Rk. Al solito, ripetiamo l'esperimento n volte per generare un campione casuale di dimensione n
dalla distribuzione di X. Laboratorio virtuale > Stima puntuale > 1 [2] 3 4 5 6
Supponiamo di avere un esperimento casuale semplice con una variabile casuale X osservabile e a valori reali. La distribuzione di X ha k parameri ignoti, o equivalentemente, vettore di parametri
a = (a1, a2, ..., ak)
che assume valori nello spazio parametrico A
Rk. Al solito, ripetiamo l'esperimento n volte per generare un campione casuale di dimensione n
dalla distribuzione di X.
(X1, X2, ..., Xn).
Pertanto, X1, X2, ..., Xn sono variabili casuali indipendenti, ciascuna distribuita come X.
Il metodo dei momenti è una tecnica di costruzione di stimatori dei parametri basata sull'uguagliare i momenti empirici coi momenti teorici della corrispondente distribuzione. Sia
µi(a) = E(X i | a)
l'i-esimo momento di X centrato su 0. Nota che stiamo sottolineando la dipendenza di questi momenti dal vettore dei parametri a. Nota inoltre che µ1(a) è semplicemente la media di X, che di solito indichiamo con µ. Sia poi
Mi(X) = (X1i + X2i + ··· + Xni) / n
l'i-esimo momento empirico. Osserva che stiamo sottolineando la dipendenza dei momenti empirici dal campione X. Nota inoltre che M1(X) è semplicemente la media campionaria, che di solito indichiamo con Mn.
Per costruire stimatori W1, W2, ..., Wk dei parametri ignoti a1, a2, ..., ak, cerchiamo di risolvere il sistema di equazioni simultanee
per W1, W2, ..., Wk rispetto a X1, X2, ..., Xn. Osserva che abbiamo k equazioni con k incognite, per cui si può sperare che il sistema possa essere risolto.
1. Supponi che (X1,
X2, ..., Xn) sia un campione di dimensione n
da una distribuzione con media µ e varianza d2 ignote. Mostra che gli stimatori per µ e d2 ricavati col metodo dei momenti sono rispettivamente
j
= 1, ..., n Xj.j
= 1, ..., n (Xj - Mn)2Osserva che Mn è semplicemente la media campionaria, ma Tn2= [(n - 1) / n] Sn2 dove Sn2 è la varianza campionaria. Nel seguito di questo paragrafo, confronteremo gli stimatori Sn2 e Tn2.
2. Prova che bias(Tn2)
= -d2 / n.
Pertanto Tn2 è distorta verso il basso, e quindi tende a sottostimare d2.
3. Dimostra
Tn2 è asintoticamente corretto.
4. Mostra che
MSE(Tn2) = [(n - 1)2 / n3][d4 - (n - 3)d4 / (n - 1)] + d4 / n2.
5. Mostra che l'efficienza relativa asintotica di Tn2 rispetto a Sn2 è 1.
6. Supponi di campionare da una distribuzione normale. Dimostra che, in questo caso,
Pertanto, Sn2 e Tn2 sono multipli l'uno dell'altro; Sn2 è corretto ma Tn2 ha errore quadratico medio minore.
7. Replica la
stima della distribuzione normale 1000 volte aggiornando ogni 10, per diversi valori dei parametri. Confronta la distorsione empirica e l'errore quadratico medio di Sn2 e di Tn2 coi loro valori teorici. Qual è lo stimatore migliore in termini di distorsione? Quale invece in termini di errore quadratico medio?
Ci sono diverse famiglie di distribuzioni a un parametro in cui tale parametro rappresenta la media, tra queste la distribuzione di Bernoulli con parametro p e la distribuzione di Poisson con parametro µ. In queste famiglie, lo stimatore ricavato col metodo dei momenti è M, ovvero la media campionaria. Similmente, i parametri della distribuzione normale sono µ e d2, per cui gli stimatori del metodo dei momenti sono M e Tn2.
8. Supponi che (X1,
X2, ..., Xn) sia un campione casuale estratto da una distribuzione gamma con parametro di forma k e parametro di scala b. Mostra che gli stimatori ricavati col metodo dei momenti per k
e b valgono rispettivamente
9. Replica la
stima della distribuzione gamma 1000 volte, aggiornando ogni 10, per diversi valori del parametro di forma e di scala. Registra, in ciascun caso, la distorsione e l'errore quadratico medio.
10. Supponi (X1,
X2, ..., Xn) sia un campione casuale estratto da una distribuzione beta con parametri a e 1.
Mostra che lo stimatore ricavato col metodo dei momenti per a è Un = Mn
/ (1 - Mn ).
11. Replica la
stima della distribuzione gamma 1000 volte, aggiornando ogni 10, per diversi valori di a. Registra, in ciascun caso, la distorsione e l'errore quadratico medio e disegna i grafici di distorsione e MSE in funzione di a.
12. Supponi che (X1,
X2, ..., Xn) sia un campione casuale estratto da una distribuzione di Pareto con parametro di forma a > 1. Mostra che lo stimatore ricavato col metodo dei momenti per a è Un = Mn / (Mn - 1).