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5. Splitting

Il processo di due tipi

Supponiamo che ciascuno degli arrivi in un processo di Poisson sia, indipendenetemente dagli altri, di due tipi: tipo 1 con probabilità p e tipo 0 con probabilità q = 1 - p.

Ciò è a volte detto splitting di un processo di Poisson. Per esempio, supponi che gli arrivi siano emissioni radioattive e che ciascuna particella possa essere rilevata (tipo 1) o mancata (tipo 0) da un misuratore. Se gli arrivi sono automobili a una stazione di servizio, ciascun guidatore può essere maschio (tipo 1) o femmina (tipo 0).

La distribuzione congiunta

Siamo interessati agli arrivi di tipo 1 e di tipo 0 congiuntamente. Sia

1. M_t = numero di arrivi di tipo 1 in (0, t].
2. W_t = N_t - M_t = numero di arrivi di tipo 0 in (0, t].

1. Usa la definizione di probabilità condizionata per mostrare che

P(M_t = j, W_t = k) = P(M_t = n | N_t = j + k)P(N_t = j + k).

2. Dimostra che, in termini di tipo, gli arrivi successivi formano un processo di prove Bernoulliane, per cui se ci sono j + k arrivi nell'intervallo (0, t], allora il numero di arrivi di tipo 1 ha distribuzione binomiale con parametri j + k e p.

3. Usa i risultati degli esercizi 1 e 2 per mostrare che

P(M_t = j, W_t = k) = [e^-rpt (rpt)^j / j!][e^-rqt (rqt)^k / k!] per j, k = 0, 1, ...

Segue dall'esercizio 3 che il numero di arrivi di tipo 1 nell'intervallo (0, t] e il numero di arrivi di tipo o nell'intervallo (0, t] sono indipendenti e hanno distribuzione di Poisson con parametri rispettivamente rpt e rqt. Più in generale, gli arrivi di tipo 1 e di tipo 0 formano due distinti (e indipendenti) processi di Poisson.

4. Nell'esperimento di Poisson di due tipi modifica r, p e t con le barre a scorrimento e osserva la forma delle funzioni di densità. Poni r = 2, t = 3 e p = 0.7. Simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10, e osserva la convergenza delle frequenze relative alle funzioni di densità.

5. Nell'esperimento di Poisson di due tipi, poni r = 2, t = 3 e p = 0.7. Simula 500 replicazioni, aggiornando ogni volta e calcola le appropriate frequenze relative per analizzare empiricamente l'indipendenza tra numero di donne e numero di uomini.

6. Supponi che le automobili arrivino a una stazione di servizio seguendo il modello di Poisson, con velocità r = 20 l'ora. Inoltre, ciascun guidatore può essere, indipendentemente dagli altri, femmina con probabilità 0.6 o maschio con probabilità 0.4. Trova la probabilità che, su un periodo di due ore, si presentino almeno 20 donne e 15 uomini.

Stima del numero di arrivi

Supponiamo che N_t non sia osservabile, ma che lo sia M_t. Questa situazione si presenta, ad esempio, se gli arrivi sono emissioni radioattive, e quelle di tipo 1 sono rilevate da un misuratore, mentre quelle di tipo 0 gli sfuggono. Vogliamo stimare il numero totale di arrivi N_t in (0, t] dopo aver osservato il numero di arrivi di tipo 1 M_t.

7. Prova che la distribuzione condizionata di N_t dato M_t = k è identica alla distribuzione di k + W_t.

8. Prova che E(N_t | M_t = k) = k + r(1 - p)t.

Quindi, se la velocità complessiva r e la probabilità p che un arrivo sia di tipo 1 sono note, segue dalla teoria generale del valore atteso condizionato che

M_t + r(1 - p)t

è il miglior stimatore di N_t basata su M_t nel senso dei minimi quadrati.

9. Prova che E{[N_t - (M_t + r(1 - p)t)]²} = r(1 - p)t.

10. Nell'esperimento di Poisson di due tipi, poni r = 3, t = 4 e p = 0.8. Simula 100 replicazioni, aggiornando ogni volta.

1. Calcola la stima di N_t basata su M_t per ciascuna replicazione.
2. Calcola, per tutte e 100 le replicazioni, la media della somma dei quadrati degli errori.
3. Confronta il risultato di (b) con quello dell'esercizio 9.

11. Supponi che un frammento di materiale radioattivo emetta particelle seguendo il modello di Poisson con velocità r = 100 al secondo. Supponi inoltre che lo strumento di misura che si utilizza individui ciascuna particella emessa, indipendentemente dalle altre, con probabilità 0.9. Se in un periodo di 5 secondi sono registrate 465 particelle,

1. Stima il numero di particelle emesse.
2. Calcola l'errore quadratico medio della stima.

Il processo di k tipi

Supponi che ciascun arrivo del processo di Poisson sia, indipendentemente dagli altri, di uno dei k tipi: i con probabilità p_i per i = 1, 2, ..., k. Ovviamento dobbiamo avere

p₁ + p₂ + ··· + p_k = 1.

Sia M_i(t) il numero di arrivi di tipo i in (0, t] per i = 1, 2, ..., k.

12. Mostra che, per dati t, M₁(t), M₂(t), ..., M_k(t) sono indipendenti e M_i(t) ha distribuzione di Poisson con parametro rp_it.

Più in generale, M₁(t), M₂(t), ..., M_k(t) sono processi di Poisson indipendenti.

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