1. Sia F(x)
= 1 - 1 / xa per x 
1, dove a > 0 è un parametro. Mostra che F è una funzione di ripartizione.Laboratorio virtuale > Distribuzioni notevoli > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 [12] 13 14 15
La distribuzione di Pareto è asimmmetrica e con code spesse e si usa in certi casi per modellare la distribuzione del reddito.
1. Sia F(x)
= 1 - 1 / xa per x
1, dove a > 0 è un parametro. Mostra che F è una funzione di ripartizione.
La distribuzione individua dalla funzione di ripartizione presentata nell'esercizio 1 è detta distribuzione di Pareto con parametro di forma a, e prende il nome dall'economista Vilfredo Pareto.
2. Mostra che la funzione di densità
f è
f(x)
= a / xa + 1 per x
1.
3. Disegna il grafico della funzione di densità f. Mostra in particolare che
1.Il valore modale è x = 1 per ogni a.
4. Nell'applet variabile casuale, seleziona la distribuzione di Pareto. Modifica il parametro di forma e osserva la forma e la posizione della funzione di densità. Ponendo a = 3, simula 1000 replicazioni, con frequenza di aggiornamento 10 e osserva la convergenza della densità empirica a quella teorica.
5. Mostra che la funzione quantile è
F-1(p) = 1 / (1 - p)1/a per 0 < p < 1.
6. Trova la mediana e il primo e il terzo quartile della distribuzione di Pareto con parametro di forma a
= 3. Calcola lo scarto interquartile.
7. Nell'applet quantile, seleziona la distribuzione di Pareto. Modifica il parametro di forma e osserva la forma e la posizione delle funzioni di densità e di ripartizione . Ponendo a = 2, calcola la mediana e il primo e terzo quartile.
La distribuzione di Pareto ha code spesse. Pertanto, media, varianza, e gli altri momenti sono finiti solo se il parametro di forma a è grande abbastanza.
8.
Supponi che X abbia distribuzione di Pareto con parametro di forma a.
Dimostra che
se n
a.
9.
Usa il risultato dell'esercizio precedente per mostrare che
10. Nell'applet variabile casuale, seleziona la distribuzione di Pareto. Modifica il parametro di forma e osserva la dimensione e la posizione della barra media/deviazione standard. In ciascuno dei casi seguenti, simula 1000 replicazioni aggiornando ogni 10 e osserva il comportamento dei momenti empirici:
Analogamente a quanto avviene per altre distribuzioni, spesso la distribuzione di Pareto viene generalizzata aggiungendo un parametro di scala. Supponiamo che Z abbia distribuzione di Pareto con parametro di forma a. Se b > 0, la variabile casuale X = bZ ha distribuzione di Pareto con parametro di forma a e parametro di scala b.
Osserva che X assume valori nell'intervallo (b, ).
Risultati analoghi a quelli presentati poc'anzi seguono da semplici proprietà delle trasformazioni di scala.
11. Mostra che la funzione di densità è
f(x)
= aba / xa + 1 for x
b.
12.
Mostra che la funzione di ripartizione è
F(x)
= 1 - (b / x)a for x
b.
13.
Mostra che la funzione quantile è
F-1(p) = b / (1 - p)1/a per 0 < p < 1.
14. Mostra che i momenti sono dati da
se n
a. 15.
Mostra che media e varianza valgono
16. Supponi che il reddito di una certa popolazione abbia distribuzione di Pareto con parametro di forma 3 e parametro di scala 1000.
L'esercizio seguente ribadisce il fatto che b è un parametro di scala.
17. Si supponga che X abbia distribuzione di Pareto con parametro di forma a e parametro di scala b. Si dimostri che, se c > 0, allora cX ha distribuzione di Pareto con parametro di forma a e parametro di scala bc.
18. Si supponga che X abbia distribuzione di Pareto con parametro di forma a. Si dimostri che 1/X ha distribuzione beta con parametri a e b = 1.