) sono costruite come sequenza di variabili casuali indipendenti, ciascuna con distribuzione esponenziale con parametro r. Per simulare il processo ci basta quindi capire come simulare variabili casuali indipendenti partendo da numeri casuali.Col metodo utilizzato in questo capitolo, tutte le variabili casuali del processo di Poisson su [0, ) sono costruite come sequenza di variabili casuali indipendenti, ciascuna con distribuzione esponenziale con parametro r. Per simulare il processo ci basta quindi capire come simulare variabili casuali indipendenti partendo da numeri casuali.
Ricordiamo che, se F è la funzione di ripartizione di una variabile casuale X, allora F-1 è la funzione quantile. Inoltre, se U è distribuita uniformemente sull'intervallo (0, 1), (per cui U è un numero casuale) allora F-1(U) ha la stessa distribuzione di X. Tale metodo-quantile per la simulazione di X richiede, ovviamente, di poter calcolare la funzione quantile F-1 in forma chiusa. Fortunatamente, ciò è possibile per la distribuzione esponenziale.
1.
Prova che se Uj, j = 1, 2, ... è una sequenza di numeri casuali, allora la sequenza sottostante simula variabili casuali indipendenti, ciascuna distribuita esponenzialemente con parametro di velocità r.
Xj = -ln(1 - Uj) / r, j = 1, 2, ...
Tali variabili simulano quindi i tempi interarrivo per un processo di Poisson su [0, ). Quindi i tempi di arrivo sono simulati come
Tk = X1 + X2 + ··· + Xk per k = 1, 2, ...
e le variabili di conteggio sono simulate come
Nt = #{k: Tk 
t} per t > 0.
Possiamo anche simulare una variabile di Poisson direttamente. Il metodo generale proposto nell'esercizio seguente è anche un caso speciale del metodo-quantile presentato poc'anzi.
2. Supponiamo che f
sia una funzione di densità discreta su {0, 1, 2, ...}. Se U è distribuita uniformemente su (0, 1) (un numero casuale), mostra che la variabile definita qui sotto ha densità f:
N = j se e solo se f(0) + ··· + f(j -
1) < U f(0) + ··· + f(j).
Possiamo ora utilizzare il risultato dell'esercizio 4 per simulare un processo di Poisson in una regione D di Rk. Illustreremo questo metodo sul rettangolo D = [a, b] × [c, d] in R2 dove a < c e b < d. Per cominciare, utilizziamo un numero casuale U per simulare una variabile casuale N che abbia distribuzione di Poisson con parametro r(b - a)(d - c), come nell'esercizio precedente. Ora, se N = n, siano U1, U2, ..., Un e V1, V2, ..., Vn numeri casuali e definiamo
Xi = a + (b - a)Ui, Yi = c + (d - c)Vi per i = 1, 2, ..., n.
3. Mostra che i punti casuali di un processo di Poisson con velocità r su D sono simulati da
(Xi, Yi), i = 1, 2, ..., n.
Per ulteriori informazioni sui processi di Poisson e le loro generalizzazioni puoi vedere
2.8.
Sia X la lunghezza della telefonata.
2.9.
Sia T la durata
2.14.
Sia T il tempo tra le richieste.
2.15.
Sia X la durata.
2.16.
Sia X la posizione del primo difetto.
3.4. 0.1991
3.5. 0.1746
3.10. 2, 0.6325
3.11. r = 1 /
10, k = 4
3.16. 0.5752
3.20.
r = 6.67 richieste al minuto.
4.6. 0.7798
4.7. 0.8153
4.12. 32, 5.657
4.20. 0.8818
4.23. 0.6
4.26. 0.9452
4.30.
r = 5.7 al minuto
5.6. 0.5814
5.11.
6.10. 0.7350
6.13.
7.3.
7.4.
7.5.
7.12. 0.0491
7.15. 0.2146
7.17.