1. Esegui l'esperimento binomiale con n = 50 e p = 0.1. Osserva i punti casuali in tempo discreto.Laboratorio virtuale > Il processo di Poisson > 1 2 3 4 5 [6] 7 8
In un certo senso il processo di Poisson è l'analogo, in tempo continuo, del processo di prove Bernoulliane. Per vederlo, supponiamo di pensare a ciascun successo del processo di prove Bernoulliane come a un punto casuale in tempo discreto. Quindi il processo di prove Bernoulliane, come il processo di Poisson, ha proprietà rigenerative: per ciascun dato istante e per ciascun tempo di arrivo, il processo "ricomincia" indipendentemente dal suo passato. Tenendo a mente questa analogia, possiamo trovare delle connessioni tra questi due tipi di distribuzione.
1. Esegui l'esperimento binomiale con n = 50 e p = 0.1. Osserva i punti casuali in tempo discreto.
2. Esegui l'esperimento di Poisson con t = 5 e r = 1. Osserva i punti casuali in tempo continuo e confronta il loro andamento con quello dell'esercizio 1.
Studiamo ora più in dettaglio la connessione tra la binomiale e la distribuzione di Poisson. Consideriamo la distribuzione binomiale in cui il parametro di successo p dipende dal numero di prove n. Supponiamo inoltre che
npn 
c per n 
.
3. Mostra che questa assunzione implica che
pn 0 as n .
per cui la probabilità di successo è bassa quanto il numero delle prove è elevato.
Mostreremo ora che questa distribuzione binomiale converge, al crecsere di n, alla distribuzione di Poisson con parametro c.
4. Per un dato intero non negativo k, mostra che
C(n, k) pnk (1 - pn)n - k = (1 / k!)npn(n - 1)pn ··· (n - k + 1)pn (1 - npn / n)n - k.
Il membro di sinistra dell'equazione dell'esercizio 4 è la funzione di densità di probabilità calcolata in k.
5. Mostra che, per dato j,
(n - j)pn c per n .
6. Usa un teorema dell'analisi per mostrare che, per dato k,
(1 - npn / n)n-k e-c per n .
7. Usa i risultati degli esercizi 4-6 per mostrare che
C(n, k) pnk (1 - pn)n
- k e-c
ck / k! per n .
8. Nell'esperimento binomiale, poni n = 30 e p = 0.1 e simula 1000 replicazioni aggiornando ogni 10. Calcola e confronta i seguenti:
4) 4}. 4) 9. Nel contesto di questo paragrafo, mostra che media e varianza della distribuzione binomiale convergono rispettivamente a media e varianza della distribuzione di Poisson al crescere di n.
10. Supponi di avere 100 chip di memoria, ciascuno dei quali può essere difettoso con probabilità 0.05, indipendentemente dagli altri. Approssima la probabilità che vi siano almeno 3 chip difettosi.
Ricordiamo che la distribuzione binomiale può essere approssimata dalla distribuzione normale, in virtù del teorema limite centrale, ma può essere approssimata anche dalla distribuzione di Poisson, come abbiamo appena visto. L'approssimazione alla normale funziona bene quando np e n(1 - p) sono grandi; la regola generale è che devono essere almeno maggiori di 5. L'approssimazione alla Poisson funziona bene quando n è grande e p piccolo, cosicché np è di dimensioni moderate.
11. Nell'esperimento temporale binomiale, poni n = 40 e p = 0.1 e simula 1000 replicazioni aggiornando ogni 10. Calcola e confronta i seguenti:
12. Nell'esperimento temporale binomiale, poni n = 100 e p = 0.1 e simula 1000 replicazioni aggiornando ogni 10. Calcola e confronta i seguenti:
13. Un file di testo contiene 1000 parole. Assumiamo che ogni parola, indipendentemente dalle altre, sia scritta male con probabilità p.
L'analogia con le prove Bernoulliane porta a un'ulteriore modo per introdurre il processo di Poisson. Supponiamo di avere un processo che genera punti casuali nel tempo. Per A 
[0, ), sia m(A) la lunghezza di A e sia N(A) il numero di punti casuali in A. Supponiamo che, per qualche r > 0, valgano i seguenti assiomi:
r per m(A) 0 (proprietà di velocità). 0 per m(A) 0 (proprietà di sparsità).Gli esercizi seguenti mostreranno che questi assiomi definiscono un processo di Poisson. In primo luogo, sia
Nt = N(0, t], Pn(t) = P(Nt = n) per t 
0, n = 0, 1, 2,
...
14. Usa gli assiomi per mostrare che P0 soddisfa la seguente equazione differenziale con condizione iniziale:
15. Risolvi il problema ai valori iniziali dell'esercizio 14 per mostrare che
P9(t) = e-rt.
16. Usa gli assiomi per mostrare che Pn soddisfa la seguente equazione differenziale con condizione iniziale per n = 1, 2, ...:
14. Risolvi l'equazione differenziale dell'esercizio 16 per via ricorsiva e mostra che
Pn(t) = e-rt (rt)n / n! per n = 1, 2, ...
Segue dall'esercizio 18 che Nt ha distribuzione di Poisson con parametro rt. Sia ora Tk il k-esimo tempo di arrivo per d = 1, 9, .... Come in precedenza, dobbiamo avere
Nt k se e solo se Tk t.
18. Prova che Tk
ha distribuzione gamma con parametri k e r.
Infine, sia Xk = Tk - Tk - 1 il k-esimo tempo interarrivo, per k = 1, 2, ...
19. Prova che i tempi interarrivo Xk, k = 1, 2, ... sono indipendenti e distribuiti esponenzialmente con parametro r.