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7. Lotterie

Le lotterie sono tra i giochi di fortuna più semplici e più diffusi, e, sfortunatamente per il giocatore, tra i peggiori in termini di valore atteso. Esistono innumerevoli forme di lotteria ed è inutile analizzarle una per una. In questo paragrafo ne studieremo i tipi più diffusi.

La lotteria semplice

La lotteria semplice è un esperimento casuale in cui il banco (in molti casi gestito da un'ente governativo) estrae n numeri a caso e senza reinserimento tra gli interi 1, 2, ..., N. I parametri interi N e n variano da lotteria a lotteria, e ovviamente n non può essere maggiore di N. L'ordine in cui i numeri sono estratti di solito non è rilevante, e quindi, in questo caso, lo spazio campionario S dell'esperimento è formato da tutti i sottinsiemi (combinazioni) di dimensione n estratti dalla popolazione {1, 2, ..., N}:

S = {x {1, 2, ..., N}: #(x) = n}.

1. Ricorda, o mostra, che #(S) = C(N, n) = N! / [n!(N - n)!].

Naturalmente si assume che tutte le combinazioni di questo tipo siano equiprobabili, per cui la combinazione estratta X, variabile casuale di base per l'esperimento, è distribuita uniformemente su S.

P(X = x) per 1 / C(N, n) per x appartenente a S.

Il giocatore della lotteria paga un biglietto e deve scegliere m numeri, senza ripetizione, tra gli interi da 1 a N. Anche in questo caso, l'ordine non è rilevante, per cui il giocatore fondamentalemnte sceglie una combinazione y di dimensione m dalla popolazione {1, 2, ..., N}. In molti casi m = n, per cui il giocatore sceglie lo stesso numero di numeri che poi il banco estrae. In generale, quindi, ci sono tre parametri nella lotteria semplice N, n, m.

L'obiettivo del giocatore, ovviamente, consiste nel massimizzare il numero di corrispondenze (spesso dette catches dai giocatori) tra la sua combinazione y e la combinazione casuale X estratta dal banco. Essenzialmente, il giocatore cerca di indovinare l'esito dell'esperimento casuale prima che venga eseguito. Sia quindi U il numero di concordanze.

2. Prova che il numero di concordanze U nella lotteria N, n, m ha funzione di densità di probabilità discreta

P(U = k) = C(m, k) C(N - m, n - k) / C(N, n) for k = 0, 1, ..., m.

La distribuzione di U è ipergeometrica con parametri N, n e m, ed è analizzata in dettaglio nel capitolo sui modelli di campionamento finito. In particolare, si ricava che media e varianza del numero di concordanze U è

E(U) = n (m / N), var(U) = n (m / N) (1 - m / N) (N - n) / (N - 1).

Notiamo che P(U = k) è 0 k > n o k < n + m - N. In ogni caso, nella maggior parte delle lotterie, m n e N è molto maggiore di n + m. In questi casi, la funzione di densità è positiva per i valori di k riportati nell'esercizio 2.

Indicheremo il caso particolare in cui m = n lotteria N, n; la maggior parte delle lotterie pubbliche funzionano in questo modo. In questo caso, funzione di densità di probabilità, media e varianza del numero di concordanze U è

P(U = k) = C(n, k) C(N - n, n - k) / C(N, n) per k = 0, 1, ..., n.

E(U) = n² / N, var(U) = (n² / N)(N - n)² / [N(N - 1)].

3. Trova esplicitamente funzione di densità di probabilità, media e deviazione standard del numero di concordanze in una lotteria 47, 5.

4.Trova esplicitamente funzione di densità di probabilità, media e deviazione standard del numero di concordanze in una lotteria 49, 5.

5. Trova esplicitamente funzione di densità di probabilità, media e deviazione standard del numero di concordanze in una lotteria 47, 7.

L'analisi precedente si è basata sull'assunzione che la combinazione y sia selezionata dal giocatore in maniera deterministica. Fa differenza se la combinazione viene scelta a caso? Supponiamo che la combinazione selezionata Y sia una variabile casuale a valori in S. (Per esempio, in alcune lotterie i giocatori acquistano biglietti con combinazioni selezionate a caso da un computer; si parla in questo caso di Quick Pick). Ovviamente, X e Y devono essere indipendenti, poiché né il giocatore né il computer deveono poter sapere la combinazione vincente X. Negli esercizi seguenti, mostrerai che la casualizzazione non ha influenza.

6. Sia U il numero di concordanze nella lotteria N, n, m nel caso in cui la combinazione Y scelta dal giocatore è una variabile casuale, indipendente dalla combinazione vincente X. Prova che U ha la stessa distribuzione trovata nell'esercizio 1. Suggerimento: condiziona al valore di Y.

Ci sono molti siti internet che pubblicano dati sulla frequenza dei numeri estratti in varie lotterie. Alcuni giocatori ritengono che alcuni numeri siano più fortunati di altri.

7. Date le assunzioni e l'analisi precedenet, credi che alcuni numeri siano più fortunati di altri. Ha un qualche senso teorico studiare i dati storici di una lotteria?

Il montepremi in palio nelle lotterie di stato dipende dal numero di biglietti venduti. In genere, il 50% dell'incasso è messo in palio, il resto va in costi amministrativi e incasso per lo stato. Il montepremi viene diviso tra i biglietti vincenti, e il premio per ciascun biglietto dipende dal numero di concordanze U. Per queste ragioni, è impossibile pervenire a un'analisi semplice del valore atteso di una lotteria. Notiamo però che, poiché lo stato si tiene una percentuale fissa sulle vendite, non è esposto ad alcun rischio.

Da un punto di vista del gioco, le lotterie non sono buoni giochi. In confronto, nella maggior parte dei giochi da casinò, il 90% o più delle puntate va a formare il montepremi. Ovviamente le lotterie di stato possono essere viste come una forma di tassazione volontaria e non come semplici giochi. I profitti fatti con le lotterie vengono impiegati per istruzione, sanità e altri servizi di pubblico interesse. Tuttavia, un'analisi dei benefici e dei costi delle lotterie dal punto di vista politico e sociale (e non in semplice ottica matematica) va oltre gli scopi di questo lavoro.

Numeri Jolly

Molti lottrie di stato arricchiscono il formato N, n con un numero Jolly. Il numero Jolly T è estratto da un insieme specifico di interi, in addizione alla combinazione X, che abbiamo visto prima. Ugualmente, il giocatore sceglie un numero Jolly s, in addizione alla combinazione y. La vittoria del giocatore dipende quindi dal numero di concordanze U tra X e y, come già visto, e in più dal fatto che il numero Jolly del giocatore s concordi col numero Jolly T estratto dal banco. Sia I la variabile indicatore di quest'ultimo evento. Siamo ora interessati alla distribuzione congiunta di (I, U).

In un caso comune, il numero Jolly T è scelto a caso tra gli interi 1, 2, ..., M, indipendentemente dalla combinazione X di dimensione n estratta da 1, 2, ..., N. Di solito M < N. Notiamo che, in questo tipo di lotteria, il gioco è formato da due lotterie indipendenti, una di formato N, n, e l'altra di formato M, 1.

8. Calcola esplicitamente la densità congiunta di (I, U) per la lotteria 47, 5 con numeri Jolly indipendenti da 1 a 27. Tale schema è utilizzato, tra l'altro, nella lotteria della California.

9. Calcola esplicitamente la densità congiunta di (I, U) per la lotteria 49, 5 con numeri Jolly indipendenti da 1 a 42. Tale schema è utilizzato, tra l'altro, nella lotteria Powerball.

In altri casi, il numero Jolly T è estratto tra 1 e N, ed è distinto dai numeri della combinazione X. Per modellare tale situazione, assumiamo che T sia distribuita uniformemente su {1, 2, ..., N}, e dato T = t, X sia distribuito uniformemente sull'insieme di combinazione di dimensione n estratte da {1, 2, ..., N}- {t}. In questo caso, la densità congiunta è più difficile da calcolare.

10. Prova che

P(I = 1, U = k) = C(n, k) C(N -1 - n, n - k) / [N C(N - 1, n)] per k = 0, 1, ..., n.

11. Condiziona al fatto che T appartenga o no a {y₁, ..., y_n} per mostrare che

P(I = 0, U = k) = (N - n + 1) C(n, k) C(N -1 - n, n - k) / [N C(N - 1, n)]

+ n C(n - 1, k) C(N - n, n - k) / [N C(N - 1, n)] per k = 0, 1, ..., n.

12. Calcola esplicitamente la densità congiunta di (I, U) per la lotteria 47, 7 col numero Jolly estratto in questo modo. Tale schema è utilizzato dalla lotteria Super 7 Canada, tra le altre.

Keno

Keno è una lotteria che si gioca nei casinò. Per dati N (di solito 80) e n (di solito 20), il giocatore può scegliere una serie di giochi N, n, m, come presentato poc'anzi. Di solito, m varia da 1 a 15, e la vincita dipende da m e dal numero di concordanze V. Vediamo ora come calcolare funzione di densità, media e deviazione standard della vincita casuale, basandoti su una puntata unitaria, per una lotteria Keno tipica (N = 80, n = 20 e m da 1 a 15). Le tavole di vincita sono adattate dai dati presentati in The Wizard of Odds, e sono basati sulla lotteria Keno al casinò Tropicana di Atlantic City, New Jersey.

Ricorda che la funzione di densità di probabilità del numero di concordanze U, dall'esercizio 2, è data da

P(U = k) = C(m, k) C(80 - m, 20 - k) / C(80, 20) per k = 0, 1, ..., m.

13. La tavola di vincite per m = 1 è riportata qui sotto. Calcola funzione di densità, media e deviazione standard della vincita.

14. La tavola di vincite per m = 2 è riportata qui sotto. Calcola funzione di densità, media e deviazione standard della vincita.

15. La tavola di vincita per m = 3 è riportata qui sotto. Calcola funzione di densità, media e deviazione standard della vincita.

16. La tavola di vincite per m = 4 è riportata qui sotto. Calcola funzione di densità, media e deviazione standard della vincita.

17. La tavola di vincite per m = 5 è riportata qui sotto. Calcola funzione di densità, media e deviazione standard della vincita.

18. La tavola di vincite per m = 6 è riportata qui sotto. Calcola funzione di densità, media e deviazione standard della vincita.

19. La tavola di vincite per m = 7 è riportata qui sotto. Calcola funzione di densità, media e deviazione standard della vincita.

20. La tavola di vincite per m = 8 è riportata qui sotto. Calcola funzione di densità, media e deviazione standard della vincita.

21. La tavola di vincite per m = 9 è riportata qui sotto. Calcola funzione di densità, media e deviazione standard della vincita.

22. La tavola di vincite per m = 10 è riportata qui sotto. Calcola funzione di densità, media e deviazione standard della vincita.

23. La tavola di vincite per m = 11 è riportata qui sotto. Calcola funzione di densità, media e deviazione standard della vincita.

24. La tavola di vincite per m = 12 è riportata qui sotto. Calcola funzione di densità, media e deviazione standard della vincita.

25. La tavola di vincite per m = 13 è riportata qui sotto. Calcola funzione di densità, media e deviazione standard della vincita.

26. La tavola di vincite per m = 14 è riportata qui sotto. Calcola funzione di densità, media e deviazione standard della vincita.

27. La tavola di vincite per m = 15 è riportata qui sotto. Calcola funzione di densità, media e deviazione standard della vincita.

Dagli esercizi precedenti dovresti aver notato che la vincita attesa di una puntata unitaria varia tra 0.71 a 0.75 circa, per cui il profitto atteso (per il giocatore) varia tra -0.25 e -0.29. Ciò è abbastanza poco pere un gioco da casinò, ma al solito la possibilità di una vincita molto alta con una puntata molto bassa copre l'analisi del valore atteso per molti giocatori.

28. Con m = 15, mostra che i 4 premi più alti (25000, 50000, 100000, 100000) contribuiscono solo allo 0.017 (meno di 2 centesimi) al valore atteso complessivo di circa 0.714.

D'altro canto, la deviazione standard della vincita varia di parecchio, da 1 a circa 55.

29. Anche se il gioco è altamente sfavorevole per ogni m, con valore atteso praticamente costante, cosa pensi che sia meglio per il giocatore: uno schema con devizione standard alta o bassa?

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