Xj per ogni i
e j.Laboratorio virtuale > Giochi di fortuna > 1 [2] 3 4 5 6 7 8
Un mazzo di carte ha la struttura naturale di un insieme prodotto e può quindi essere rappresentato matematicamente da
dove la prima coordinata rappresenta il tipo (asso, 2-10, jack, regina, re) e la seconda coordinata il seme (picche, quadri, fiori, cuori).
Ci sono molti modi diversi di giocare a poker, ma ci interessiamo solo al poker a pescata, che consiste nel pescare a caso 5 carte dal mazzo D. L'ordine delle carte non è rilevante, per cui registriamo l'esito dell'esprimento casuale come l'insieme (mano)
X = {X1, X2,
X3, X4, X5}
dove Xi = (Yi, Zi)
appartiene a D per ogni i e Xi Xj per ogni i
e j.
Quindi lo spazio campionario è formato da tutte le possibili mani di poker:
S = {{x1, x2, x3,
x4, x5}:
xi in D per ogni i e xi
xj per ogni i
e j}.
L'assunzione di base per la creazione del modello è che tutte le mani abbiano uguale probabilità. La variabile casuale X è quindi uniformemente distribuita sull'insieme di tutte le possibili mani S.
P(X in A) = #(A) / #(S)
per A 
S.
In terimini statistici, una mano di poker è un campione casuale di dimensione 5 estratto senza reinserimento e senza attenzione all'ordine dalla popolazione D. Per ulteriori approfondimenti su questo argomento, vedi il capitolo sui modelli di campionamento finito.
Esistono nove tipi differenti di mani di poker in termini di valore. Useremo numeri da 0 a 8 per indicare il valore della mano, dove 0 è il valore minimo (ovvero nessun valore) e 8 è il valore massimo. Il valore della mano V è pertanto una variabile aleatoria che assume valori da 0 a 8 ed è definita come segue:
1. Esegui l'esperimento del poker 10 volte passo per passo. Per ciascuno degli esiti, nota il valore della variabile casuale che corrisponde al tipo di mano, come riportato sopra.
Il calcolo della funzione di densità per V è un buon esercizio di calcolo combinatorio.
2. Mostra che il numero di mani di poker distinte è #(S) = C(52, 5) = 2598960.
Negli esercizi seguenti dovrai spesso utilizzare la regola del prodotto del calcolo combinatorio per contare il numero di mani di vari tipi. In ciascun caso, prova a costruire un algoritmo per generare le mani di poker di un certo tipo, e conta il numero di modi in cui puoi eseguire ciascun passo dell'algoritmo.
4. Mostra che P(V
= 1) = 1098240 / 2598960 = 0.422569.
5. Mostra che P(V
= 2) = 123552 / 2598960 = 0.047539.
6. Mostra che P(V
= 3) = 54912 / 2598960 = 0.021129.
7. Mostra che P(V
= 8) = 40 / 2598960 = 0.000015.
8. Mostra che P(V
= 4) = 10200 / 2598960 = 0.003925. Suggerimento: Usa il risultato dell'esercizio 7.
9. Mostra che P(V
= 5) = 5108 / 2598960 = 0.001965. Suggerimento: Usa il risultato dell'esercizio 7.
10. Mostra che P(V
= 6) = 3744 / 2598960 = 0.001441.
11. Mostra che P(V
= 7) = 624 / 2598960 = 0.000240.
12. Mostra che P(V
= 0) = 1,302,540 / 2598960 = 0.501177. Suggerimento: Usa la regola additiva della probabilità e il risultato dell'esercizio precedente.
Notiamo che la funzione di densità di V è decrescente; più vale una mano, meno è probabile che esca. Nota inoltre che le mani nulla e coppia costituiscono più del 92% dei casi.
13. Nell'applet poker, osserva la forma del grafico della densità. Nota che alcune delle probabilità sono così piccole che sono praticamente invisibili nel grafico. Esegui 1000 replicazioni dell'esperimento, aggiornando ogni 10 e osserva la convergenza delle frequenze relative alla funzione di densità.
14. Nell'applet poker, poni la frequenza di aggiornamento a 100 e imponi un criterio d'arresto sulla base dei valori di V riportati qui sotto. Nota il numero di mani necessarie.
15. Trova la probabilità che una mano sia tris o più.
16. Nel film Genitori in trappola (1998), entrambi i gemelli fanno scala colore allo stesso giro di poker. Trova la probabilità di tale evento.
17. Classifica V in termini di livello di misura:
nominale, ordinale, intervallare, o a rapporto. Ha qualche significato il valore atteso di V?