Introduzione

1. Introduzione

Gioco d'azzardo e probabilità

I giochi di fortuna si annoverano tra le prime invenzioni del genere umano. L'uso di un certo tipo di osso animale (detto astragalo) come dado risale circa al 3600 A.C.. I moderni dadi a sei facce risalgono circa al 2000 A.C. e il termine bones (ossa) è utilizzata anche oggi come espressione gergale (roll the bones). È a causa di questa origine remota, tra l'altro, che utilizziamo il dado come base delle simulazioni in questo progetto.

Il gioco d'azzardo è intimamente legato allo sviluppo della teoria della probabilità. La maggior parte dei primi risultati in probabilità, in particolare, fu simulata attraverso problemi di gioco d'azzardo come

Molti dei primi libri di probabilità sono stati scritti per analizzare il gioco d'azzardo, per esempio Liber de Ludo Aleae (Libro sui giochi di fortuna), di Girolamo Cardano e Essay d’ Analyse sur les Jeux de Hazard (Saggio analitico sui giochi di fortuna), di Pierre-Remond Montmort. I problemi di gioco d'azzardo continuano ad essere fonte di interessanti e profondi problemi di probabilità a tutt'oggi (vedi ad esempio il capitolo su rosso e nero).

Ovviamente è importante ricordare che le scoperte in probabilità, anche se motivate da problemi di gioco, sono profondamente importanti in molti campi delle scienze naturali, delle scienze sociali, della medicina e della giurisprudenza. Inoltre, i giochi di fortuna costituiscono esempi chiari e puliti di esperimenti casuali, e quindi il loro studio può essere utile per gli studenti.

In ogni caso, nulla di questo capitolo ha l'intento di avviarti, caro lettore, al gioco d'azzardo. Al contrario, la nostra analisi mostrerà che, nel lungo termine, gli unici a guadagnarci sono quelli che organizzano il gioco. Il giocatore, inevitabilmente, cade vittima della legge dei grandi numeri.

In questo capitolo studieremo alcuni interessanti giochi di fortuna. Il poker, il poker di dadi, craps e la roulette sono giochi molto popolari. Il problema di Monty Hall, al contrario, è interessante per la controversia che ha prodotto.

Terminologia

Presentiamo ora la terminologia di base che useremo in alcuni paragrafi di questo capitolo. Supponiamo che A sia un evento in un esperimento casuale. Gli odds matematici di A si riferiscono alla probabilità di A. Più specificamente, se a e b sono numeri positivi, allora per definizione le affermazioni seguenti si equivalgono:

gli odds a favore di A sono a : b.
P(A) = a / (a + b).
gli odds contro A sono b : a.
P(A^c) = b / (a + b).

In molti casi a e b possono essere interi senza fattori comuni.

$Esercizio teorico$ 1. Similmente, supponi che p appartenga a (0, 1). Prova che le seguenti affermazioni sono equivalenti:

P(A) = p.
Gli odds a favore di A sono p : 1 - p.
P(A^c) = 1 - p.
Gli odds contro A sono 1 - p : p.

D'altro canto, le quote di un evento si riferiscono al payout che si ha quando si punta sull'evento. Dire che una puntata sull'evento A paga n : m significa che se il giocatore punta m unità di danaro su A e A si verifica, il giocatore riprende le m unità iniziali più n unità aggiuntive (per un profitto netto di n); se A non si verifica, il giocatore perde la puntata di m unità (per un profitto netto di -m). Equivalentemente, il giocatore punta m unità (su A), il banco punta n unità (su A^c) e il vincitore prende il piatto. Ovviamente, non è necessario che il giocatore punti esattamente m; si possono avere puntate minori o maggiori. Se il giocatore punta k unità e vince, il suo payout è k(n / m).

Naturalmente, il nostro interesse primario è alla vincita netta se puntiamo su un qualche evento. L'esercizio seguente riporta la densità, media e varianza per una puntata unitaria. Il valore atteso è particolarmente interessante a causa della legge dei grandi numeri, indica il guadagno (o perdita) nel lungo termine per unità puntata.

$Esercizio teorico$ 2. Supponi che gli odds a favore dell'evento A siano a : b e che una puntata su A paghi n : m. Sia W la vincita generata da una puntata unitaria su A. Prova che

P(W = -1) = b / (a + b), P(W = n / m) = a / (a + b).
E(W) = (an - bm) / [m(a + b)].
var(W) = ab(n - m)² / [m²(a + b)²].

In particolare, il valore atteso della puntata è 0 se e solo se an = bm, positivo se e solo se an > bm e negativo se e solo se an < bm. Il primo caso indica che la scommessa è giusta, e si verifica quando il guadagno è uguale agli odds contro l'evento. Il secondo caso indica che la scommessa è favorevole per il giocatore, e si verifica quando il guadagno è maggiore degli odds contro l'evento. Il terzo caso indica che la scommessa è sfavorevole per il giocatore e si verifica quando il guadagno è minore degli odds contro l'evento. Sfortunatamente, tutti i giochi da casinò cadono in quest'ultima categoria.