1. Mostra che la mano casuale di poker di dadi X ha distribuzione uniforme su S:Laboratorio virtuale > Giochi di fortuna > 1 2 [3] 4 5 6 7 8
Il gioco del poker del dadi è simile al poker tradizionale, ma si gioca con dadi al posto delle carte. Si lanciano 5 dadi equilibrati. Registriamo l'esito dell'esperimento casuale come sequenza (ordinata) di punteggi:
X = (X1, X2, X3, X4, X5) dove Xi in {1, 2, 3, 4, 5, 6} è il punteggio sull'i-esimo dado.
Lo spazio campionario è quindi S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}5. Poiché i dadi sono bilanciati, l'assunzione di base per il modello è che le variabili casuali X1, X2, X3, X4, X5 siano indipendenti, e con distribuzione uniforme su {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
1. Mostra che la mano casuale di poker di dadi X ha distribuzione uniforme su S:
P(X in A) = #(A) / #(S)
per A 
S.
In termini statistici, una mano di poker di dadi è un campione casuale di dimensione 5 estratto con reinserimento e con interesse per l'ordine dalla popolazione D = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Per ulteriori approfondimenti su questo argomento, vedi il capitolo sui modelli di campionamento finito. In particolare, in questo capitolo vedremo che il risultato dell'esercizio 1 non varrebbe se si registrasse la sequenza in modo non ordinato invece che ordinato.
Il valore V della mano di poker di dadi è definito come segue:
2. Esegui l'applet
poker di dadi 10 volte passo per passo. Per ciascun esito, osserva il valore della variabile casuale corrispondente al tipo di mano, come definito poc'anzi.
Il calcolo della funzione di densità di V è un buon esercizio di calcolo combinatorio.
3. Mostra che il numero di mani di poker di dadi distinte è #(S) = 65 = 7776.
Negli esercizi seguenti dovrai spesso utilizzare la regola del prodotto del calcolo combinatorio per contare il numero di mani di vari tipi. In ciascun caso, prova a costruire un algoritmo per generare le mani di poker di un certo tipo, e conta il numero di modi in cui puoi eseguire ciascun passo dell'algoritmo.
4. Mostra che P(V = 0) = 720 / 7776 = 0.09259.
5. Mostra che P(V
= 1) = 3600 / 7776 = 0.46396.
6. Mostra che P(V
= 2) = 1800 / 7776 = 0.23148.
7. Mostra che P(V
= 3) = 1200 / 7776 = 0.15432.
8. Mostra che P(V
= 4) = 300 / 7776 = 0.03858.
9. Mostra che P(V
= 5) = 150 / 7776 = 0.01929.
10. Mostra che P(V
= 6) = 6 / 7776 = 0.00077.
11. Esegui l'applet
poker di dadi 1000 volte, aggiornando ogni 10, e osserva la convergenza delle frequenze relative alla funzione di densità.
12. Trova la probabilità che lanciando una mano si ottenga un tris o di più.
13. Nell'applet poker di dadi, poni la frequenza di aggiornamento a 100 e imponi un criterio d'arresto sulla base dei valori di V riportati qui sotto. Nota il numero di mani necessarie.
Chuck-a-luck è un gioco popolare nei paesi anglosassoni che si gioca con tre dadi. Seguendo Richard Epstein, il nome originario era Sweat Cloth, e nei pub inglesi il gioco è noto come corona e ancora (poiché sulle sei facce del dado sono disegnati picche, quadri, fiori, cuori, corona e ancora). I dadi sono più grossi di quelli normali e si tengono in una gabbia a forma di clessidra detta birdcage. I dadi si lanciano facendo girare la gabbia.
Chuck-a-luck è molto semplice. Il giocatore sceglie un numero da uno a sei e poi lancia i dadi. Se in esattamente k dadi esce il punteggio detto dal giocatore, si vince k:1. Come a poker di dadi, l'assunzione di base è che i dadi siano equilibrati, per cui il vettore degli esiti è distribuito uniformemente su {1, 2, 3, 4, 5, 6}3:
X = (X1, X2, X3) dove Xi in {1, 2, 3, 4, 5, 6} è il punteggio sul dado i.
14. Sia Y
il numero di dadi che mostrano il numero detto dal giocatore. Mostra che Y ha distribuzione binomiale con parametri
17. Esegui l'applet chuck-a-luck 1000 volte, aggiornando ogni 10. Nota la convergenza della densità empirica di W alla densità teorica.
19. Esegui l'applet chuck-a-luck 1000 volte, aggiornando ogni 10. Nota la convergenza dei momenti empirici di W ai momenti teorici. Supponi di aver puntato 1$ in ognuna delle 1000 partite. Quanto sarebbe la tua vincita netta?