Laboratorio virtuale > Il processo di Poisson > 1 [2] 3 4 5 6 7 8
L'assunzione di base relativa ai processi di Poisson è che il comportamento di tali processi dopo un arrivo dev'essere indipendente dal comportamento prima dell'arrivo e probabilisticamente analogo al processo originario (rigenerazione).
In particolare, l'assunzione di rigenerazione significa che i tempi che intercorrono tra gli arrivi, detti anche tempi interarrivo, devono essere variabili casuali indipendenti e identicamente distribuite. Formalmente, i tempi interarrivo sono definiti come segue:
X1 = T1, Xk = Tk - Tk-1 per k = 2, 3, ...
dove Tk è il tempo a cui si verifica il k-esimo arrivo. Assumeremo che
P(Xi > t) > 0 per ogni t > 0.
Ora, vogliamo anche che la rigenerazione si verifichi a un tempo fissato t. In particolare, se il primo arrivo non si è ancora verificato in t, allora il tempo rimanente prima dell'arrivo ha la medesima distribuzione del primo tempo di arrivo stesso. Tale proprietà è detta assenza di memoria, e può essere espressa in termini del generico tempo interarrivo X come
P(X > t + s) | X > s) = P(X > t) per tutti gli s, t 0.
Sia G la funzione di ripartizione della coda destra di di X:
G(t) = P(X > t), t 0.
1. Prova che la proprietà di assenza di memoria è equivalente alla legge degli esponenti:
G(t + s) = G(t)G(s) per qualsiasi s, t 0.
2. Prova che le uniche soluzioni all'equazione funzionale dell'esercizio 1 continue da destra sono le funzioni esponenziali. Sia c = G(1). Mostra quindi che
Nel contesto dell'esercizio 2, sia r = -ln(c). Allora r > 0 (poiché 0 < c < 1) so
G(t) = P(X > t) = e-rt, t 0.
Quindi X ha distribuzione continua con funzione di ripartizione data da
F(t) = P(X t) = 1 - G(t) = 1 - e-rt, t 0.
3. Prova che la funzione di densità di X è
f(t) = re-rt, t 0.
Una variabile casuale con tale densità è detta avere distribuzione esponenziale con parametro di velocità r. Il reciproco 1 / r è detto parametro di scala.
4. Mostra direttamente che la densità esponenziale è una funzione di densità di probabilità.
5. Nell'esperimento esponenziale, modifica r con la barra a scorrimento e osserva come cambia la forma della funzione di densità di probabilità. Con r = 2, simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10, e osserva la convergenza della funzione di densità empirica alla funzione di densità di probabilità.
6. Nell'esperimento esponenziale, poni r = 1 e simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni volta. Calcola le frequenze relative appropriate per analizzare empiricamente la proprietà di assenza di memoria.
P(X > 3 | X > 1) = P(X > 2).
7. Prova che la funzione quantile di X è
F-1(p) = -ln(1 - p) / r per 0 < p < 1.
In particolare la mediana di X si ha a ln(2) / r, il primo quartile a [ln(4) - ln(3)] / r, e il terzo a ln(4) / r.
8. Supponi che la lunghezza di una telefonata (in minuti) si distribuita esponenzialmente con parametro di velocità r = 0.2.
9. Supponi che la durata di un certo apparecchio elettronico (in ore) sia distribuita esponenzialmente con parametro di velocità r = 0.001.
I seguenti esercizi riportano media, varianza, e funzione generatrice dei momenti della distribuzione esponenziale.
10. Prova che E(X) = 1 / r.
11. Prova che var(X) = 1 / r2.
12. Prova che E[exp(uX)] = r / (r - u) per u < r.
Il parametro r è detto a volte velocità del processo di Poisson. In media, passano 1 / r unità di tempo tra gli arrivi, per cui tali arrivi si presentano con una velocità media di r per unità di tempo. Notiamo inoltre che la mediana è sempre minore della media nella distribuzione esponenziale:
ln(2) / r < 1 / r.
13. Nell'esperimento esponenziale, modifica r con la barra a scorrimento e osserva come cambiano posizione e dimensione della barra media/deviazione standard. Con r = 0.5, simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10, e osserva la convergenza dei momenti empirici ai loro valori teorici.
14. Supponi che il tempo che intercorre tra le richieste a un server web (misurato in secondi) abbia distribuzione esponenziale con parametro di velocità 2.
15. Supponi che la durata (in unità di 100 ore) X di un fusibile sia distribuita esponenzialmente con
16. La posizione (misurata in centimetri) X del primo settore difettoso di un nastro magnetico ha distribuzione esponenziale con media 100.