0.Laboratorio virtuale > Il processo di Poisson > 1 2 [3] 4 5 6 7 8
Sappiamo che i tempi interarrivo X1, X2, ... sono variabili casuali continue e indipendenti l'una dall'altra, ognuna con funzione di densità di probabilità esponenziale:
f(t) = re-rt, t 0.
Il tempo di arrivo k-esimo è semplicemente la somma dei primi k tempi interarrivo:
Tk = X1 + X2 + ··· + Xk.
Ne segue che il k-esimo tempo di arrivo è una variabile casuale continua e che la sua funzione di densità è la k-convoluzione di f.
1. Mostra che la funzione di densità del k-esimo tempo di arrivo è
fk(t) = (rt)k - 1re-rt / (k - 1)!, t > 0.
Tale distribuzione è detta gamma con parametro di forma k e parametro di velocità r. Di nuovo, 1 / r è detto parametro di scala. Una versione più generale della distribuzione gamma, che consente valori non interi di k, è analizzata nel capitolo sulle distribuzioni notevoli.
Notiamo che, poiché i tempi di arrivo sono continui, la probabilità di un arrivo in ciascuno specifico istante è 0. Possiamo quindi interpretare Nt come numero di arrivi in (0, t).
2. Nell'esperimento gamma, modifica r e k con le barre a scorrimento e osserva come varia la forma della funzione di densità. Poni r = 2 e k = 3, e simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10, osservando la convergenza delle densità empiriche alla funzione di densità teorica.
3. Disegna il grafico della funzione di densità dell'esercizio 1. Mostra che la moda si ha a (k - 1) / r.
4. Supponi che delle automobili arrivino a una stazione di servizio seguendo il modello di Poisson, con velocità r = 3 all'ora. Relativamente a un dato istante di inizio, trova la probabilità che la seconda automobile arrivi dopo più di un'ora.
5. I difetti in un certo tipo di cavo seguono il modello di Poisson, con velocità 1 ogni 100 metri. Trova la probabilità che il quinto difetto si trovi tra i 450 e i 550 metri.
Media, varianza e funzione generatrice dei momenti di Tk si trovano utilizzando i risultati già noti per la distribuzione esponenziale.
6. Prova che E(Tk) = k / r.
7. Dimostra che var(Tk)
= k / r2.
8. Nell'esperimento gamma, modifica r e k con le barre a scorrimento e osserva come variano posizione e dimensione della barra media/deviazione standard. Poni r = 2 e k = 3, e simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10, osservando la convergenza dei momenti empirici ai loro valori teorici.
9. Mostra che E[exp(uTk)]
= [r / (r - u)]k per u < r.
10. Supponi che le richieste che pervengono a un server web seguano il modello di Poisson con velocità r = 5 al minuto. Relativamente a un dato tempo di inizio, calcola media e deviazione standard del tempo di arrivo della decima richiesta.
11. Supponi che Y abbia distribuzione gamma con media 40 e deviazione standard 20. Trova k e r.
12. Supponi che V abbia distribuzione gamma con parametro di forma j e parametro di velocità r,
che W abbia distribuzione gamma con parametro di forma k e parametro di velocità r e che V e W siano indipendenti. Prova che V + W ha distribuzione gamma con parametro di forma j + k e parametro di velocità r.
13. Nell'esperimento gamma, modifica r e k con le barre a scorrimento e osserva come varia la forma della funzione di densità. Poni r = 2 e k = 5, e simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10, osservando la convergenza delle densità empiriche alla funzione di densità teorica.
Anche se non puoi scegliere un k maggiore di 5, nota che la funzione di senistà del tempo di arrivo k-esimo assume forma campanulare al crescere di k (per r dato). Questa è un'ulteriore applicazione del teorema limite centrale, poiché il k-esimo tempo di arrivo è la somma di k varaibili casuali indipendenti e identicamente distribuite (i tempi interarrivo).
14. Usa il teorema limite centrale per mostrare che la distribuzione della variabile standardizzata riportata qui sotto converge alla distribuzione normale standardizzata al tendere a infinito di k
(Tk - k / r) / (k1/2 / r) = (rTk - k) / k1/2.
15. Nell'esperimento gamma, poni k = 5 e r = 2. Simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni volta, e calcola e confronta le seguenti quantità:
T5 3) T5
3} T5
3). 16. Supponi che gli incidenti a un certo incrocio si verifichino seguendo il modello di Poisson, con velocità di 8 all'anno. Calcola l'approssimazione normale alla probabilità che il decimo incidente (relativamente a un dato tempo di inizio) si verifichi entro due anni.
In molti casi pratici, il parametro di velocità r del processo è ignoto e dev'essere stimato sulla base dei tempi di arrivo osservati.
17. Prova che E(Tk / k)
= 1 / r, per cui Tk / k è uno stimatore corretto per 1 / r.
Poiché lo stimatore è corretto, la varianza coincide con l'errore quadratico medio.
18. Prova che var(Tk
/ k) = 1 / (kr2), per cui var(Tk / k)
tende a 0 al tendere di k a infinito.
Nota che Tk / k = (X1 + X2 + ··· + Xk) / k dove Xi è l'i-esimo tempo interarrivo. Quindi il nostro stimatore per 1 / r può essere interpretato come media campionaria dei tempi interarrivo. Uno stimatore naturale della velocità stessa è k / Tk. Ma questo stimatore tende a sovrastimare r.
19. Usa la
disuguaglianza di Jensen per mostrare che E(k / Tk) r.
20. Supponi che le richieste a un certo server web seguano il modello di Poisson. A partire da mezzogiorno di un certo giorno, si registrano le richieste; la centesima arriva a mezzogiorno e un quarto. Stima la velocità del processo.