), partendo dai tempi interarrivo, non si generalizza facilmento, poiché tale costruzione dipende dall'ordine dei numeri reali. Tuttavia, la costruzione alternativa motivata dall'analogia con le prove Bernoulliane, si presta in modo molto naturale. Laboratorio virtuale > Il processo di Poisson > 1 2 3 4 5 6 [7] 8
Il processo di Poisson può essere definito in un contesto bidimensionale per modellare punti nello spazio. Alcuni esempi specifici di "punti casuali" sono
Il modo in cui abbiamo introdotto il processo di Poisson su [0, ), partendo dai tempi interarrivo, non si generalizza facilmento, poiché tale costruzione dipende dall'ordine dei numeri reali. Tuttavia, la costruzione alternativa motivata dall'analogia con le prove Bernoulliane, si presta in modo molto naturale.
Fissato k, sia m la misura in k-dimensioni, definita su sottinsiemi di Rk. Pertanto, se k = 2, m(A) è l'area di A e se k = 3, m(A) è il volume di A. Sia ora D un sottinsieme di Rk e consideriamo un processo stocastico che genera punti casuali in D. Per A 
D con m(A) positivo e finito, sia N(A) il numero di punti casuali in A. Tale collezione di variabili casuali è un processo di Poisson su D con parametro di densità r se i seguenti assiomi sono soddisfatti:
1. Nel processo di Poisson in due dimensioni, modifica l'ampiezza w e la velocità r. Osserva forma e posizione della densità di N. Con w = 3 e r = 2, simula 1000 replicazioni aggiornando ogni 10. Osserva la convergenza della densità empirica a quella teorica.
Usando i risultati precedentemente ricavati sui momenti, segue che
E[N(A)] = r m(A), var[N(A)] = r m(A).
In particolare, r può essere interpretato come densità attesa dei punti casuali, giustificando così il nome del parametro
2. Nel processo di Poisson in due dimensioni, modifica l'ampiezza w e la velocità r. Osserva dimensione e poisizone della barra media/deviazione standard. Con w = 4 e r = 3, simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10, e osserva la convergenza dei momenti empirici ai loro valori teorici.
3. Supponi che i difetti in un foglio di materiale seguano il modello di Poisson con una media di 1 difetto ogni 2 metri quadrati. In un foglio di 5 metri quadrati,
4. Supponi che l'uvetta in un panettone segua il modello di Poisson, con una media di 2 uvette per pollice cubico. In un pezzo che misura 3 per 4 per 1 pollici,
5. Supponi che il numero di alberi di una foresta che superano una certa dimensione segua il modello di Poisson. In una regione di foresta di un chilometro quadrato ci sono 40 alberi che superano la dimensione fissata.
Consideriamo il processo di Poisson in R2 con parametro di densità r. Per t > 0, sia Mt = N(Ct) dove Ct è la regione circolare di raggio t, centrata sull'origine. Sia Z0 = 0 e per k = 1, 2, ... sia Zk la distanza del k-esimo punto più vicino all'origine. Notiamo che Zk è analogo al k-esimo tempo di arrivo per il processo di Poisson su [0, ).
6. Mostra che Mt
ha distribuzione di Poisson con parametro 
t2r.
7. Mostra che Zk
t se e solo se Mt 
k.
8. Mostra che Zk2 ha distribuzione gamma con parametro di forma k e parametro di velocità r.
9. Mostra che Zk
ha funzione di densità
g(z) = 2( r)k
z2k - 1 exp(- r z2)
/ (k - 1)!, z > 0.
10. Mostra che Zk2 -
Zk - 12, k = 1, 2, ... sono indipendenti e ciascuno ha distribuzione esponenziale con parametro di velocità r.
Di nuovo, il processo di Poisson indica il modo più casuale per distribuire punti nello spazio, in un cero senso. Più specificamente, consideriamo il processo di Poisson su Rk con parametro r. Ricordiamo di nuovo che si considerano sottinsiemi A di Rk con m(A) positivo e finito.
11. Supponi che una regione regione A contenga esattamente un punto casuale. Prova che la posizione
Più in generale, se A contiene n punti, allora le posizione dei punti sono indipendenti e distribuite uniformemente in A.
12. Supponi che i difetti in un certo materiale seguano il modello di Poisson. Si sa che un foglio quadrato di lato 2 metri contiene un difetto. Trova la probabilità che il difetto sia in una regione circolare del materiale di raggio 1/4 di metro.
13. Supponi che una regione A contenga n punti casuali. Sia B sottinsieme di A.
Mostra che il numero di punti contenuti in B ha distribuzione binomiale con parametri n e p = m(B) / m(A).
14. Più in generale, supponi che una regione A sia suddivisa in k sottinsiemi B1, B2, ..., Bk. Prova che la distribuzione condizionata di (N(B1), N(B2), ..., N(Bk)) dato N(A) = n è multinomiale con parametri n e pi = m(Bi) / m(A), i = 1, 2, ..., k.
15. Supponi che l'uvetta in un panettone segua il modello di Poisson. Si divide una fetta di 6 pollici cubici con 20 uvette in 3 parti uguali. Trova la probabilità che ogni pezzo contenga almeno 6 uvette.
Lo splitting di un processo di Poisson in k dimensioni funziona esattamente come lo splitting del processo di Poisson standard. In particolare, supponiamo he i punti casuali siano di j tipi diversi e che ciascuno, indipendentemente dagli altri, sia di tipo i con probabilità pi per i = 1, 2, ..., j. Sia Ni(A) il numero di punti di tipo i in una regione A, per i = 1, 2, ..., j.
16. Prova che
Più in generale, i punti di tipo i formano un processo di Poisson con parametro di densità rpi per ogni i, e tali processi sono indipendenti.
17. Supponi che i difetti di fabbricazione in un foglio di materiale seguano il modello di Poisson, con una media di 5 difetti per metro quadro. Ciascun difetto, indipendentemente dagli altri, è lieve con probabilità 0.5, moderato con probabilità 0.3 o grave con probabilità 0.2. Considera un pezzo circolare di materiale con raggio 1 metro.