Sia

X = (U / m) / (V / n).

1. Si dimostri che X ha funzione di densità di probabilità

f(x) = C_m,n x^{(m - 2) / 2} / [1 + (m / n)x]^{(m + n) / 2} per x > 0,

dove la costante di normalizzazione C_m,n vale

C_m,n = gam[(m + n) / 2] (m / n)^{m / 2} / [gam(m / 2) gam(n / 2)].

La distribuzione definita dalla funzione di densità ricavata nell'esercizio 1 prende il nome di distribuzione F con m gradi di libertà al numeratore e n gradi di libertà al denominatore. La distribuzione F ha questo nome in onore di Sir Ronald Fisher.

2. Nell'applet variabile casuale, seleziona la distribuzione F. Modifica i parametri con le barre di scorrimento e osserva la forma della funzione di densità. Ponendo n = 3 e m = 2, genera 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10, e osserva la convergenza della funzione di densità empirica a quella teorica.

3. Disegna il grafico della funzione di densità F introdotta nell'esercizio 1. Mostra in particolare che

1. f(x) è inizialmente crescente e poi decrescente e raggiunge il massimo a x = (m - 2) / [m(n + 2)].
2. f(x) converge a 0 per x che tende a infinito.

Pertanto, la distribuzione F è unimodale ma asimmetrica.

La funzione di ripartizione e la funzione quantile non sono esprimibili in forma chiusa tramite le funzioni elementari. Valori approssimati di queste funzioni di possono ottenere dall'applet quantile.

4. Nell'applet quantile, seleziona la distribuzione F. Modifica i parametri e osserva la forma della funzione di densità e della funzione di ripartizione. In ognuno dei casi seguenti, trova la mediana, il primo e il terzo quartile e lo scarto interquartile.

1. m = 5, n = 5
2. m = 5, n = 10
3. m = 10, n = 5
4. m = 10, n = 10

Momenti

Supponiamo X abbia distribuzione F con m gradi di libertà al numeratore e n gradi di libertà al denominatore. La rappresentazione data nell'esercizio 1 può essere utilizzata per trovare valore atteso, varianza e gli altri momenti.

5. Mostra che, se n > 2, E(X) = n / (n - 2).

Il valore atteso, quindi, dipende solo dai gradi di libertà al denominatore.

6. Mostra che, se n > 4, allora

var(X) = 2 n²(m + n - 2) / [(n - 2)² m (n - 4)].

7. Nell'applet variabile casuale, seleziona la distribuzione F. Modifica i parametri con la barra di scorrimento e osserva la dimensione e la posizione della barra media/deviazione standard. Ponendo n = 3 e m = 5, simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10, e osserva la convergenza dei momenti empirici a quelli teorici.

8. Mostrare che, se k < n / 2, allora

E(X^k) = gam[(m + 2k) / 2] gam[(n - 2k) / 2] (n / m)^k / [gam(m / 2) gam(n / 2)].

Trasformazioni

9. Sia X F-distribuita con m gradi di libertà al numeratore e n gradi di libertà al denominatore. Dimostrare che 1/X è F-distribuita con n gradi di libertà al numeratore e m gradi di libertà al denominatore.

10. Supponi che T abbia distribuzione t con n gradi di libertà. Dimostra che X = T² ha distribuzione F con 1 grado di libertà al numeratore e n gradi di libertà al denominatore.

Laboratorio virtuale > Distribuzioni notevoli > 1 2 3 4 5 [6] 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Sommario | Applets | Dati | Biografie | Risorse | Indice analitico | ©