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9. La distribuzione beta


Introdurremo in questo paragrafo una famiglia di distribuzioni a due parametri di particolare importanza in probabilità e statistica.

La funzione beta

La funzione beta B(a, b) è definita per a > 0 e b > 0 come

B(a, b) = integrale(0, 1) ua - 1(1 - u)b-1 du.

Esercizio teorico 1. Mostra che B(a, b) è finita per a > 0 e b > 0 percorrendo i seguenti passi:

  1. Spezza l'integrale in due parti, da 0 a 1/2 2 da 1/2 a 1.
  2. Se 0 < a < 1, l'integrale è improprio in u = 0, ma (1 - u)b - 1 è limitato in (0, 1 / 2).
  3. Se 0 < b < 1, l'integrale è improprio in u = 1, ma ua - 1 è limitato in (1 / 2, 1).

Esercizio teorico 2. Mostra che

  1. B(a, b) = B(b, a) per a > 0, b > 0.
  2. B(a, 1) = 1 / a.

Esercizio teorico 3. Dimostra che la funzione beta può essere scritta in termini della funzione gamma come segue:

B(a, b) = gam(a) gam(b) / gam(a + b).

Suggerimento: Esprimi gam(a + b) B(a, b) come integrale doppio rispetto a x e y, con x > 0 e 0 < y < 1. Usa la trasformazione w = xy, z = x - xy e il teorema del cambiamento di variabile per integrali multipli. Tale trasformazione è una funzione biiettiva da (x, y) su z > 0, w > 0; il Jacobiano della trasformazione inversa vale 1 / (z + w). Mostra che l'integrale trasformato vale gam(a) gam(b).

Esercizio teorico 4. Mostra che, se j e k sono interi positivi, allora

B(j, k) = (j - 1)!(k - 1)! / (j + k -1)!.

Esercizio teorico 5. Mostrare che B(a + 1, b) = [a / (a + b)] B(a, b).

Esercizio teorico 6. Si mostri che B(1/2, 1/2) = .

Riportiamo qui sotto un grafico di B(a, b) sulla regione 0 < a < 10, 0 < b < 10.

Grafico della funzione beta

La funzione di densità beta

Esercizio teorico 7. Mostra che f è una funzione di densità di probabilità per ogni a > 0 e b > 0:

f(u) = ua - 1 (1 - u)b - 1 / B(a, b), 0 < u < 1.

una distribuzione con questa densità è detta distribuzione beta con parametri a e b. La distribuzione beta è utile per modellare probabilità e proporzioni, in particolare in ambito Bayesiano. Pur possedendo solo due paraemtri, questa distribuzione contempla una ricca varietà di forme:

Esercizio teorico 8. Disegna il grafico della funzione di densità beta. Osserva le differenze qualitative nella forma della funzione di densità nei seguenti casi:

  1. 0 < a < 1, 0 < b < 1
  2. a = 1, b = 1 (distribuzione uniforme)
  3. a = 1, 0 < b < 1
  4. 0 < a < 1, b = 1
  5. 0 < a < 1, b > 1
  6. a > 1, 0 < b < 1
  7. a > 1, b = 1
  8. a = 1, b > 1
  9. a > 1, b > 1. Mostra che la moda è a (a - 1) / (a + b -2)

Simulazione 9. Nell'appletvariabile casuale, seleziona la distribuzione beta. Poni i parametri a ciascuna delle combinazioni proposte nell'esercizio 1. In ognuno di questi casi, osserva la forma della funzione di densità e simula 1000 replicazioni con frequenza di aggiornamento di 10. Osserva la convergenza della funzione di densità empirica a quella teorica.

Funzione di ripartizione

In alcuni casi particolari, la funzione di ripartizione e la funzione quantile possono essere espresse in forma chiusa.

Esercizio teorico 10. Per a > 0 e b = 1, mostra che

  1. F(x) = xa per 0 < x < 1.
  2. F -1(p) = p1/a per 0 < p < 1.

Esercizio teorico 11. Per a = 1 e b > 0, dimostrare che

  1. F(x) = 1 - (1 - x)b per 0 < x < 1.
  2. F -1(p) = 1 - (1 - p)1/b per 0 < p < 1.

In generale sussiste un'interessante relazione tra le funzioni di ripartizione beta e la distribuzione binomiale.

Esercizio teorico 12. Sia n dato. Sia Fp la funzione di ripartizione di una binomiale con parametri n e p e sia Gk la funzione di ripartizione di una beta con parametri n - k + 1 e k. Si dimostri che

Fp(k - 1) = Gk(1 - p).

Suggerimento: Si esprima Gk(1 - p) come integrale della funzione di densità della distribuzione beta e si integri per parti.

Simulazione 13. Nell'applet quantile, seleziona la distribuzione beta. Modifica i parametri e osserva la forma delle funzioni di densità e di ripartizione. In ognuno dei seguenti casi, trova mediana, primo e terzo quartile e scarto interquartile. Disegna il boxplot

  1. a = 1, b = 1
  2. a = 1, b = 3
  3. a = 3, b = 1
  4. a = 2, b = 4
  5. a = 4, b = 2
  6. a = 4, b = 4

Momenti

I momenti della distribuzione beta sono esprimibili facilmente in termini della funzione beta.

Esercizio teorico 14. Supponi che U abbia distribuzione beta con parametri a e b. Dimostra che

E(Uk) = B(a + k, b) / B(a, b).

Esercizio teorico 15. Supponi che U abbia distribuzione beta con parametri a e b. Dimostra che

  1. E(U) = a / (a + b)
  2. var(U) = ab / [(a + b)2 (a + b + 1)]

Simulazione 16. Nell'appletvariabile casuale, seleziona la distribuzione beta. Poni i parametri a ciascuna delle combinazioni proposte nell'esercizio 1. In ognuno di questi casi, osserva la forma della barra media/deviazione standard e simula 1000 replicazioni con frequenza di aggiornamento di 10. Osserva la convergenza dei momenti empirici a quelli teorici.

Transformazioni

Esercizio teorico 17. Si supponga che X abbia distribuzione gamma con parametri a e r, che Y abbia distribuzione gamma con parametri b e r e che X e Y siano indipendenti. Si mostri che U = X / (X + Y) ha distribuzione beta con parametri a e b.

Esercizio teorico 18. Supponi che U abbia distribuzione beta con parametri a e b. Mostra che 1 - U ha distribuzione beta con parametri b e a.

Esercizio teorico 19. Supponi che X abbia distribuzione F con m gradi di libertà al numeratore e n gradi di libertà al denominatore. Dimostra che

U = (m / n)X / [1 + (m / n)X]

ha distribuzione beta con parametri a = m / 2 e b = n / 2.

Esercizio teorico 20. Supponiamo che X abbia distribuzione beta con parametri a > 0 e b > 0. Mostra che tale distribuzione è una famiglia esponenziale a due parametri con parametri naturali a - 1 e b - 1, e statistiche naturali ln(X) e ln(1 - X).

La distribuzione beta è inoltre la distribuzione delle statistiche d'ordine di un campione casuale estratto da una distribuzione uniforme.