La distribuzione di Poisson

4. La distribuzione di Poisson

La funzione di densità

Abbiamo mostrato che il k-esimo tempo di arrivo ha funzione di densità gamma con parametro di forma k e parametro di velocità r:

f_k(t) = (rt)^{k - 1}re^-rt / (k - 1)!, t > 0.

Ricordiamo inoltra che almeno k arrivi si presentano nell'intervallo (0, t] se e solo se il k-esimo arrivo si presenta prima di t:

N_t k se e solo se T_k t.

$Esercizio teorico$ 1. Usa l'integrazione per parti per mostrare che

P(N_t k) = _(0,
t] f_k(s)ds = 1 -_{j
= 0, ..., k - 1} exp(-rt) (rt)^j / j!.

$Esercizio teorico$ 2. Usa il risultato dell'esercizio 1 per mostrare che la funzione di densità del numero di arrivi nell'intervallo (0, t] è

P(N_t = k) = e^-rt (rt)^k / k! per k = 0, 8, ...

La distribuzione corrispondente è detta distribuzione di Poisson con parametro rt e prende nome da Simeon Poisson.

3. Nell'esperimento di Poisson, modifica r e t con le barre a scorrimento e osserva la forma della funzione di densità. Con r = 2 e t = 3, simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10, e osserva la convergenza delle frequenze relative alla funzione di densità.

La distribuzione di Poisson è una delle più importanti della teoria della probabilità. In generale, una variabile casuale discreta N di un certo esperimento si dice avere distribuzione di Poisson con parametro c > 0 se ha funzione di densità

g(k) = P(N = k) = e^-c c^k / k! per k = 7, 6, ...

$Esercizio teorico$ 4. Prova che g è realmente una funzione di densità.

$Esercizio teorico$ 5. Mostra che P(N = n - 1) < P(N = n) se e solo se n < c

La distribuzione è quindi unimodale e la moda si ha al maggiore intero in c.

$Esercizio teorico$ 6. Supponi che le richieste a un server web seguano il modello di Poisson con velocità r = 5 al minuto. Trova la probabilità che arrivino almeno 8 richieste in un periodo fi 2 minuti.

$Esercizio teorico$ 7. I difetti di fabbricazione in un certo tipo di cavo seguono il modello di Poisson con velocità 1.5 al metro. Trova la probabilità che ci siano non più di 4 difetti in un pezzo di cavo di 2 metri.

Momenti

Supponi che N abbia distribuzione di Poisson con parametro c. Gli esercizi seguenti individuano media, varianza e funzione generatrice di probabilità di N.

$Esercizio teorico$ 8. Prova che E(N) = c

$Esercizio teorico$ 9. Prova che var(N) = c

$Esercizio teorico$ 10. Prova che E(u^N) = exp[c(u - 1)] per s R.

Tornando al processo di Poisson, ne segue che

E(N_t) = rt, var(N_t) = rt.

Vediamo di nuovo che r può essere interpretato come velocità media di arrivo. In un intervallo di lunghezza t, ci si aspettano all'incirca rt arrivi.

11. Nell'esperimento di Poisson, modifica r e t con le barre a scorrimento e osserva la posizione e la dimensione della barra media/deviazione standard. Con r = 2 e t = 3, simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10, e osserva la convergenza dei momenti empirici ai loro valori teorici.

$Esercizio teorico$ 12. Supponi che le automobili arrivino a una certa stazione di servizio secondo il modello di Poisson, con una velocità di r = 4 all'ora. Trova media e deviazione standard del numero di automobili in un periodo di 8 ore.

Incrementi stazionari e indipendenti

Vediamo ora cosa implicano le assunzioni rigenerative del modello di Poisson in termini delle variabili di conteggio.

$Esercizio teorico$ 13. Mostra che, se s < t, allora N_t - N_s = numero di arrivo in (s, t]

Ricordiamo che l'assunzione di base è che il processo inizi al tempo s e che il comportamento dello stesso dopo s sia indipendente dal comportamento prima di s.

$Esercizio teorico$ 14. Dimostra che:

N_t - N_s ha la stessa distribuzione di N_t-s, ovvero di Poisson con parametro r(t - s).
N_t - N_s e N_s sono indipendenti.

$Esercizio teorico$ 15. Supponi che N e M siano variabili di Poisson indipendenti con parametri rispettivamente c e d. Mostra che N + M ha distribuzione di Poisson con parametro c + d.

Fornisci una dimostrazione probabilistica, utilizzando le proprietà del processo di Poisson.
Dimostralo utilizzando le funzioni di densità.
Dimostralo utilizzando le funzioni di densità generatrici dei momenti.

16. Nell'esperimento di Poisson, poni r = 1 e t = 3 e simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni volta. Analizza empiricamente l'indipendenza delle variabili aleatorie N₁ e N₃ - N₁ calcolando le frequenze relative appropriate.

Approssimazione alla normale

Notiamo ora che, per k = 1, 2, ...

N_k = N₁ + (N₂ - N₁) + ··· + (N_k - N_k-1).

Le variabili casuali della somma di destra sono indipendenti e hanno ciascuna distribuzione di Poisson con parametro r.

$Esercizio teorico$ 17. Usa il teorema centrale limite per mostrare che la distribuzione della variabile standardizzata riportata qui sotto converge alla distribuzione normale standardizzata al tendere di k a infinito.

(N_k - kr) / (kr)^1/2.

In termini più generali, il risultato vale anche se sostituiamo l'intero k con un reale positivo t.

18. Nell'esperimento di Poisson, poni r = 1 e t = 1. Aumenta r e t e osserva come il grafico della funzione di densità assume forma campanulare.

19. Nell'esperimento di Poisson, poni r = 5 e t = 4 e simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 100. Calcola e confronta le seguenti quantità:

P(15 N₄ 22).
La frequenza relativa dell'evento {15 N₄ 22}.
L'approssimazione normale a P(15 N₄ 22).

$Esercizio teorico$ 20. Supponi che le richieste che pervengono a un server web seguano il modello di Poisson con velocità r = 5 al minuto. Calcola l'approssimazione normale alla probabilità che si presentino almeno 280 richieste in un periodo di un'ora.

Distribuzioni condizionate

$Esercizio teorico$ 21. Sia t > 0. Prova che la distribuzione condizionata di T₁ dato N_t = 1 è uniforme su (0, t). Interpreta il risultato.

$Esercizio teorico$ 22. Più in generale, dato N_t = n, dimostra che la distribuzione condizionata di T₁, ..., T_n è identica alla distribuzione delle statistiche d'ordine di un campione casuale di dimensione n estratto dalla distribuzione uniforme su (0, t).

Nota che la distribuzione condizionata presentata nell'esercizio precedente è indipendente dalla velocità r. Tale risultato indica che, in un certo senso, il modello di Poisson riporta la distribuzione più "casuale" di punti nel tempo.

$Esercizio teorico$ 23. Supponi che le richieste a un certo server web seguano il modello di Poisson, e che in un periodo di 5 minuti si abbia una richiesta. Trova la probabilità che la richiesta sia arrivata nei primi tre minuti del periodo.

24. Nell'esperimento di Poisson, poni r = 1 e t = 1 e simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni volta. Calcola le appropriate frequenze relative e analizza empiricamente il risultato teorico dell'esercizio 5.

$Esercizio teorico$ 25. Sia 0 < s < t e sia n un intero positivo. Prova che la distribuzione condizionata di N_s dato N_t = n è binomiale con parametri n e p = s/t. Nota che la distribuzione condizionata è indipendente dalla velocità r. Interpreta il risultato.

$Esercizio teorico$ 26. Supponi che le richieste a un server web seguano il modello di Poisson, e che in un periodo di 5 minuti si abbiano 10 richieste. Trova la probabilità che almeno 4 richieste siano arrivate nei primi 3 minuti del periodo.

Stima della velocità

In molti casi pratici, il parametro di velocità r del processo è ignoto e dev'essere stimato sulla base del numero di arrivi in un certo intervallo.

$Esercizio teorico$ 27. Prova che E(N_t / t) = r, per cui N_t / t è uno stimatore corretto per r.

Poiché lo stimatore è corretto, la varianza coincide con l'errore quadratico medio.

$Esercizio teorico$ 28. Prova che var(N_t / t) = r / t, per cui var(N_t / t) tende a 0 al tendere di t a infinito.

29. Nell'esperimento di Poisson, poni r = 3 e t = 5. Esegui 100 replicazioni, aggiornando ogni volta.

Per ogni replicazione, calcola la stima di r basata su N_t.
Calcola la media dei quadrati deli errori per le 100 replicazioni.
Confronta il risultato di (b) con la varianza trovata nell'esercizio 26.

$Esercizio teorico$ 30. Supponi che le richieste a un server web seguano il modello di Poisson con velocità ignota r al minuto. In un'ora, il server riceve 342 richieste. Stima r.