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Introdurremo in questo paragrafo una famiglia di distribuzioni a due parametri di particolare importanza in probabilità e statistica.
La funzione beta B(a, b) è definita per a > 0 e b > 0 come
B(a, b) = (0, 1) ua - 1(1 - u)b-1 du.
1. Mostra che B(a, b) è finita per a > 0 e b > 0 percorrendo i seguenti passi:
2. Mostra che
3. Dimostra che la funzione beta può essere scritta in termini della funzione gamma come segue:
B(a, b) = gam(a) gam(b) / gam(a + b).
Suggerimento: Esprimi gam(a + b) B(a, b) come integrale doppio rispetto a x e y, con x > 0 e 0 < y < 1. Usa la trasformazione w = xy, z = x - xy e il teorema del cambiamento di variabile per integrali multipli. Tale trasformazione è una funzione biiettiva da (x, y) su z > 0, w > 0; il Jacobiano della trasformazione inversa vale 1 / (z + w). Mostra che l'integrale trasformato vale gam(a) gam(b).
4. Mostra che, se j e k sono interi positivi, allora
B(j, k) = (j - 1)!(k - 1)! / (j + k -1)!.
5. Mostrare che B(a + 1, b) = [a / (a + b)] B(a, b).
6. Si mostri che B(1/2, 1/2) = .
Riportiamo qui sotto un grafico di B(a, b) sulla regione 0 < a < 10, 0 < b < 10.
7. Mostra che f è una funzione di densità di probabilità per ogni a > 0 e b > 0:
f(u) = ua - 1 (1 - u)b - 1 / B(a, b), 0 < u < 1.
una distribuzione con questa densità è detta distribuzione beta con parametri a e b. La distribuzione beta è utile per modellare probabilità e proporzioni, in particolare in ambito Bayesiano. Pur possedendo solo due paraemtri, questa distribuzione contempla una ricca varietà di forme:
8. Disegna il grafico della funzione di densità beta. Osserva le differenze qualitative nella forma della funzione di densità nei seguenti casi:
9. Nell'appletvariabile casuale, seleziona la distribuzione beta. Poni i parametri a ciascuna delle combinazioni proposte nell'esercizio 1. In ognuno di questi casi, osserva la forma della funzione di densità e simula 1000 replicazioni con frequenza di aggiornamento di 10. Osserva la convergenza della funzione di densità empirica a quella teorica.
In alcuni casi particolari, la funzione di ripartizione e la funzione quantile possono essere espresse in forma chiusa.
10. Per a > 0 e b = 1, mostra che
11. Per a = 1 e b > 0, dimostrare che
In generale sussiste un'interessante relazione tra le funzioni di ripartizione beta e la distribuzione binomiale.
12. Sia n dato. Sia Fp la funzione di ripartizione di una binomiale con parametri n e p e sia Gk la funzione di ripartizione di una beta con parametri n - k + 1 e k. Si dimostri che
Fp(k - 1) = Gk(1 - p).
Suggerimento: Si esprima Gk(1 - p) come integrale della funzione di densità della distribuzione beta e si integri per parti.
13. Nell'applet quantile, seleziona la distribuzione beta. Modifica i parametri e osserva la forma delle funzioni di densità e di ripartizione. In ognuno dei seguenti casi, trova mediana, primo e terzo quartile e scarto interquartile. Disegna il boxplot
I momenti della distribuzione beta sono esprimibili facilmente in termini della funzione beta.
14. Supponi che U abbia distribuzione beta con parametri a e b. Dimostra che
E(Uk) = B(a + k, b) / B(a, b).
15. Supponi che U abbia distribuzione beta con parametri a e b. Dimostra che
16. Nell'appletvariabile casuale, seleziona la distribuzione beta. Poni i parametri a ciascuna delle combinazioni proposte nell'esercizio 1. In ognuno di questi casi, osserva la forma della barra media/deviazione standard e simula 1000 replicazioni con frequenza di aggiornamento di 10. Osserva la convergenza dei momenti empirici a quelli teorici.
17. Si supponga che X abbia distribuzione gamma con parametri a e r, che Y abbia distribuzione gamma con parametri b e r e che X e Y siano indipendenti. Si mostri che U = X / (X + Y) ha distribuzione beta con parametri a e b.
18. Supponi che U abbia distribuzione beta con parametri a e b. Mostra che 1 - U ha distribuzione beta con parametri b e a.
19. Supponi che X abbia distribuzione F con m gradi di libertà al numeratore e n gradi di libertà al denominatore. Dimostra che
U = (m / n)X / [1 + (m / n)X]
ha distribuzione beta con parametri a = m / 2 e b = n / 2.
20. Supponiamo che X abbia distribuzione beta con parametri a > 0 e b > 0. Mostra che tale distribuzione è una famiglia esponenziale a due parametri con parametri naturali a - 1 e b - 1, e statistiche naturali ln(X) e ln(1 - X).
La distribuzione beta è inoltre la distribuzione delle statistiche d'ordine di un campione casuale estratto da una distribuzione uniforme.