Laboratorio virtuale > Il processo di Poisson > 1 [2] 3 4 5 6 7 8

2. La distribuzione esponenziale


L'assunzione di base relativa ai processi di Poisson è che il comportamento di tali processi dopo un arrivo dev'essere indipendente dal comportamento prima dell'arrivo e probabilisticamente analogo al processo originario (rigenerazione).

I tempi tra gli arrivi

In particolare, l'assunzione di rigenerazione significa che i tempi che intercorrono tra gli arrivi, detti anche tempi interarrivo, devono essere variabili casuali indipendenti e identicamente distribuite. Formalmente, i tempi interarrivo sono definiti come segue:

X1 = T1, Xk = Tk - Tk-1 per k = 2, 3, ...

dove Tk è il tempo a cui si verifica il k-esimo arrivo. Assumeremo che

P(Xi > t) > 0 per ogni t > 0.

Ora, vogliamo anche che la rigenerazione si verifichi a un tempo fissato t. In particolare, se il primo arrivo non si è ancora verificato in t, allora il tempo rimanente prima dell'arrivo ha la medesima distribuzione del primo tempo di arrivo stesso. Tale proprietà è detta assenza di memoria, e può essere espressa in termini del generico tempo interarrivo X come

P(X > t + s) | X > s) = P(X > t) per tutti gli s, t 0.

Distribuzione

Sia G la funzione di ripartizione della coda destra di di X:

G(t) = P(X > t), t 0.

Esercizio teorico 1. Prova che la proprietà di assenza di memoria è equivalente alla legge degli esponenti:

G(t + s) = G(t)G(s) per qualsiasi s, t 0.

Esercizio teorico 2. Prova che le uniche soluzioni all'equazione funzionale dell'esercizio 1 continue da destra sono le funzioni esponenziali. Sia c = G(1). Mostra quindi che

  1. G(n) = cn se n è un intero positivo.
  2. G(1/n) = c1/n se n è un intero positivo.
  3. G(m/n) = cm/n se me n sono interi positivi.
  4. G(t) = ct per ogni t > 0.

Nel contesto dell'esercizio 2, sia r = -ln(c). Allora r > 0 (poiché 0 < c < 1) so

G(t) = P(X > t) = e-rt, t 0.

Quindi X ha distribuzione continua con funzione di ripartizione data da

F(t) = P(X t) = 1 - G(t) = 1 - e-rt, t 0.

Esercizio teorico 3. Prova che la funzione di densità di X è

f(t) = re-rt, t 0.

Una variabile casuale con tale densità è detta avere distribuzione esponenziale con parametro di velocità r. Il reciproco 1 / r è detto parametro di scala.

Esercizio teorico 4. Mostra direttamente che la densità esponenziale è una funzione di densità di probabilità.

Simulazione 5. Nell'esperimento esponenziale, modifica r con la barra a scorrimento e osserva come cambia la forma della funzione di densità di probabilità. Con r = 2, simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10, e osserva la convergenza della funzione di densità empirica alla funzione di densità di probabilità.

Simulazione 6. Nell'esperimento esponenziale, poni r = 1 e simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni volta. Calcola le frequenze relative appropriate per analizzare empiricamente la proprietà di assenza di memoria.

P(X > 3 | X > 1) = P(X > 2).

Esercizio teorico 7. Prova che la funzione quantile di X è

F-1(p) = -ln(1 - p) / r per 0 < p < 1.

In particolare la mediana di X si ha a ln(2) / r, il primo quartile a [ln(4) - ln(3)] / r, e il terzo a ln(4) / r.

Esercizio teorico 8. Supponi che la lunghezza di una telefonata (in minuti) si distribuita esponenzialmente con parametro di velocità r = 0.2.

  1. Trova la probabilità che la telefonata duri da 2 a 7 minuti.
  2. Trova mediana, primo e terzo quartile e scarto interquartile della lunghezza della telefonata.

Esercizio teorico 9. Supponi che la durata di un certo apparecchio elettronico (in ore) sia distribuita esponenzialmente con parametro di velocità r = 0.001.

  1. Trova la probabilità che l'apparecchio duri almeno 2000 ore.
  2. Trova mediana, primo e terzo quartile e scarto interquartile della durata.

Momenti

I seguenti esercizi riportano media, varianza, e funzione generatrice dei momenti della distribuzione esponenziale.

Esercizio teorico 10. Prova che E(X) = 1 / r.

Esercizio teorico 11. Prova che var(X) = 1 / r2.

Esercizio teorico 12. Prova che E[exp(uX)] = r / (r - u) per u < r.

Il parametro r è detto a volte velocità del processo di Poisson. In media, passano 1 / r unità di tempo tra gli arrivi, per cui tali arrivi si presentano con una velocità media di r per unità di tempo. Notiamo inoltre che la mediana è sempre minore della media nella distribuzione esponenziale:

ln(2) / r < 1 / r.

Simulazione 13. Nell'esperimento esponenziale, modifica r con la barra a scorrimento e osserva come cambiano posizione e dimensione della barra media/deviazione standard. Con r = 0.5, simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10, e osserva la convergenza dei momenti empirici ai loro valori teorici.

Esercizio teorico 14. Supponi che il tempo che intercorre tra le richieste a un server web (misurato in secondi) abbia distribuzione esponenziale con parametro di velocità 2.

  1. Trova media e deviazione standard del tempo che intercorre tra le richieste.
  2. Trova la probabilità che il tempo tra due richieste sia minore di 0.5 secondi.
  3. Trova mediana, primo e terzo quartile e scarto interquartile del tempo tra le richieste.

Esercizio teorico 15. Supponi che la durata (in unità di 100 ore) X di un fusibile sia distribuita esponenzialmente con P(X > 10) = 0.8.

  1. Trova il parametro di velocità.
  2. Trova media e deviazione standard.
  3. Trova mediana, primo e terzo quartile e scarto interquartile della durata del fusibile.

Esercizio teorico 16. La posizione (misurata in centimetri) X del primo settore difettoso di un nastro magnetico ha distribuzione esponenziale con media 100.

  1. Trova il parametro di velocità.
  2. Trova la probabilità che X < 200 dato X > 150.
  3. Trova la deviazione standard.
  4. Trova mediana, primo e terzo quartile e scarto interquartile della durata della posizione.